Googleさんのブログを使ってみたいと思っていたところで、一般的なブログに $\LaTeX$ の数式を入れられるという記事を見つけたので、やってみることにしました。
気が向いたら更新していきますので、気長に見ていてください。
座標平面上の $25$ 個の点 $(i, j)$ ($i, j=1, 2, 3, 4, 5$) から $3$ 点を選んでできる三角形の個数を求めよ.
できる三角形の個数を求めるのは大変なので, $3$ 点の選び方の中から三角形ができない選び方を除く.
$3$ 点の選び方は
\begin{align*}
{}_{25}\mathrm{C}_3 &= 2300
\end{align*}
より $2300$ 通り.
このうち, 三角形ができない選び方は, 同一直線上の $3$ 点を選ぶときである. このような $3$ 点の選び方は, 以下の $3$ 通りがある.
\begin{align*}
1. ~&3 点が x 軸または y 軸に平行な直線上に並ぶとき \\
2. ~&3 点が傾き \pm\frac12 または \pm2 の直線上に並ぶとき \\
3. ~&3 点が傾き \pm1 の直線上に並ぶとき
\end{align*}
1. $x$ 軸または $y$ 軸に平行な直線上に並ぶとき, このような直線が $5 \times 2$ 本あり, それぞれの直線上の $5$ 点から $3$ 点を選ぶ選び方は ${}_5\mathrm{C}_3$ 通りであるので,
\begin{align*}
5 \times 2 \times {}_5\mathrm{C}_3 &= 100
\end{align*}
より $100$ 通り.
2. 傾き $\pm\frac12$ または $\pm2$ の直線上に並ぶとき, このような直線は $3 \times 4$ 本あり, それぞれの直線上の $3$ 点から $3$ 点を選ぶ選び方は $1$ 通りであるので,
\begin{align*}
3 \times 4 \times 1 &= 12
\end{align*}
より $12$ 通り.
3. 傾き $\pm1$ の直線上に並ぶとき, このような直線は $2$ 本あり, それぞれの直線上の $5$ 点から $3$ 点を選ぶ選び方は ${}_5\mathrm{C}_3$ 通りあるので,
\begin{align*}
2 \times {}_5\mathrm{C}_3 &= 20
\end{align*}
より $20$ 通り.
以上より, 求める三角形の個数は
\begin{align*}
2300-(100+12+20) &= 2168
\end{align*}
より $2168$ 個.
