ド・モルガンの法則の証明

ド・モルガンの法則（De Morgan's laws）と言えば、集合の補集合を使った関係式。
和集合の補集合と、補集合の共通部分は等しい、共通部分の補集合と補集合の和集合は等しい、ってヤツ。

数式で表すと, 集合 $A$, $B$ に対して
$\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}$
$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}$
が成り立つ.

ってヤツ。

この公式自体は何も難しくないのですが、高校ではあまり厳密な証明ってしてないですよね。

まあ、我々の世代の場合、それよりも難しい問題があって・・・

受験の頃になると、ド・モルガンの法則とド・モアブルの定理の名前が、ごっちゃになってしまうという・・・


そんな話はいいとして、知恵袋で見かけたので、今日はド・モルガンの法則の証明をしてみた。
大学で学んだ、集合論の表記の仕方に従って証明してみました。





$\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}$ を示す.

$x\in\overline{A\cap B}$
$\iff x\not\in A\cap B$
$\iff x\not\in A$ または $x\not\in B$
$\iff x\in\overline{A}$ または $x\in\overline{B}$
$\iff x\in\overline{A}\cup\overline{B}$

より成り立つ.


$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}$ を示す.

$x\in\overline{A\cup B}$
$\iff x\not\in A\cup B$
$\iff x\not\in A$ かつ $x\not\in B$
$\iff x\in\overline{A}$ かつ $x\in\overline{B}$
$\iff x\in\overline{A}\cap\overline{B}$

より成り立つ.

なんか、書いてみたけど、これで証明になってるんでしょうかね・・・
大学時代にこういうのってやってたけど、なんかいまいちシックリこないんですよね・・・