４次正方行列の逆行列などなど

昨日は月曜日だったのですが、土曜日に出勤だったのでその分の代休でした。
最近、疲れが溜まっていたので、気分転換にドライブに行ってきました。

特にどこに行こうとか決めてなかったのですが、
気がついたら一昨年まで住んでいた土地に・・・

そこで知り合いの店に挨拶に行ったら、すぐ目の前のラーメン屋に一緒に行ったり、
一昨年までいた職場に挨拶に行って、その後にあの宮城県ではお馴染みの
半田屋が出来てたので、そこで夕食を食べたり・・・


さて、今日も知恵袋。
線形代数の問題ですね。





$k$ を整数とし,
$A=\left(\begin{array}{cccc}1&0&-1&0\\0&k&2&-1\\-2&1&3&0\\3&3&0&-k\end{array}\right)$, $x=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{array}\right)$, $j=\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\\0\end{array}\right)$
とおく.
以下の各問に答えよ.

(1) $A$ が正則であるための $k$ の条件を求めよ.
(2) $k=1$ のとき, 連立一次方程式 $Ax=j$ の解を求めよ.
(3) $A$ が正則行列であるとき, $A$ の逆行列の成分がすべて整数となるための必要十分条件は $k=1$ であることを示せ.





(1)
$\mathrm{det}(A)$ $=\left|\begin{array}{cccc}1&0&-1&0\\0&k&2&-1\\-2&1&3&0\\3&3&0&-k\end{array}\right|$ $=\left|\begin{array}{cccc}1&0&-1&0\\0&k&2&-1\\0&1&1&0\\0&3&3&-k\end{array}\right|$
$=\left|\begin{array}{ccc}k&2&-1\\1&1&0\\3&3&-k\end{array}\right|$ $=-\left|\begin{array}{ccc}1&1&0\\k&2&-1\\3&3&-k\end{array}\right|$ $=-\left|\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&2-k&-1\\0&0&-k\end{array}\right|$
$=-\left|\begin{array}{cc}2-k&-1\\0&-k\end{array}\right|$ $=k(2-k)$
であるので, $A$ が正則であるためには $k\neq0, 2$ である.

(2)
$k=1$ とすると,
$A=\left(\begin{array}{cccc}1&0&-1&0\\0&1&2&-1\\-2&1&3&0\\3&3&0&-1\end{array}\right)$
であるので, 拡大係数行列を用いて計算すると,
$\left(\begin{array}{cccc|c}1&0&-1&0&1\\0&1&2&-1&0\\-2&1&3&0&0\\3&3&0&-1&0\end{array}\right)$ $\Longrightarrow\left(\begin{array}{cccc|c}1&0&-1&0&1\\0&1&2&-1&0\\0&1&1&0&2\\0&3&3&-1&-3\end{array}\right)$
$\Longrightarrow\left(\begin{array}{cccc|c}1&0&-1&0&1\\0&1&2&-1&0\\0&0&-1&1&2\\0&0&-3&2&-3\end{array}\right)$ $\Longrightarrow\left(\begin{array}{cccc|c}1&0&-1&0&1\\0&1&2&-1&0\\0&0&1&-1&-2\\0&0&-3&2&-3\end{array}\right)$
$\Longrightarrow\left(\begin{array}{cccc|c}1&0&0&-1&-1\\0&1&0&1&4\\0&0&1&-1&-2\\0&0&0&-1&-9\end{array}\right)$ $\Longrightarrow\left(\begin{array}{cccc|c}1&0&0&0&8\\0&1&0&0&-5\\0&0&1&0&7\\0&0&0&1&9\end{array}\right)$
より, 解は $\left(\begin{array}{c}8\\-5\\7\\9\end{array}\right)$.

(3)
$k\neq0$, $2$ のとき,
$\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1&0&-1&0&1&0&0&0\\
0&k&2&-1&0&1&0&0\\
-2&1&3&0&0&0&1&0\\
3&3&0&-k&0&0&0&1
\end{array}\right)$
$\Longrightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1&0&-1&0&1&0&0&0\\
0&k&2&-1&0&1&0&0\\
0&1&1&0&2&0&1&0\\
0&3&3&-k&-3&0&0&1
\end{array}\right)$
$\Longrightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1&0&-1&0&1&0&0&0\\
0&1&1&0&2&0&1&0\\
0&k&2&-1&0&1&0&0\\
0&3&3&-k&-3&0&0&1
\end{array}\right)$
$\Longrightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1&0&-1&0&1&0&0&0\\
0&1&1&0&2&0&1&0\\
0&0&2-k&-1&-2k&1&-k&0\\
0&0&0&-k&-9&0&-3&1
\end{array}\right)$

$\Longrightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1&0&-1&0&1&0&0&0\\
0&1&1&0&2&0&1&0\\
0&0&1&-\frac{1}{2-k}&-\frac{2k}{2-k}&\frac{1}{2-k}&-\frac{k}{2-k}&0\\
0&0&0&1&\frac{9}{k}&0&\frac{3}{k}&-\frac{1}{k}
\end{array}\right)$ 

$\Longrightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1&0&0&-\frac{1}{2-k}&1-\frac{2k}{2-k}&\frac{1}{2-k}&-\frac{k}{2-k}&0\\
0&1&0&\frac{1}{2-k}&2+\frac{2k}{2-k}&-\frac{1}{2-k}&1+\frac{k}{2-k}&0\\
0&0&1&-\frac{1}{2-k}&-\frac{2k}{2-k}&\frac{1}{2-k}&-\frac{k}{2-k}&0\\
0&0&0&1&\frac{9}{k}&0&\frac{3}{k}&-\frac{1}{k}
\end{array}\right)$ 

$\Longrightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1&0&0&-\frac{1}{2-k}&\frac{2-3k}{2-k}&\frac{1}{2-k}&-\frac{k}{2-k}&0\\
0&1&0&\frac{1}{2-k}&\frac{6-2k}{2-k}&-\frac{1}{2-k}&\frac{2}{2-k}&0\\
0&0&1&-\frac{1}{2-k}&-\frac{2k}{2-k}&\frac{1}{2-k}&-\frac{k}{2-k}&0\\
0&0&0&1&\frac{9}{k}&0&\frac{3}{k}&-\frac{1}{k}
\end{array}\right)$ 

$\Longrightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1&0&0&0&1-\frac{2k}{2-k}+\frac{9}{k(2-k)}&\frac{1}{2-k}&\frac{-k}{2-k}+\frac{3}{k(2-k)}&\frac{-1}{k(2-k)}\\
0&1&0&0&2+\frac{2k}{2-k}-\frac{9}{k(2-k)}&\frac{-1}{2-k}&1+\frac{k}{2-k}-\frac{3}{k(2-k)}&\frac{1}{k(2-k)}\\
0&0&1&0&\frac{-2k}{2-k}+\frac{9}{k(2-k)}&\frac{1}{2-k}&\frac{-k}{2-k}+\frac{3}{k(2-k)}&\frac{-1}{k(2-k)}\\
0&0&0&1&\frac{9}{k}&0&\frac{3}{k}&\frac{-1}{k}
\end{array}\right)$ 

$\Longrightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1&0&0&0&\frac{-3k^2+2k+9}{k(2-k)}&\frac{1}{2-k}&\frac{-k^2+3}{k(2-k)}&\frac{-1}{k(2-k)}\\
0&1&0&0&\frac{4k-9}{k(2-k)}&\frac{-1}{2-k}&\frac{2k-3}{k(2-k)}&\frac{1}{k(2-k)}\\
0&0&1&0&\frac{-2k^2+9}{k(2-k)}&\frac{1}{2-k}&\frac{-k^2+3}{k(2-k)}&\frac{-1}{k(2-k)}\\
0&0&0&1&\frac{9}{k}&0&\frac{3}{k}&\frac{-1}{k}
\end{array}\right)$ 

であるので, 逆行列は 

$A^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}
\frac{-3k^2+2k+9}{k(2-k)}&\frac{1}{2-k}&\frac{-k^2+3}{k(2-k)}&\frac{-1}{k(2-k)}\\
\frac{4k-9}{k(2-k)}&\frac{-1}{2-k}&\frac{2k-3}{k(2-k)}&\frac{1}{k(2-k)}\\
\frac{-2k^2+9}{k(2-k)}&\frac{1}{2-k}&\frac{-k^2+3}{k(2-k)}&\frac{-1}{k(2-k)}\\
\frac{9}{k}&0&\frac{3}{k}&\frac{-1}{k}
\end{array}\right)$ 

である. 

この成分がすべて整数となる為には, $\frac{1}{k(2-k)}$ が整数であることが必要である.
これより, $k(2-k)=\pm1$ である.

$k(2-k)=1$ のとき
$k^2-2k+1=0$
$(k-1)^2=0$
$k=1$,

$k(2-k)=-1$ のとき
$k^2-2k-1=0$
$k=1\pm\sqrt2$

である.
$k$ は整数であるので $k=1$ であることが必要条件である.

$k=1$ とすると,
$k(2-k)=1$, $2-k=1$, $k=1$ となり, 全ての成分の分母が $1$ となるので全ての成分が整数となるので十分条件であることが分かる.

以上より, $k=1$ が必要十分条件である. 

この問題は、同じ計算を何度もしているので終わってから気がつくと思うが、(3) の計算を最初にやってから、分母を見れば (1) が得られるし、5 番目の成分だけを見て $k=1$ と代入すれば (2) が得られる。