線分が通る領域の面積

最近、入試問題とかを解かないで、知恵袋の問題ばっかり解いてる・・・
なんか、色んな問題があって、面白いんですよね・・・
まあ、入試問題も面白いのですが、大学への数学とかの雑誌を
開いてやらないといけないので、ちょっと面倒なんですよね・・・


って事で、今日も知恵袋の問題。





$L$ を正の定数とする.
$x$ 軸上の点 P$(a, 0)$ と $y$ 軸上の点 Q$(0, b)$ は,
条件 : $a+b=L$, $a\ge0$, $b\ge0$
を満たしながら動くものとする.

次の問に答えよ.

(1)
$0\le t\le L$ なる $t$ を固定したとき, 直線 $x=t$ と線分 PQ の交点の $y$ 座標の最大値を求めよ.

(2)
線分 PQ が動いた範囲の面積を求めよ.





(1)
線分 PQ の方程式は
$y=-\dfrac{b}ax+b$
$y=-\dfrac{L-a}ax+(L-a)$
である.
これより, 直線 $x=t$ との交点の $y$ 座標を $f(a)$ とおくと,
$f(a)=-\dfrac{L-a}at+(L-a)$
$=\dfrac{-a^2+(t+L)a-Lt}a$
である.

よって,
$\dfrac{d}{da}f(a)=\dfrac{\{-2a+(t+L)\}a-\{-a^2+(t+L)a-Lt\}}{a^2}$
$=\dfrac{-a^2+Lt}{a^2}$
$=-1+\dfrac{Lt}{a^2}$
であるので,
$\dfrac{d}{da}f(a)=0$ $\iff$ $-1+\dfrac{Lt}{a^2}=0$ $\iff$ $a=\sqrt{Lt}$
より, 増減表は以下の通りである.
\[
\begin{array}{c||c|c|c|c|c}
a & t & \cdots & \sqrt{Lt} & \cdots & L \\
\hline
\frac{d}{da}f(a) & + & + & 0 & - & - \\
\hline
f(a) & & \nearrow & f(\sqrt{Lt}) & \searrow &
\end{array}
\]
これより, 最大値は
$f(\sqrt{Lt}) = \dfrac{-Lt+(t+L)\sqrt{Lt}-Lt}{\sqrt{Lt}}$
$=-2\sqrt{Lt}+t+L$.

(2)
求める面積を $S$ とすると,
$S=\int_0^L(-2\sqrt{Lt}+t+L)dt$
$=\left[-\dfrac43\sqrt{L}t-{\frac32}+\dfrac12t^2+Lt\right]_0^L$
$=-\dfrac43L^2+\dfrac12L^2+L^2$
$=\dfrac16L^2$.





長いこと、（入試問題を解く以外で）数IIIの微分積分ってやってなかったので、ちょっと計算に自信はないのですが・・・
でも、答えはそれっぽくキレイになったので、多分合ってるんじゃないかな？？