行列の対角化

待ちに待った、３連休。
日頃の疲れを癒やす為に、３連休はのんびりと・・・
出かけて来ます。

なので、今日の分の問題も１問、解いてからのお出かけです。
懐かしい、行列の対角化です。





次の実対称行列を直交行列を用いて対角化せよ.
$\left(\begin{array}{ccc}2&-2&0\\-2&2&0\\0&0&1\end{array}\right)$






$A=\left(\begin{array}{ccc}2&-2&0\\-2&2&0\\0&0&1\end{array}\right)$
とする.
$\mathrm{det}(A-\lambda I_3)=0$ とすると,
$\left|\begin{array}{ccc}2-\lambda&-2&0\\-2&2-\lambda&0\\0&0&1-\lambda\end{array}\right|=0$
$(1-\lambda)\{(2-\lambda)(2-\lambda)-(-2)(-2)\}=0$
$(1-\lambda)(4-\lambda)(-\lambda)=0$
より, 固有値は $\lambda=0$, $1$, $4$ である.

$\lambda=0$ に対する固有ベクトルは
$\left(\begin{array}{ccc}2&-2&0\\-2&2&0\\0&0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=0\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)$
より
$\begin{cases}
2x_1-2x_2=0\\
-2x_1+2x_2=0\\
x_3=0
\end{cases}$
であるので,
$\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right)$
である.

$\lambda=1$ に対する固有ベクトルは
$\left(\begin{array}{ccc}2&-2&0\\-2&2&0\\0&0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=1\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)$
より
$\begin{cases}
x_1-2x_2=0\\
-2x_1+x_2=0\\
x_3=x_3
\end{cases}$
であるので,
$\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)$
である.

$\lambda=4$ に対する固有ベクトルは
$\left(\begin{array}{ccc}2&-2&0\\-2&2&0\\0&0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=4\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)$
より
$\begin{cases}
-2x_1-2x_2=0\\
-2x_1-2x_2=0\\
x_3=4x_3
\end{cases}$
であるので,
$\left(\begin{array}{c}1\\-1\\0\end{array}\right)$
である. 

よって, 

$A\left(\begin{array}{ccc}1&1&0\\1&-1&0\\0&0&1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1&1&0\\1&-1&0\\0&0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&4&0\\0&0&1\end{array}\right)$

が成り立つ. 

$\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&1&0&1&0&0\\1&-1&0&0&1&0\\0&0&1&0&0&1\end{array}\right)$ 

$\Longrightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&1&0&1&0&0\\0&-2&0&-1&1&0\\0&0&1&0&0&1\end{array}\right)$ 

$\Longrightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&1&0&1&0&0\\0&1&0&-\frac12&-\frac12&0\\0&0&1&0&0&1\end{array}\right)$ 

$\Longrightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&\frac32&\frac12&0\\0&1&0&-\frac12&-\frac12&0\\0&0&1&0&0&1\end{array}\right)$ 

より, 

$\left(\begin{array}{ccc}\frac32&\frac12&0\\-\frac12&-\frac12&0\\0&0&1\end{array}\right)A\left(\begin{array}{ccc}1&1&0\\1&-1&0\\0&0&1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&4&0\\0&0&1\end{array}\right)$ 

により対角化できる.