線形変換の Im と Ker の次元

昨日は遊びまくったのですが、今日は・・・
スポーツ観戦に来ました。

スポーツ観戦と言っても、以前、副顧問をしていたとある学校の部活の新人戦を観に行ってきました。
まあ、新人戦とはいえ、今日は１回戦だけですし、約１ヶ月前の選手権の地区予選は優勝しているチームなので、そのときと地区の分け方が違うとはいえ、まず負けるはずはないのですが・・・

負けませんでしたけど、お世辞にも褒められるような内容ではなかった・・・
明日の２試合、どうなるでしょうかね？？





今日も、知恵袋の問題。
線形変換と、その Ker と Im の次元について。





$\mathbb{R}^3$ 上の線形変換 $f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ を,
$f(\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)):=\left(\begin{array}{c}x+y+z\\x+y+z\\x+y+z\end{array}\right)$
によって定める.
以下の問に答えよ.

(1) $\mathbb{R}^3$ の標準基底 $\{e_1, e_2, e_3\}$ （順序付けされた組）に関する $f$ の表現行列を求めよ.

(2) $\mathrm{Im}(f)$ の基底と次元を求めよ.

(3) $\mathrm{Ker}(f)$ の基底と次元を求めよ.





(1)
$f(e_1)=\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)$ , $f(e_2)=\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)$ , $f(e_3)=\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)$

であるので, 表現行列は 

$\left(\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}\right)$ 

である. 

(2) 

$f(\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right))=\left(\begin{array}{c}x+y+z\\x+y+z\\x+y+z\end{array}\right)$ 

$=(x+y+z)\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)$ 

より, 

$\mathrm{Im}(f)=<\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)>$ 

であり, その次元は $1$. 

(3) 

$f(\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right))=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)$ 

$\left(\begin{array}{c}x+y+z\\x+y+z\\x+y+z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)$ 

$x+y+z=0$ 

$z=-x-y$ 

より, 

$\mathrm{Ker}(f)=<\left(\begin{array}{c}1\\0\\-1\end{array}\right), \left(\begin{array}{c}0\\1\\-1\end{array}\right)>$ 

であり, その次元は $2$.