積分の公式の証明

来週末、後輩に会いに行くのですが、その準備が色々と大変で、仕事もそっちのけで・・・
とは言いませんが、隙間時間の全てを注ぎ込んで頑張っております。
だったら、こんな問題を解いたり、ブログに投稿したりする暇は・・・





今日も知恵袋の問題です。
ラベルでは微分積分（大学）となっていますが、$\sin^{-1}$ は大学で習うものなのでそうしていますが、レベルとしては $\sin^{-1}$ の定義が分かれば高校数学の範囲で解ける、変数変換（置換積分）の典型的な問題ですね。
ただ、不定積分なので、最後に元に戻さなくてはなりませんので、それを忘れないように注意が必要ですね。






公式
$\displaystyle\int\sqrt{a^2-x^2}dx=\dfrac12\left\{a^2\sin^{-1}\left(\dfrac{x}a\right)+x\sqrt{a^2-x^2}\right\}$ $(a>0)$
を証明せよ.





$x=a\sin t$ とおくと,
$\dfrac{x}a=\sin t$
$t=\sin^{-1}\left(\dfrac{x}a\right)$
であり,
$dx=a\cos tdt$
である.

これより,
$\displaystyle\int \sqrt{a^2-x^2}dx$ $\displaystyle\int\sqrt{a^2-a^2\sin^2t}~a\cos tdt$
$=a^2\displaystyle\int\cos^2t dt = (*)$

ここで,
$\displaystyle\int\cos^2t dt = \displaystyle\int(\sin t)'\cos t dt$
$= \sin t\cos t-\displaystyle\int\sin t(\cos t)'dt$
$= \sin t\cos t+\displaystyle\int\sin^2tdt$
$= \sin t\cos t+\displaystyle\int(1-\cos^2 t)dt$
$= \sin t\cos t+t-\displaystyle\int\cos^2tdt$
であるので,
$\displaystyle\int\cos^2tdt=\dfrac12(t+\sin t\cos t)$
を得る.

$(*) = \dfrac12a^2(t+\sin t\cos t)$
$= \dfrac12(a^2t+a^2\sin t\sqrt{1-\sin^2t})$
$= \dfrac12\{a^2t+a\sin t\sqrt{a^2-(a\sin t)^2}\}$
$= \dfrac12\left\{a^2\sin^{-1}\left(\dfrac{x}a\right)+x\sqrt{a^2-x^2}\right\}$
より, 成り立つ.