整数の問題

週末に、飲み会があるのが最近の楽しみ。
まあ、私自身はアルコールがダメな人なのですが、飲み会自体は楽しいので好きです。
そこに向けて、絶賛準備中なのですが、予約した人数よりも少なくなりそうで・・・
誰か、代わりに来れる人、いませんかね？？





ちょいと最近、某質問サイトであまりおもしろい問題を見つけられなくて・・・
って事で、今日は知恵袋ではない問題を解説。
仕事とは別に、人に数学を教える機会がありまして、そこで最近、解説した問題。
整数の問題なのですが、ちょっと難易度が高めの問題。
とはいえ、入試でも出てきておかしくないような問題。





$2^a+3^b+1=6^c$ を満たす自然数 $(a, b, c)$ の組を全て求めよ.





この問題へのアプローチとしては、色々と考えられるのだが、
基本的には合同式、即ちある整数で割ったときの余りを考える、というもの。

では、その整数は何になるのか？？
基本的には、 $2^a$ と $6^c$ か、 $3^b$ と $6^c$ が計算する必要がなくなるように、$\pmod{2^n}$ か $\pmod{3^n}$ とするのが良さそうである。





表記が面倒なので, $L=2^a+3^b+1$, $R=6^c$ とおく.





(解法 1) $2^2=4$ で割った余りを考える.
$2^a\equiv\begin{cases}2&(a=1)\\0&(a\ge2)\end{cases}\pmod4$
$3^b\equiv\begin{cases}3&(b\equiv1\pmod2)\\1&(b\equiv0\pmod2)\end{cases}\pmod4$
$6^c\equiv\begin{cases}2&(c=1)\\0&(c\ge2)\end{cases}\pmod4$

これより, 

$L\equiv\left\{\begin{array}{c}2\\0\end{array}\right\}+\left\{\begin{array}{c}3\\1\end{array}\right\}+1\pmod4$

$R\equiv\left\{\begin{array}{c}2\\0\end{array}\right\}\pmod4$ 

である.
これが成り立つ為には,
$(L\equiv 2+3+1, R\equiv 2)$,
$(L\equiv 2+1+1, R\equiv 0)$,
$(L\equiv 0+3+1, R\equiv 0)$,
$(L\equiv 0+1+1, R\equiv 2)$
の $4$ パターンを考察しなくてはならない.

(i) $a=1$, $b\equiv1\pmod2$, $c=1$ のとき,
$2^1+3^b+1=6^1$
$3^b=3$
$b=1$
より $(a, b, c)=(1, 1, 1)$ を得る.

(ii) $a=1$, $b\equiv0\pmod2$, $c\ge2$ のとき,
$2^1+3^b+1=6^c$
$3^b+3=6^c$
$3(3^{b-1}+1)=6^c$
ここで, $b\ge2$ より $b-1\ge1$ であるので, $3^{b-1}$ は $3$ の倍数であり, $3^{b-1}+1$ は $3$ の倍数ではない.
よって, この式の左辺は $3$ の倍数であるが $9$ の倍数ではない.
これより $c=1$ を得るので,
$3^b+3=6^1$
$3^b=3$
$b=1$
であるが, $b\ge2$ より不適.

(iii) $a\ge2$, $b\equiv1\pmod2$, $c\ge2$ のとき,
非負整数 $a_0$, $b_0$, $c_0$ を用いて
$a=a_0+2$, $b=2b_0+1$, $c=c_0+2$ と表すことができる.
これより,
$2^a+3^b+1=6^c$
$4\times2^{a_0}+3\times9^{b_0}+1=36\times5^{c_0}$

ここから更に $b_0$ が偶数で, って条件を出していけば、なんとかなるのかも知れないけど, ちょっと面倒なのでここまでで...

(iv) $a\ge2$, $b\equiv0\pmod2$, $c=1$ のとき,
非負整数 $a_0$, $b_0$ を用いて
$a=a_0+2$, $b=2b_0+2$ と表すことができる.
これより,
$2^a+3^b+1=6^1$
$4\times2^{a_0}+9\times9^{b_0}=5$
ここで, $4\times2^{a_0}\ge4$, $9\times9^{b_0}\ge9$ であるので不適.

以上より... (iii) をもう少し厳密に計算すれば, 全ての解が出てきそうですが, ちょっと面倒なので...





(解法 2) $2^3=8$ で割った余りを考える.
$2^a\equiv\begin{cases}2&(a=1)\\4&(a=2)\\0&(a\ge3)\end{cases}\pmod8$
$3^b\equiv\begin{cases}3&(b\equiv1\pmod2)\\1&(b\equiv0\pmod2)\end{cases}\pmod8$
$6^c\equiv\begin{cases}6&(c=1)\\4&(c=2)\\0&(c\ge3)\end{cases}\pmod8$

これより, 

$L\equiv\left\{\begin{array}{c}2\\4\\0\end{array}\right\}+\left\{\begin{array}{c}3\\1\end{array}\right\}+1\pmod8$

$R\equiv\left\{\begin{array}{c}6\\4\\0\end{array}\right\}\pmod8$ 

である.

これが成り立つ為には,
$(L\equiv 2+3+1, R\equiv 6)$,
$(L\equiv 2+1+1, R\equiv 4)$,
$(L\equiv 4+3+1, R\equiv 0)$,
$(L\equiv 4+1+1, R\equiv 6)$,
$(L\equiv 0+3+1, R\equiv 4)$
の $5$ パターンを考察しなくてはならない.
が, $2$ パターンずつ考察していく. 

(i) $a=1$ のとき, 

$2^1+3^b+1=6^c$ 

$3^b+3=6^c$ 

$3(3^{b-1}+1)=6^c$ 

ここで, 

$3^{b-1}\equiv\begin{cases}1&(b=1)\\0&(b\ge2)\end{cases}\pmod3$

であるので,
$3^{b-1}+1\equiv\begin{cases}2&(b=1)\\1&(b\ge2)\end{cases}\pmod3$ 

であるから, $3(3^{b-1}+1)$ は $3$ の倍数であるが $9$ の倍数ではないので, $c=1$ である.
これより,
$3^b+3=6^1$
$3^b=3$
$b=1$
であるので, $(a, b, c)=(1, 1, 1)$ を得る.

(ii) $a=2$ のとき,
$2^2+3^b+1=6^c$
$3^c+5=6^c$
が成り立つ.
ここで,
$L\equiv2\pmod3$,
$R\equiv0\pmod3$
であるので不適.

(iii) $a\ge3$ のとき, $b\equiv1\pmod2$, $c=2$ である.
非負整数 $a_0$, $b_0$ が存在し, $a=a_0+3$, $b=2b_0+1$ と表すことができる.
すると,
$2^{a_0+3}+3^{2b_0+1}+1=6^2$
$8\times2^{a_0}+3\times9^{b_0}=35$
である.
$a_0$, $b_0$ は非負整数であるので, $b_0=0, 1$ である必要がある.

$b_0=0$ のとき, $b=1$ であり,
$2^a+3^1=35$
$2^a=32$
$a=5$
であるので, $(a, b, c)=(5, 1, 2)$.

$b_0=1$ のとき, $b=3$ であり,
$2^a+3^3=35$
$2^a=8$
$a=3$
であるので, $(a, b, c)=(3, 3, 2)$.

以上より, $(a, b, c)=(1, 1, 1)$, $(5, 1, 2)$, $(3, 3, 2)$.





(解法 3) $3^2=9$ で割ったときの余りを考える.
$2^a\equiv\begin{cases}
1&(a\equiv0\pmod 6) \\
2&(a\equiv1\pmod 6) \\
4&(a\equiv2\pmod 6) \\
8&(a\equiv3\pmod 6) \\
7&(a\equiv4\pmod 6) \\
5&(a\equiv5\pmod 6)
\end{cases} \pmod 9$
$3^b\equiv\begin{cases}
3 & (b=1) \\
0 & (b\ge2)
\end{cases} \pmod 9$
$6^c\equiv\begin{cases}
6 & (c=1) \\
0 & (c\ge2)
\end{cases} \pmod 9$
である.

(i) $b=1$, $c=1$ のとき,
$2^a+3^1+1=6^1$
$2^a=2$
$a=1$
であるので, $(a, b, c)=(1, 1, 1)$ を得る.

(ii) $b=1$, $c\ge2$ のとき,
$R\equiv0\pmod9$
であるので,
$L\equiv0\pmod9$
$2^a+3^1+1\equiv0\pmod9$
$2^a\equiv5\pmod9$
$a\equiv5\pmod6$
が成り立つ.
これより, 非負整数 $a_0$ を用いて $a=6a_0+5$ と表すことができる.
よって,
$2^{6a_0+5}+3^1+1=6^c$
$32\times64^{a_0}+4=6^c$
$4(8\times 64^{a_0}+1)=6^c$
が成り立つ.
ここで, 左辺は $4$ の倍数であるが $8$ の倍数ではないので, $c=2$ である.
$2^a+3^1+1=6^2$
$2^a=32$
$a=5$
より, $(a, b, c)=(5, 1, 2)$ を得る.

(iii) $b\ge2$, $c=1$ のとき,
$L=2^a+3^b+1\ge12$,
$R=6^1=6$
より不適.

(iv) $b\ge2$, $c\ge2$ のとき,
$R\equiv0\pmod9$
であるので,
$L\equiv0\pmod9$
$2^a+3^b+1\equiv0\pmod9$
$2^a\equiv8\pmod9$
$a\equiv3\pmod6$
が成り立つ.
これより, 非負整数 $a_0$ を用いて $a=6a_0+3$ と表すことができる.
よって,
$2^{6a_0+3}+3^b+1=6^c$
$8\times64^{a_0}+3^b+1=6^c$
を得る.

ここで,
$L_1=8\times64^{a_0}+3^b+1$, $R=6^c$
とおき, $8$ で割った余りを考える.

$L\equiv 3^b+1\pmod8$ より

$L\equiv\begin{cases}
2 & (b\equiv0\pmod 2) \\
4 & (b\equiv1\pmod 2) \\
\end{cases}\pmod8$

$R\equiv\begin{cases}
4 & (c=2) \\
0 & (c\ge3)
\end{cases}\pmod8$

であるので,
$b\equiv1\pmod2$, $c=2$ である.
$8\times64^{a_0}+3^b+1=6^2$
$8\times64^{a_0}+3^b+1=36$
より, $a_0=0$, $a=3$ を得るので,
$8+3^b+1=36$
$3^b=27$
$b=3$
より, $(a, b, c)=(3, 3, 2)$ を得る.

以上より,
$(a, b, c)=(1, 1, 1)$, $(5, 1, 2)$, $(3, 3, 2)$ を得る.