重積分の変数変換

久しぶりに知恵袋を見て見つけた、重積分の問題です。





領域 $D$ を図示し, $2$ 重積分の値を求めよ.
$\displaystyle\int\int_Dx~dxdy$,      $D=\{(x, y)|x^2+y^2\le1, x\ge0\}$





領域 $D$ は, 原点を中心とし, 半径 $1$ の円の内部及び円周上の, $y$ 軸上および $y$ 軸よりも右側の部分である.

これより,
$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$
と変数変換すると,
$D=\left\{(r, \theta)|0\le r\le1, ~ -\dfrac{\pi}2\le\theta\le\dfrac{\pi}2\right\}$
であり, ヤコビアン $|det(J)|$ は
$det(J)=\left|\begin{array}{cc}
\dfrac{dx}{dr} & \dfrac{dx}{d\theta} \\
\dfrac{dy}{dr} & \dfrac{dy}{d\theta}
\end{array}\right|$
$= \left|\begin{array}{cc}
\cos\theta & -r\sin\theta \\
\sin\theta & r\cos\theta
\end{array}\right|$
$= r\cos^2\theta+r\sin^2\theta$
$= r$
$|det(J)|=r$
であるので,
$\displaystyle\int\int_Dx~dxdy = \int_0^1\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}(r\cos\theta \times r)~d\theta dr$
$= \displaystyle\int_0^1r^2~dr\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}\cos\theta~d\theta$
$= \left[\dfrac13r^3\right]_0^1\biggl[\sin\theta\biggr]_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}$
$= \left(\dfrac13-0\right)\times\{1-(-1)\}$
$= \dfrac23$.