合同の証明

もう一昨日になるのですが・・・
平成２９年１１月２９日、ということで、「肉！いい肉！！」だったので、某ステーキチェーン店に行ってきました。
チェーン店と言っても、そこらのファミレスとは違って、しっかりとした“いい肉”を提供している店でして・・・

１年に１日だけ、１１月２９日にだけ食べられるスペシャルメニュー、サーロイン５ポンド、９９９０円という超破格のメニューです。
５ポンドと言われても、いまいちイメージが湧かないと思いますが・・・

$1$ ポンド $=$ $450$ g

ですので、計算すると・・・

$5$ ポンド $=$ $2250$ g

なんですよ・・・


そんなわけで、明らかに１人では食べきれない量なので、妹夫婦と一緒に食べに行ってきました。

プラスでご飯セット×３を頼みましたが、それでもなかなかの量で・・・

到着してから約３０分で食べきりましたけど、全員がもう、しばらくステーキを食べたくない・・・ 

来年は・・・来なくてもいいかな・・・





今日は知恵袋でみつけた、中学校レベルの合同の証明。
中学校レベル、と言っても、中学校で出題するにはだいぶ難しいのかも知れませんが・・・





正 $n$ 角形を外心（すべての頂点を通る円の中心）を中心として $\theta$ 回転し, 回転前後の正 $n$ 角形の重なった部分は $2n$ 角形で, その外側には $2n$ 角形と辺を共有した $2n$ 個の三角形ができ, それらはすべて合同である.
ただし $0^\circ<\theta<\dfrac{360^\circ}n$, $n\ge3$
これを証明せよ.


まず, 最初の問題は, “これ”が何を指しているのか.
通常であれば, $2n$ 個の三角形がすべて合同である, を挿している気がするのだが, 勝手な判断をしてはいけない.
その前の文章の主張は,
・重なった部分は $2n$ 角形
・$2n$ 個の三角形ができる
・それら $2n$ 個の三角形はすべて合同
という $3$ つであると読み取れる.

なので, これら $3$ つを証明しなくてはならない...
なんて事はないと思うので, 最後の合同の証明だけを考えます.


まず, 図形の点に名前をつける.
点 $\mathrm{X}_i$ の添字 $i$ が $n$ 以上となったときは, 点 $\mathrm{X}_{i-n}$ を表すものとする.

回転前の正 $n$ 角形を $\mathrm{A}_0\mathrm{A}_1\dots\mathrm{A}_{n-1}$ とし, 回転によって $\mathrm{A}_i$ が $\mathrm{B}_i$ に移動したものとする.

また, 直線 $\mathrm{A}_i\mathrm{A}_{i+1}$ と直線 $\mathrm{B}_i\mathrm{B}_{i+1}$ の交点を $\mathrm{C}_i$, 直線 $\mathrm{A}_{i+1}\mathrm{A}_{i+2}$ と直線 $\mathrm{B}_i\mathrm{B}_{i+1}$ の交点を $\mathrm{D}_i$ とする.

ここで, 正 $n$ 角形の対称性から, $n$ 個の三角形 $\triangle\mathrm{A}_i\mathrm{B}_i\mathrm{C}_i$ はすべて合同であることは明らか.

$\triangle\mathrm{A}_{i+1}\mathrm{B}_{i+1}\mathrm{C}_i$ と $\triangle\mathrm{B}_{i+1}\mathrm{A}_{i+1}\mathrm{C}_{i+1}$ について,

共通な辺なので
$\mathrm{A}_{i+1}\mathrm{B}_{i+1}=\mathrm{B}_{i+1}\mathrm{A}_{i+1}$ $\cdots$ (1)

$\triangle\mathrm{O}\mathrm{A}_i\mathrm{A}_{i+1}$ と $\triangle\mathrm{O}\mathrm{B}_{i+2}\mathrm{B}_{i+1}$ は合同な三角形であるので
$\angle\mathrm{O}\mathrm{A}_{i+1}\mathrm{A}_i=\angle\mathrm{O}\mathrm{B}_{i+1}\mathrm{B}_{i+2}$ $\cdots$ (2)

$\triangle\mathrm{O}\mathrm{A}_{i+1}\mathrm{B}_{i+1}$ は二等辺三角形であるので
$\angle\mathrm{O}\mathrm{A}_{i+1}\mathrm{B}_{i+1}=\angle\mathrm{O}\mathrm{B}_{i+1}\mathrm{A}_{i+1}$ $\cdots$ (3)

(2), (3) より
$\angle\mathrm{C}_i\mathrm{A}_{i+1}\mathrm{B}_{i+1}=\angle\mathrm{C}_{i+1}\mathrm{B}_{i+1}\mathrm{A}_{i+1}$ $\cdots$ (4)

対称性から, 弧 $\mathrm{B}_i\mathrm{A}_{i+1} =$ 弧 $\mathrm{A}_{i+2}\mathrm{B}_{i+1}$ であるので, 円周角の定理より
$\angle\mathrm{C}_i\mathrm{B}_{i+1}\mathrm{A}_{i+1}=\angle\mathrm{C}_{i+1}\mathrm{A}_{i+1}\mathrm{B}_{i+1}$ $\cdots$ (5)

(1), (4), (5) より $1$ 辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
$\triangle\mathrm{A}_{i+1}\mathrm{B}_{i+1}\mathrm{C}_i\equiv\triangle\mathrm{B}_{i+1}\mathrm{A}_{i+1}\mathrm{C}_{i+1}$.

これより,
$\mathrm{A}_{i+1}\mathrm{C}_i=\mathrm{B}_{i+1}\mathrm{C}_{i+1}$ $\cdots$ (6)
$\angle\mathrm{A}_{i+1}\mathrm{C}_i\mathrm{B}_{i+1}=\angle\mathrm{B}_{i+1}\mathrm{C}_{i+1}\mathrm{A}_{i+1}$ $\cdots$ (7)

$\triangle\mathrm{A}_{i+1}\mathrm{C}_i\mathrm{D}_i$ と $\triangle\mathrm{B}_{i+1}\mathrm{C}_{i+1}\mathrm{D}_i$ について,

(4), (5) より
$\mathrm{C}_i\mathrm{A}_{i+1}\mathrm{D}_i=\mathrm{C}_{i+1}\mathrm{B}_{i+1}\mathrm{D}_i$ $\cdots$ (8)

(6), (7), (8) より $1$ 辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
$\triangle\mathrm{A}_{i+1}\mathrm{C}_i\mathrm{D}_i\equiv\triangle\mathrm{B}_{i+1}\mathrm{C}_{i+1}\mathrm{D}_i$.

以上より, 題意が成り立つ${}_{\square}$