定積分の置換積分

先週末、愛車（リーフ、２４ｋＷｈ）の車検があったので、今日はその車検が終わっての新しい車検証を貰いに地元の日産に行ってきた。
とりあえずもう２年は最低でも大事に乗ることが確定しました。
新型リーフではない、前のリーフなので、充電が何よりも重要な課題となっているのです。

高速道路の極一部のスマートインターチェンジで、ＥＴＣ２．０の場合は、特定の条件を満たすと乗り継ぎでの加算がなくなる、という対応がある。
例えば、高崎玉村スマートインターチェンジの場合、下りて直ぐの道の駅を利用することで、再度そこから乗っても、降りなかった場合と同じ料金になるのである。
なので、スマートインターチェンジから降りて、道の駅で充電して、再び高速道路へ、なんて事をしても、高速料金が加算されないようになるのである。

現段階では、こんな使い方ができるスマートインターチェンジはほとんどないのだが、これから先、どんどん増えてくる（らしい）ので、ＥＴＣ２．０に買い換える事も考え始めました。
うーん、どうしようかな・・・





今日は知恵袋で見つけた、高校生のレベルの置換積分の問題。
問題の写真を見ると、恐らく大学の初年次教育の微分積分の問題かと思われるが、この２問に限っては高校生でも解ける問題である。
これらの問題は、実際に解いてみて、やり方を覚えるのが近道かと思われる。
数学が分かってくると、このような問題ではこう置換する、というのが分かってくるが、慣れないうちは難しいので、まずはやって覚えるのがいいかと。





次の定積分を求めよ.
(2) $\displaystyle\int_1^{\sqrt3}\dfrac{x^2}{1+x^2}dx$
(3) $\displaystyle\int_0^1\dfrac{1}{\sqrt{4-x^2}}dx$





(2)
$\dfrac{x^2}{1+x^2}=1-\dfrac{1}{1+x^2}$
であるので,
$\displaystyle\int_1^{\sqrt3}\dfrac{x^2}{1+x^2}dx=\displaystyle\int_1^{\sqrt3}\left(1-\dfrac{1}{1+x^2}\right)dx$
$=(\sqrt3-1)-\displaystyle\int_1^{\sqrt3}\dfrac{1}{1+x^2}dx$
$=(*)$
ここで, $x=\tan\theta$ とおくと,
$\begin{array}{c|ccc}
x & 1 & \rightarrow & \sqrt3 \\
\hline
\theta & \frac{\pi}4 & \rightarrow & \frac{\pi}3
\end{array}$
であり,
$\dfrac{dx}{d\theta}=\dfrac{1}{\cos^2\theta}$
であるので,
$\displaystyle\int_1^{\sqrt3}\dfrac{1}{1+x^2}dx = \int_{\frac{\pi}4}^{\frac{\pi}3}\dfrac{1}{1+\tan^2\theta}\times\dfrac{1}{\cos^2\theta}d\theta$
$=\displaystyle\int_{\frac{\pi}4}^{\frac{\pi}3}d\theta$
$=\dfrac{\pi}3-\dfrac{\pi}4$
$=\dfrac{\pi}{12}$
である.
よって,
$(*)=\sqrt3-1-\dfrac{\pi}{12}$.


(3)
$x=2\sin\theta$ とおくと,
$\begin{array}{c|ccc}
x & 0 & \rightarrow & 1 \\
\hline
\theta & 0 & \rightarrow & \frac{\pi}4
\end{array}$
であり,
$\dfrac{dx}{d\theta} = 2\cos\theta$
であるので,
$\displaystyle\int_0^1\dfrac{1}{\sqrt{4-x^2}}dx=\int_0^{\frac{\pi}4}\dfrac{1}{\sqrt{4-4\sin^2\theta}}\times2\cos\theta ~d\theta$
$=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}4}d\theta$
$= \dfrac{\pi}4-0$
$= \dfrac{\pi}4$.