対象式と漸化式

最近、勤務校の時間割をずっと組んでいたのですが、酷い悪夢にうなされまして・・・


毎日毎日、エクセルの画面上に、細かい授業コマが並んでいて、
それを移動させて時間割を作成していたのですが・・・

寝る前に、テトリス99の対戦動画（YouTube）なんかを見ちゃったりしたもんだから、
編集している時間割を、謎の対戦相手に攻撃されて、時間割がどんどん崩される、
という訳の分からん夢にうなされたり・・・

先週の金曜日に、後期から来る非常勤の先生から出た条件が、
突然の曜日条件が指定されて、しかもそれによって
持つことができない授業を他の先生に割り振ることになり・・・
その指示に従って名前を入れ直した結果、同じ時間に同じ人が被ってたり、
非常勤の先生の条件に合致していないコマがあったりすると、
条件付き書式により赤くなるようにしていたのですが・・・

赤いコマが、１５～６個も発生してしまいまして・・・
変更する前は、残り１個まで減らしていたのに・・・

そんなわけで、先週の３連休は１人で職員室に引きこもり、
ずっとエクセルと格闘していたのですが・・・
連休が明けての火曜日に、２２時間の授業を担当する
非常勤の先生が、家の都合で曜日に条件が加わって・・・

という、なんとも恐ろしい夢を月曜日の夜に見まして・・・
凄い寝汗をかいたのを覚えていました。


そんなこんなで、職業病ともいうべき悪夢にうなされたりもしましたが、
なんとか無事に時間割を作り上げることができました。

とはいえ、こんなことを半年に１回やる、なんてことは、流石に無駄が多い。
って事で、来年度からはやり方を変えないと、私も死んでしまう・・・





今日は、対象式の問題を解くときに、めんどくさいことになるのを避ける方法。
生徒から質問されたので、一緒に考えて作った解法です。


$x^2-3x-2=0$ の $2$ つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき,
以下の値を求めよ.

(1) $\alpha+\beta$
(2) $\alpha\beta$
(3) $\alpha^2+\beta^2$

これくらいなら、教科書に出てくる基本例題のレベル。

(1), (2)
解と係数の関係より,
$\alpha+\beta=-\frac{-3}{1}=3$
$\alpha\beta=\frac{-2}{1}=-2$.
(3)
$\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$
$= 3^2-2\times(-2) = 13$.


解と係数の関係とは・・・

$2$ 次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解を $\alpha$, $\beta$ とすると,
$\alpha+\beta=-\frac{b}{a}$, $\alpha\beta=\frac{c}{a}$
が成り立つ.

というものである。
これを使うと (1), (2) は瞬殺できる。

(3) について、展開式
$\alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2=(\alpha+\beta)^2$
より、移項すると
$\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$
を得る。


ここまではこれでいいのだが、次数が高くなったときに、どうするのか。

例えば、
(4) $\alpha^7+\beta^7$
なんていう問題が続いていた場合、どうするといいか。

まず考えつく解答として・・・

$(\alpha+\beta)^7=\alpha^7+7\alpha^6\beta+21\alpha^5\beta^2+35\alpha^4\beta^3+35\alpha^3\beta^4+21\alpha^2\beta^5+7\alpha\beta^6+\beta^7$
より、
$\alpha^7+\beta^7=(\alpha+\beta)^7-7\alpha\beta(\alpha^5+\beta^5)-21(\alpha\beta)^2(\alpha^3+\beta^3)-35(\alpha\beta)^3(\alpha+\beta)$
であるが、$\alpha^5+\beta^5$ とか、$\alpha^3+\beta^3$ とかは・・・

$(\alpha+\beta)^3=\alpha^3+3\alpha^2\beta+3\alpha\beta^2+\beta^3$
より
$\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)$
$=3^3-3\times(-2)\times3=45$,

$(\alpha+\beta)^5=\alpha^5+5\alpha^4\beta+10\alpha^2\beta^3+10\alpha^2\beta^3+5\alpha\beta^4+\beta^5$
より
$\alpha^5+\beta^5=(\alpha+\beta)^5-5\alpha\beta(\alpha^3+\beta^3)-10(\alpha\beta)^2(\alpha+\beta)$
$=3^5-5\times(-2)\times45-10\times(-2)^2\times3=573$
であるので、
$\alpha^7+\beta^7=(\alpha+\beta)^7-7\alpha\beta(\alpha^5+\beta^5)-21(\alpha\beta)^2(\alpha^3+\beta^3)-35(\alpha\beta)^3(\alpha+\beta)$
$=3^7-7\times(-2)\times573-21\times(-2)^2\times45-35\times(-2)^3\times3$
$=7269$
である・・・

と言われても・・・

断じて、簡単ではない・・・
合っているか、自身がない・・・



そこで、漸化式を考える。
$(\alpha^n+\beta^n)(\alpha+\beta)=(\alpha^{n+1}+\beta^{n+1})+\alpha\beta(\alpha^{n-1}+\beta^{n-1})$
即ち
$\alpha^{n+1}+\beta^{n+1}=(\alpha+\beta)(\alpha^n+\beta^n)+\alpha\beta(\alpha^{n-1}+\beta^{n-1})$
より、$S_n=\alpha^n+\beta^n$ とおくと、
$S_{n+1}=(\alpha+\beta)S_n-\alpha\beta S_{n-1}$
という、$3$ 項間漸化式を得る.

漸化式が出てくると、特性方程式を解いて一般項を求め・・・
って考えがちであるが、そんなことをしても意味がない。
何故なら、一般項はすでに定義が分かっている通り・・・
$S_n=\alpha^n+\beta^n$
なわけですから・・・

そんなわけで、この漸化式を用いて、前述の (4) を解いてみると・・・

$\alpha+\beta=3$
$\alpha\beta=-2$
$\alpha^2+\beta^2=13$
であるので、

$\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)(\alpha^2+\beta^2)-\alpha\beta(\alpha+\beta)$
$=3\times13-(-2)\times3=45$

$\alpha^4+\beta^4=(\alpha+\beta)(\alpha^3+\beta^3)-\alpha\beta(\alpha^2+\beta^2)$
$=3\times45-(-2)\times13=161$

$\alpha^5+\beta^5=(\alpha+\beta)(\alpha^4+\beta^4)-\alpha\beta(\alpha^3+\beta^3)$
$=3\times161-(-2)\times45=573$

$\alpha^6+\beta^6=(\alpha+\beta)(\alpha^5+\beta^5)-\alpha\beta(\alpha^4+\beta^4)$
$=3\times573-(-2)\times161=2041$

$\alpha^7+\beta^7=(\alpha+\beta)(\alpha^6+\beta^6)-\alpha\beta(\alpha^5+\beta^5)$
$=3\times2041-(-2)\times573=7269$


こんな漸化式を考えた方が、比較的簡単になる・・・
こともありますよ、って話でした。

鳩ノ巣の原理

最近、勤務校の後期の時間割を組んでいる。
だが、全然出来る気がしない・・・

だって、習熟度の授業が多く、複数のクラスを跨った授業になっている。
そんな授業とホームルームで残っているのは週に７コマしかないのに、３クラスで１０コマを、同じ教員に担当させる、という教科がありまして・・・

そんなの、不可能だって言うことが、鳩ノ巣の原理を用いて証明できるわけです。



鳩ノ巣の原理（Dirichletの部屋割論法）
$n$ 個の巣箱に $n+1$ 羽の鳩が入っているなら、少なくとも $1$ 個の巣箱には $2$ 羽以上の鳩が入っている。



そんなの当たり前じゃないの？
と思える結果であるが、数学では非常に重要なものでして・・・


例えば、以下のような事を証明できる。

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世田谷区民の中には、髪の毛の本数が等しい人が存在する。
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世田谷区民は世田谷区内全域の人口と世帯数によると、2019年9月1日現在で916,139人であるらしい。

つまり、91万人もいる、ということ。

これに対して、日本人の頭髪は約15万本である、ということらしい。

平均で15万、って事なので、厳密ではないが、最大値としては6倍の90万本、ということにしたら・・・

鳩ノ巣の原理より、同じ本数の人が少なくとも $2$ 人は存在する、ということが証明できる。

なので、このままでは時間割を組むことができないのだ。