授業で出題した問題（週末課題No.01）

世間では、新型コロナウィルスで大騒ぎなんですよね。

で、私の勤務校でも、休校になって、その対応で右往左往しているところです。


休校が続いているので、授業が始められない。

でも、そんな状況なのに、今年度から大学入学共通テストが始まる。

色々と分からない状況なのに、授業時間も少なくなってしまう・・・


こんな騒動がなくても使ってみようと思っていた Google Classroom を、
この機会に本格導入をしてみることにしました。

初期設定では、同じドメインからなら問題なく入れるのですが、
セキュリティ面から考えて、生徒に学校のドメインのアカウントを・・・
というのは少しむずかしいかと思いまして・・・
で、色々といじっていたら、なんとか Gmail で登録できるようになりました。

で、課題を配信してみました。
週末課題と、平日課題と、です。

週末課題は基本となる小問くらいの問題、
平日課題は内容をしっかりと理解してないと解けないしっかりとした問題。

$\LaTeX$ で問題の PDF ファイルを作成し、それを課題として配信する。
それを生徒がスマートフォン等で閲覧し、解答を作成する。
ノートやレポート用紙に手書きで作成したものを写真に撮影し、
それをそのまま Classroom で投稿したものを採点する。

そんな方法で、授業を少しずつでもしていこうかと考えています。




で、今日の問題。

「授業で出題した問題」というか、前述の通り Classroom で出題した問題。


週末課題

第 $1$ 問
$x^2+5xy+6y^2-x+y-12$ を因数分解せよ.

第 $2$ 問

次の式の分母を有理化せよ.
(1) $\dfrac{3}{2\sqrt3}$
(2) $\dfrac{2}{\sqrt5-1}$
(3) $\dfrac{4}{1+\sqrt2+\sqrt3}$


まあ、これくらいの問題であれば、教科書レベルなので、
誰でも出来るような問題、と言えるでしょう。
第 $2$ 問の (3) くらいの問題が載っている教科書なんて
なかなか見ることもないとは思いますが・・・


解答例
第 $1$ 問
$x^2+5xy+6y^2-x+y-12$
$= x^2+(5y-1)x+(6y^2+y-12)$
$= x^2+(5y-1)x+(2y+3)(3y-4)$
$= (x+2y+3)(x+3y-4)$.

第 $2$ 問 (1)
$\dfrac{3}{2\sqrt3}$
$= \dfrac{3\sqrt3}{2\sqrt3 \times \sqrt3}$
$= \dfrac{3\sqrt3}{6}$
$= \dfrac{\sqrt3}{2}$.

第 $2$ 問 (2)
$\dfrac{2}{\sqrt5-1}$
$=\dfrac{2(\sqrt5+1)}{(\sqrt5-1)(\sqrt5+1)}$
$=\dfrac{2(\sqrt5+1)}{5-1}$
$=\dfrac{2(\sqrt5+1)}{4}$
$=\dfrac{\sqrt5+1}{2}$.

第 $2$ 問 (3)

$\dfrac{4}{1+\sqrt2+\sqrt3}$ 

$=\dfrac{4(1+\sqrt2-\sqrt3)}{(1+\sqrt2+\sqrt3)(1+\sqrt2-\sqrt3)}$ 

$=\dfrac{4(1+\sqrt2-\sqrt3)}{1+2\sqrt2+2-3}$ 

$=\dfrac{4(1+\sqrt2-\sqrt3)}{2\sqrt2}$ 

$=\sqrt2(1+\sqrt2-\sqrt3)$ 

$=\sqrt2+2-\sqrt6$. 

ここで別解を.

第 $1$ 問の因数分解ですが、これをそのまま解くのは、
数学（因数分解, たすき掛け）が苦手な人には難しい.
また, 入試問題でも見ることもないが,
更に変数が増えた問題が出題されたら...

例 $2x^2-2y^2-3z^2+3xy+7yz+zx-4x+5y-10z-3$ を因数分解せよ.

$2x^2-2y^2-3z^2+3xy+7yz+zx-4x+5y-10z-3$
$= 2x^2+(3y+z-4)x+(-2y^2+7yz-3z^2+5y-10z-3)$
$= 2x^2+(3y+z-4)x+\{-2y^2+(7z+5)y+(-3z^2-10z-3)\}$
$= 2x^2+(3y+z-4)x-\{2y^2-(7z+5)y+(z+3)(3z+1)\}$
$= 2x^2+(3y+z-4)x-(2y-z-3)(y-3z-1)$
$= (2x-y+3z+1)(x+2y-z-3)$.

もう, たすき掛けが苦手な人にはもう, 吐き気がしてくる...

$1$ 回目のたすき掛けだけでも出来るようになれば,
この問題を解くことができるようになる別解がある.


第 $1$ 問で, $6$ 個の項の中から以下のように抜き出して因数分解をする.
$x$, $y$ の $2$ 次式

$x^2+5xy+6y^2 = (x+2y)(x+3y)$ 

$x$ の $2$ 次式 ($x$ 以外の文字を含まない) 

$x^2-x-12 = (x-4)(x+3)$ 

$y$ の $2$ 次式 $(y$ 以外の文字を含まない) 

$6y^2+y-12 = (2y+3)(3y-4)$ 

これらの右辺を見比べて, 答えを導き出す.
最終的な解答は $(ax+by+c)(dx+ey+f)$ という形であり,
それらの部分的な解答が $(ax+by)(dx+ey)$ だったり,
$(ax+c)(dx+f)$ だったり, $(by+c)(ey+f)$ だったり.
そう考えると, 自ずと解答として
$(x+2y+3)(x+3y-4)$ が得られる.

この解法を用いると, 前述の例は...
$x$, $y$ の $2$ 次式
$2x^2+3xy-2y^2 = (2x-y)(x+2y)$
$y$, $z$ の $2$ 次式
$-2y^2+7yz-3z^2 = -(2y-z)(y-3z)$
$z$ の $2$ 次式
$-3z^2-10z-3 = -(3z+1)(z+3)$

これらの右辺を見て, 符号を揃えるために $-$ をかける. 

$-(2y-z)(y-3z) = (2y-z)(-y+3z)$ 

$-(3z+1)(z+3) = (3z+1)(-z-3)$ 

以上より, $(2x-y+3z+1)(x+2y-z-3)$ を得る.