そういえば、大型連休になりました。
例年であれば、部活動の遠征で、全日程を県外で過ごすのですが、新型コロナの影響で休校となっているので、またもや在宅勤務をするわけです。
つまり、遠征に行かない大型連休なんて、６年振りくらいですね。
去年なんかはもう記憶にないかも知れませんが、１０連休だったわけですよ。その１０日間のうち、中１日と最後の１日がオフだったわけですが、それで実家に帰省とかしても意味がないですし・・・
しかし、この先、どうなるんですかね？？９月入学で、って話が強くなってきましたが、その場合、在校生はどうなるんでしょうか？？私は私立高校に勤務しているので、収入はどうなるのでしょうか？？仮に９月入学となった場合、学校としては入学までの５ヶ月間は授業料収入がなくなるので、給料がなくなるのでしょうか？？スタディサプリで生徒対応したり、Google Classroom で課題配信をして指導をしたり、色々とやっているのに、それも無給でということになるのでしょうか？？在校生から取っている今の授業料も、９月から新学年がスタートとなった場合、５ヶ月分は無料、４月に払った分は９月の授業料、とかなるでしょうから、結局は５ヶ月分は、学校としては無収入になるわけですよね・・・在校生から、卒業までに３年５ヶ月分の授業料を取るわけにもいきませんから・・・
それにしても、この自宅勤務が続いているおかげで、今年もぬか床を作ることができました。例年だと、遠征が続いたりするので、冷蔵庫の中でゆっくりと発酵させていたのですが、今年は毎日ちゃんと面倒をみることができたので、室温の中で作ることができました。で、月曜日に漬けたきゅうりが、すごく美味しくなっていました。もう、これだけでご飯が食べられちゃいますよ。
さて、今日は Classroom で配信している課題の解説。
週末課題 No.03 です。
連立方程式と２次不等式の問題です。５問それぞれに、出題意図をもった問題です。
２次不等式を解くためには、２次関数のグラフをイメージしなくてはいけない、ということで、 desmos でグラフをかいて解説をしています。
方程式・不等式を解け.
(1) $\begin{cases}
x+y=5 \\
xy=3
\end{cases}$
連立方程式なのだが, 出題意図としては, 複号の使い方に慣れる, です.
第 $1$ 式より, $y=5-x$ なので, これを第 $2$ 式に代入すると,
$x(5-x) = 3$
$x^2-5x+3 = 0$
$2$ 次方程式の解の公式より
$x = \dfrac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4 \times 1 \times 3}}{2 \times 1}
= \dfrac{5\pm\sqrt{13}}{2}$
このあと, この複号 ($\pm$) を含む計算をちゃんと出来るかどうかの問題でした.
$y=5-x$
$= 5-\dfrac{5\pm\sqrt{13}}{2}$
$= \dfrac{10-5\mp\sqrt{13}}{2}$
$= \dfrac{5\mp\sqrt{13}}{2}$.
より, $(x, y)=\left(\dfrac{5\pm\sqrt{13}}{2}, \dfrac{5\mp\sqrt{13}}{2}\right)$（複号同順）.
この, $\pm$ と $\mp$ の使い分けを理解しているかが, この問題のメインである.
$-1 \times (\pm1) = \mp1$
となることを理解しているのであれば特に問題ないが, よく分からないのであれば, 最も確実なのは, 場合分けをしてそれぞれ計算することである.
$x=\dfrac{5+\sqrt{13}}{2}$ のとき
$y=5-\dfrac{5+\sqrt{13}}{2}=\dfrac{5-\sqrt{12}}{2}$,
$x=\dfrac{5-\sqrt{13}}{2}$ のとき
$y=5-\dfrac{5-\sqrt{13}}{2}=\dfrac{5+\sqrt{13}}{2}$.
以上より,
$(x, y)\left(\dfrac{5+\sqrt{13}}{2}, \dfrac{5-\sqrt{13}}{2}\right), \left(\dfrac{5-\sqrt{13}}{2}, \dfrac{5+\sqrt{13}}{2}\right)$.
一応, 別解として, 数学 II で学ぶ解と係数の関係（の直後に学ぶ, $2$ 数を解にもつ方程式）を使って解くこともできます.
$2$ 数 $x$, $y$ を解にもつ $t$ を変数とする $2$ 次方程式の $1$ つは
$t^2-(x+y)t+xy = 0$
$t^2-5t+3=0$
（これで前述の $x$ の $2$ 次方程式と同じものができたので, 後は同様に解く）
(2) $\begin{cases}
2x+y+z = 7 \\
x+2y+z = 9 \\
x+y+2z = 8
\end{cases}$
ただの連立方程式の問題です. 掃き出し法（中学校で習う加減法）の意味をちゃんと理解しているかがポイントです.
第 $1$ 式 $-$ 第 $2$ 式より
$x-y = -2$,
第 $1$ 式 $\times2 -$ 第 $3$ 式より
$3x+y=6$,
この $2$ 式の和をとると
$4x = 4$
$x=1$,
これを順に代入すると,
$1-y=-2$
$y=3$,
$2\times1+3+z=7$
$z=2$.
掃き出し法（加減法）の一番のポイントは, 式を $1$ 本減らしてでも文字数を $1$ つ減らす, ということである. これにより, $n$ 個の文字があっても $n$ 本の（一次独立な）式があれば, これで解くことができる.
今回の問題は, 係数が cycle になっているので, 別解が存在する.
第 $1$ 式 $+$ 第 $2$ 式 $+$ 第 $3$ 式より,
$4x+4y+4z=24$
$x+y+z=6$,
第 $1$ 式, 第 $2$ 式, 第 $3$ 式それぞれからこの式を引くと,
$x=1$, $y=3$, $z=2$.
(3) $x^2-5x+4<0$
これは普通の $2$ 次不等式の問題です. “ふくは内”で解くのも $1$ つのやり方ではありますが, ちゃんと $2$ 次関数のグラフを使った方法を理解するようにさせるための問題です.
$2$ 次不等式を解くために, 何故因数分解をしたり, 解の公式を使ったりするのか.
それを理解していれば, (4) や (5) も同じように解けますよ, と言いたいがためのこの $3$ 問です.
$2$ 次関数 $y=x^2-5x+4$ を考える. $2$ 次不等式 $x^2-5x+4<0$ となるのは, グラフの $y<0$ 即ち $x$ 軸よりも下の部分である.
このグラフと $x$ 軸との共有点を調べるために, $x$ 軸の方程式である $y=0$ と連立する.
$\begin{cases}
y=x^2-5x+4 \\
y=0
\end{cases}$
これを解くために, 代入することで, $2$ 次方程式 $x^2-5x+4=0$ が出てくる.
$x^2-5x+4=0$
$(x-1)(x-4)=0$
$x=1, 4$
グラフは上のように, $x=1$ と $x=4$ で $x$ 軸との共有点をもつ.
このグラフのうち, $y<0$ となるのは, 以下の部分である.
これより, $1<x<4$ である.
(4) $-6x^2+7x+3\le0$
(3) と同様に考える.
$-6x^2+7x+3=0$
$6x^2-7x-3=0$
$(2x-3)(3x+1)=0$
$x=\dfrac32, -\dfrac13$
であるので, $-\dfrac13\le x\le\dfrac32$ で... はないです.
(3) と同様に解いてみたけど, 問題の決定的な違いがある. $x^2$ の係数の符号が違うので, グラフが...
そう、上に凸のグラフになるんですよね.
なので, 解は $x\le-\dfrac13$, $\dfrac32\le x$ である.
このような勘違いを回避するためには, 常に $x^2$ の係数は正になるようにするようにする.
$-6x^2+7x+3 \le 0$
$6x^2-7x-3 \ge 0$
この $2$ 次不等式を (3) と同様に解くことで, $x\le-\dfrac13$, $\dfrac32\le x$ を得る.
(5) $3x^2+4x+2>0$
これも同様に解く人が多いので...
$3x^2+4x+2=0$
$x=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-3\times2}}{3}
= \dfrac{-2\pm\sqrt{-2}}{3}$
であるので, 解は $x<\dfrac{-2-\sqrt{-2}}{3}$, $\dfrac{-2+\sqrt{-2}}{3}<x$ である.
なんて書いたら, そもそもが間違いである.
$\sqrt{-2}$ って, 根号ｂの中が負になっている時点でこれは...
そうか, 複素数にしなくちゃいけないんだ!!
$x<\dfrac{-2-\sqrt2i}{3}$, $\dfrac{-2+\sqrt2i}{3}<x$ って事... でもないんですよ.
そもそも虚数では, 大小が定義されないものですから. 不等号で評価することが出来ないものです.
では, どうしたらいいのか.
解の公式を使っても実数解が出てこない... ということで, 解なし, というのも違います.
そもそも, 解なしになったのは, $2$ 次不等式なんですよね. ということは, $x$ 軸との共有点がない, ということ.
実際に, $y=3x^2+4x+2$ のグラフをかいてみると, 以下のようになる.
そう, 共有点がない, ということは, $x$ 軸と離れている, ということ.
となると, このグラフの中で, $y>0$ の部分は... すべての実数, となる.
この問題に関しては, もっとシンプルな別解がある.
$3x^2+4x+2 > 0$
$x^2+\dfrac43x+\dfrac23 > 0$
$\left(x+\dfrac23\right)^2-\left(\dfrac23\right)^2+\dfrac23 > 0$
$\left(x+\dfrac23\right)^2+\dfrac29 > 0$
ここで, $\left(x+\dfrac23\right)^2\ge0$ であるので, すべての実数に対してこの不等式が成り立つ.
よって, 解はすべての実数である.
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