２０１８に関する問題

年越しは毎年恒例の某家電量販店の初売りの為に並んで・・・
いる予定だったのですが、年末からの体調不良の為、だいぶ遅く参戦しました。

まあ、それでも iPad とかが狙いではなかったので、余裕で買えたのですが。


翌１月２日、私が愛用しているオーダーメイド枕の店へ行ってみて、福袋を売っていたので買った帰り、バイパスを走っていたら・・・

飛び石を食らって、フロントガラスのど真ん中にヒビが・・・


そんなわけで、フロントガラスの修理をしまして・・・
ガラスの取替だと１３万円くらいかかるし、保険を使うと更新するまでに次に使う場合、１０万円の負担が発生する。
修理だと保険を使わずに２万～３万円程度、ということだった。
更新まで使わなかった場合、未使用で等級が上がった場合と使って等級が下がった場合の今後の見積もりを出してもらったところ、保険を使わずに実費で修理した方がいい、ということになったので。

で、一昨日の日曜日に LEAF を日産に預けて、昨日の夕方に受け取ってきました。
１日乗ってた代車が MARCH だったのですが、事前に言われてたこともあり、こんなのが来るとばかり思っていたのに・・・
まあ、普段から「代車は JUKE-R 2.0 がいい」なんていう、ただのクレーマーみたいな事を言っていますけど・・・
（実際に持ってこられても、怖くて乗れないと思いますが・・・）





今回は、$2018$ 年の年明けに合わせて私が作った問題。






連続するいくつかの自然数に対し, それらの平方の和が $2018$ となる組み合わせを全て求めよ.





このままだと、数オリの予選の７～８問目くらいのレベルであるので、大学入試等で出題するのであれば、以下のように小問にして出題されると考える。




(1) $2018$ を $5$ で割ったときの余りを求めよ.
(2) 自然数の平方を $5$ で割ったときの余りとして考えられるものをすべて求めよ.
(3) 連続するいくつかの自然数に対し, それらの平方の和が $2018$ となる組み合わせを全て求めよ.





もちろん、この流れ以外での解答も十分に有り得るのだが、私が思いついた解答がこのような流れであった。





(1)
$2018=5\times403+3$
より, $5$ で割ったときの余りは $3$ である.

(2)
$(5n)^2=5\times5n^2$,
$(5n\pm1)^2=5(5n^2\pm2n)+1$,
$(5n\pm2)^2=5(5n^2\pm4n)+4$
より, 考えられる余りは $0$, $1$, $4$.

(3)
(1), (2) より, 求める連続する自然数は, $5$ で割ったときの余りが $2$ のものと $3$ のものがそれ以外の自然数よりも $1$ つずつ多いことが分かる.
($4+4\equiv3\pmod5$, $0+1+4+4+1\equiv0\pmod5$ より)

(i) $2$ 数の和であるとき,
$(5n+2)^2+(5n+3)^2 = 2018$
$25n^2+20n+4+25n^2+30n+9 = 2018$
$50n^2+50n = 2005$
$50n(n+1) = 2005$
であるが, 左辺は $50$ の倍数であるが右辺は $50$ の倍数ではないので不適.

(ii) $7$ 数の和であるとき,
$(5n+2)^2+(5n+3)^2+\cdots+(5n+7)^2+(5n+8)^2 = 2018$
$(5n+2)^2\times7 \le 2018$
$(5n+2)^2 \le \dfrac{2018}{7}=288+\dfrac{2}{7}$
であり, $5n+2$ は整数であるので
$5n+2=2$, $7$, $12$
である.

$2^2+3^2+\cdots+7^2+8^2=203$
$7^2+8^2+\cdots+12^2+13^2=728$
$12^2+13^2+\cdots+17^2+18^2=1603$
より不適.

(iii) $12$ 数の和であるとき,
$(5n+2)^2+(5n+3)^2+\cdots+(5n+13)^2=2018$
$(5n+2)^2\times12 \le 2018$
$(5n+2)^2 \le \dfrac{2018}{12} = 168+\dfrac{2}{12}$
であり, $5n+2$ は整数であるので
$5n+2=2$, $7$, $12$
である.

$2^2+3^2+\cdots+12^2+13^2=818$
$7^2+8^2+\cdots+17^2+18^2=2018$
$12^2+13^2+\cdots+22^2+23^2=3818$
より, 題意を満たすのは $(7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18)$ である.

(iv) $17$ 数以上の和であるとき, その最小値は
$2^2+3^2+\cdots+17^2+18^2=2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+(7^2+8^2+\cdots+17^2+18^2)$
$= 2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+2018$
$>2018$
より不適.

以上より $(7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18)$ である.