8 月になって、三者面談をしています。
8 月 3 日（月）に 8 人、 4 日（火）に 5 人、 5 日に 8 人、というハイペースで。
何故、こんなにハイペースで行っているのかというと・・・
日程が、この 3 日間しかないんですよね・・・
まあ、それでも急な日程にも関わらず 21 人も来てくれるってのはありがたいですね。
そんな三者面談でも、最近（私とその周辺で流行っている）Google Docs をフル活用しています。
面談の案内は（紙でも配布しているが） ドキュメントを使い、日時の希望調査は Google form で回答してもらい、日程表は Spreadsheet で送って、面談の資料は Spreadsheet で作成し、聞き取った内容も Spreadsheet に記入していく・・・
なんか、 Google Docs がないと、もう仕事を出来ないのではないでしょうか？？
授業で出題した課題。週末課題 Season.2 です。何故、 Season.2 になったのかというと・・・単純に、前期中間考査が終わって、気分転換です。
今回の問題は、第 357 回実用数学技能検定 (2020.07.11 実施) の 2 次試験の第 4 問と第 7 問です。
第 1 問
箱の中に, 赤球 $4$ 個, 白球 $3$ 個, 青球 $2$ 個の合計 $9$ 個の球が入っています. この中から無作為に選んだ $2$ 個の球を同時に取り出すとき, 次の問いに答えなさい.
(1) $2$ 個とも青球である確率を求めなさい.
(2) $2$ 個とも同じ色である確率を求めなさい.
第 2 問
$X$ を $0$ から $9$ までの数字とするとき,
$10X1$, $10X3$, $106X$, $109X$ (いずれも $4$ 桁の整数を表します. )
がすべて素数となる $X$ が $1$ つだけあります.
この $X$ を求めなさい.
解答例
第 1 問
(1) 全事象は $9$ 個の中から $2$ 個を選ぶので ${}_{9}\mathrm{C}_{2}$ 通り,
確率を求める事象は $2$ 個の中から $2$ 個を選ぶので ${}_{2}\mathrm{C}_{2}$ 通り,
よって求める確率は
$\dfrac{{}_{2}\mathrm{C}_{2}}{{}_{9}\mathrm{C}_{2}} = \dfrac{1}{36}$.
(2)
同様に $2$ 個とも赤球, $2$ 個とも白球である組み合わせは ${}_{4}\mathrm{C}_{2}$ 通り, ${}_{3}\mathrm{C}_{2}$ 通りであるので, 求める確率は
$\dfrac{{}_{4}\mathrm{C}_{2}+{}_{3}\mathrm{C}_{2}+{}_{2}\mathrm{C}_{2}}{{}_{9}\mathrm{C}_{2}} = \dfrac{6+3+1}{36} = \dfrac{5}{18}$.
第 2 問
倍数の判定法のうち,
「$2$ の倍数 $\iff$ 下 $1$ 桁が $2$ の倍数」
「$3$ の倍数 $\iff$ 各位の数の和が $3$ の倍数」
は, 比較的簡単に倍数かどうかが分かる. これより,
$
\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
X & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
\hline
\pmod2 & \times & & \times & & \times & & \times & & \times & \\
\hline
\pmod3 & & \times & \times & & \times & \times & & \times & \times &
\end{array}
$
ここまでくると, $X$ の候補は $3$ と $9$ のみに絞られる.
あとはどちらかで合成数になるものを見つければ, 答えが分かる.
考える数は...
$
\begin{array}{cccccc}
X=3 & \longrightarrow & 1031 & 1033 & 1063 & 1093 \\
X=9 & \longrightarrow & 1091 & 1093 & 1069 & 1099
\end{array}
$
であるが, $1093$ は両方に含まれているので, これは素数である（はずである）.
あとは, 残りの $6$ つの整数の中で合成数になっているものを探せばよい.
どれも $5$ の倍数でないことは明らかである.
次に $7$ の倍数になっているかを確認すると,
$1099 = 7 \times 157$
であるので, $X=9$ のときは不適である.
以上より, $X=3$ である.
授業で出題した問題（平日課題 No.09）
８月になって、勤務校も夏休みになりました。
三者面談をしたいと思っていたのだが、このタイミングで、（変な言い方ですが）保護者を学校に呼び出すのはどうなのか、って事で、三者面談をしてもいいかの返事が遅くなりまして・・・
実施の２週間前になって、やっと許可がおりまして・・・
で、ここ最近、今まで以上に Google Docs を使いまくっています。今回の三者面談のお知らせも、紙で配布する前に４連休に突入してしまったので、生徒に Gmail で実施のお知らせを送り、 Google form で日程アンケートを行い、その結果を Spreadsheets で作成し、 Gmail で共有して知らせる。
なんか、私の仕事はもう、 Google なしでは出来ない・・・って事ではないんですが、使えるものはどんどん使っています。
前期中間考査の点数も、別ファイルに全員分の一覧を作成し、 vlookup と importrange で生徒それぞれのファイルに引用させる形で成績表を見れるようにして、そのファイルを閲覧のみでその生徒と共有する。編集権限を与えると、他の生徒の成績まで見えてしまうので・・・（正確には元ファイルへのアクセス権限がないので見れないのですが、例えば出席番号から vlookup で拾うようになっている場合、勝手に書き換えても #N/A というエラーが出る。それを担任に知らせて直させる際に、担任のアカウントで開いた瞬間に、アクセス出来てしまうので、違う生徒の成績が表示されてしまうので・・・）
そんなわけで、これからも Google Docs を使いまくっていきたいと思います。
授業で出題した課題。なんか、忙しくなったから、１ヶ月も前の課題なのですが・・・
不定方程式の問題で、 2016 年のセンター試験追試の問題。
$a=407$, $b=481$ とする.
(1) $a$, と $b$ の最大公約数は $[アイ]$ であり, 最小公倍数は $[ウエオカ]$ である.
$\sqrt{abc}$ が整数となる正の整数 $c$ の中で, 最小のものは $[キクケ]$ である.
(2) $a$ と $b$ の最大公約数が $[アイ]$ であることに注意すると, 不定方程式
$ax=-by$
の整数解は, $x= [コサシ]k$, $y= [スセ]k$ ($k$ は整数) である.
(3) 不定方程式
$ax+by=40700$
を満たす $0$ 以上の整数 $x$, $y$ の組は $[ソ]$ 組あり, その中で $x$ が最も小さいものは $x= [タ]$, $y= [チツ]$ である. また,
$ax+by = 40700+ [アイ]$
を満たす $0$ 以上の整数 $x$, $y$ の組は $[テ]$ 組あり, その中で $x$ が最も小さいものは $x= [ト]$, $y= [ナニ]$ である.
(1)
$481 = 407+74$
$407 = 74 \times 5 + 37$
$407 = 37 \times 11$
であるので, ユークリッドの互除法より最大公約数は $37$ である.
最大公約数と最小公倍数の関係より, 最小公倍数は
$\dfrac{407 \times 481}{37} = 5291$
である.
これより,
$ab = 407 \times 481 = (37 \times 11) \times (37 \times 13)$
であるので, 求める最小の $c$ は
$c=11 \times 13 = 143$
である.
(2)
$ax = -by$
$407x = -481y$
$11x = -13y$
ここで, $11$ と $13$ は互いに素であるので, 整数 $k$ を用いて
$x=-13k$, $y=11k$
を得る.
(3)
$407 x + 481 y = 40700$
$407(x-100) = -481$
$11(x-100) = -13y$
(2) と同様に
$x-100=-13k$, $y=11k$
$x=100-13k$
これより, $x$, $y$ がともに $0$ 以上となるのは
$100-13k \ge 0$
$-13k \ge -100$
$k \le \dfrac{100}{13} = 7 + \dfrac{9}{13}$,
$11k \ge 0$
$k \ge 0$
より,
$0 \le k \le 7+\dfrac{9}{13}$
であるので, $k=0, \dots, 7$ の $8$ 組あり, その中で $x$ が最小となるのは $k=7$ のときであり,
$x = 100-13 \times 7 = 9$,
$y = 11 \times 7 = 77$
である.
同様に,
$407x + 481y = 40700+37$
$407(x-100)+481y = 37$
$11(x-100)+13y = 1$
であり,
$11 \times 6 + 13 \times (-5) = 1$
であるので, この $2$ 式の差をとると
$11(x-106) + 13(y+5) = 0$
$11(x-106) = -13(y+5)$,
であり,
$x-106 = -13k$, $y+5 = 11k$
$x=106-13k$, $y=11k-5$
と表すことができる.
これらが $0$ 以上となるのは
$106-13k \ge 0$
$-13k \ge -106$
$k \le \dfrac{106}{13} = 8+\dfrac{2}{13}$
$11k-5 \ge 0$
$11k \ge 5$
$k \ge \dfrac{5}{11}$
より,
$\dfrac{5}{11} \le k \le 8+\dfrac{2}{13}$
であるので, $k=1, \dots, 8$ の $8$ 組あり, その中で $x$ が最小となるのは $k=8$ のときであり,
$x = 106 - 13 \times 8 = 2$,
$y = 11 \times 8 - 5 = 83$
である.
三者面談をしたいと思っていたのだが、このタイミングで、（変な言い方ですが）保護者を学校に呼び出すのはどうなのか、って事で、三者面談をしてもいいかの返事が遅くなりまして・・・
実施の２週間前になって、やっと許可がおりまして・・・
で、ここ最近、今まで以上に Google Docs を使いまくっています。今回の三者面談のお知らせも、紙で配布する前に４連休に突入してしまったので、生徒に Gmail で実施のお知らせを送り、 Google form で日程アンケートを行い、その結果を Spreadsheets で作成し、 Gmail で共有して知らせる。
なんか、私の仕事はもう、 Google なしでは出来ない・・・って事ではないんですが、使えるものはどんどん使っています。
前期中間考査の点数も、別ファイルに全員分の一覧を作成し、 vlookup と importrange で生徒それぞれのファイルに引用させる形で成績表を見れるようにして、そのファイルを閲覧のみでその生徒と共有する。編集権限を与えると、他の生徒の成績まで見えてしまうので・・・（正確には元ファイルへのアクセス権限がないので見れないのですが、例えば出席番号から vlookup で拾うようになっている場合、勝手に書き換えても #N/A というエラーが出る。それを担任に知らせて直させる際に、担任のアカウントで開いた瞬間に、アクセス出来てしまうので、違う生徒の成績が表示されてしまうので・・・）
そんなわけで、これからも Google Docs を使いまくっていきたいと思います。
授業で出題した課題。なんか、忙しくなったから、１ヶ月も前の課題なのですが・・・
不定方程式の問題で、 2016 年のセンター試験追試の問題。
$a=407$, $b=481$ とする.
(1) $a$, と $b$ の最大公約数は $[アイ]$ であり, 最小公倍数は $[ウエオカ]$ である.
$\sqrt{abc}$ が整数となる正の整数 $c$ の中で, 最小のものは $[キクケ]$ である.
(2) $a$ と $b$ の最大公約数が $[アイ]$ であることに注意すると, 不定方程式
$ax=-by$
の整数解は, $x= [コサシ]k$, $y= [スセ]k$ ($k$ は整数) である.
(3) 不定方程式
$ax+by=40700$
を満たす $0$ 以上の整数 $x$, $y$ の組は $[ソ]$ 組あり, その中で $x$ が最も小さいものは $x= [タ]$, $y= [チツ]$ である. また,
$ax+by = 40700+ [アイ]$
を満たす $0$ 以上の整数 $x$, $y$ の組は $[テ]$ 組あり, その中で $x$ が最も小さいものは $x= [ト]$, $y= [ナニ]$ である.
(1)
$481 = 407+74$
$407 = 74 \times 5 + 37$
$407 = 37 \times 11$
であるので, ユークリッドの互除法より最大公約数は $37$ である.
最大公約数と最小公倍数の関係より, 最小公倍数は
$\dfrac{407 \times 481}{37} = 5291$
である.
これより,
$ab = 407 \times 481 = (37 \times 11) \times (37 \times 13)$
であるので, 求める最小の $c$ は
$c=11 \times 13 = 143$
である.
(2)
$ax = -by$
$407x = -481y$
$11x = -13y$
ここで, $11$ と $13$ は互いに素であるので, 整数 $k$ を用いて
$x=-13k$, $y=11k$
を得る.
(3)
$407 x + 481 y = 40700$
$407(x-100) = -481$
$11(x-100) = -13y$
(2) と同様に
$x-100=-13k$, $y=11k$
$x=100-13k$
これより, $x$, $y$ がともに $0$ 以上となるのは
$100-13k \ge 0$
$-13k \ge -100$
$k \le \dfrac{100}{13} = 7 + \dfrac{9}{13}$,
$11k \ge 0$
$k \ge 0$
より,
$0 \le k \le 7+\dfrac{9}{13}$
であるので, $k=0, \dots, 7$ の $8$ 組あり, その中で $x$ が最小となるのは $k=7$ のときであり,
$x = 100-13 \times 7 = 9$,
$y = 11 \times 7 = 77$
である.
同様に,
$407x + 481y = 40700+37$
$407(x-100)+481y = 37$
$11(x-100)+13y = 1$
であり,
$11 \times 6 + 13 \times (-5) = 1$
であるので, この $2$ 式の差をとると
$11(x-106) + 13(y+5) = 0$
$11(x-106) = -13(y+5)$,
であり,
$x-106 = -13k$, $y+5 = 11k$
$x=106-13k$, $y=11k-5$
と表すことができる.
これらが $0$ 以上となるのは
$106-13k \ge 0$
$-13k \ge -106$
$k \le \dfrac{106}{13} = 8+\dfrac{2}{13}$
$11k-5 \ge 0$
$11k \ge 5$
$k \ge \dfrac{5}{11}$
より,
$\dfrac{5}{11} \le k \le 8+\dfrac{2}{13}$
であるので, $k=1, \dots, 8$ の $8$ 組あり, その中で $x$ が最小となるのは $k=8$ のときであり,
$x = 106 - 13 \times 8 = 2$,
$y = 11 \times 8 - 5 = 83$
である.
授業で出題した問題（週末課題 No.09）
Classroom の使い方を再考察しなければならない。
今期の私の授業のレポートは、全て Classroom で提出としているのですが・・・
テスト前になって、一気に提出が増えてきまして、もうチェックが間に合わなくなってきていて・・・土日に一気に処理しないと、全く追いつかないんですよね・・・採点に関しては、 Classroom で Google フォームと連携した「テスト付きの課題」を利用して確認する、なんて方法くらいしか・・・穴埋めにして回答させて、自動採点で確認する、というくらいしか・・・まあ、問題に応じて写真で提出と、フォームによる自動採点とを使い分けていくしかないですかね・・・
(1) は 2018 年の杏林大の、 (2) は 2019 年の日本工大の入試問題です。
次の問に答えよ.
(1) 一辺の長さが $1$ の正四面体 $\mathrm{OABC}$ において, 辺 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{BC}$, $\mathrm{OC}$ 上にそれぞれ点 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$ をとる. 頂点 $\mathrm{O}$ から $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$ の順番で $3$ 点を通り, 頂点 $\mathrm{A}$ に至る最短経路の長さを求めよ.
(2) $a$, $b$ は実数とする. 放物線 $y=x^2+2ax+b$ を $x$ 軸に関して対称移動し, さらに $x$ 軸方向に $1$, $y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動して得られる放物線と $x$ 軸の共有点は $(1, 0)$, $(5, 0)$ であった. このとき, $a=[~~~]$, $b=[~~~]$ である. また, この $a$, $b$ の値に対して, $x$ の方程式 $|x^2+ax+b|=k$ が異なる $4$ つの実数解をもつとき, 定数 $k$ の値の範囲は $[~~~]$ である.
(1) 展開図を考える.
この図より, この経路が最短となるのは $5$ 点$\mathrm{O}$, $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$, $\mathrm{A}$ が一直線上になるときである. これより, 最短経路の長さを $L$ とすると, 余弦定理より
$L^2=\mathrm{OO}'^2+\mathrm{O}'\mathrm{A}'^2-2 \times \mathrm{OO}' \times \mathrm{O}'\mathrm{A}' \times \cos\angle\mathrm{OO}'\mathrm{A}'$
$= 2^2+1^2-2 \times 2 \times 1 \times \left(-\dfrac12\right)$
$= 7$,
$L>0$ より
$L=\sqrt{7}$
である.
余弦定理を用いずに, $\mathrm{A}'$ から直線 $\mathrm{OO}'$ へ下ろした垂線の足を $\mathrm{H}$ とすると, $\mathrm{A}'\mathrm{H}^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ であるので,
$L^2 = \mathrm{OH}^2+\mathrm{HA}'^2$
$= \left(\dfrac52\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$
$= \dfrac{25}{4}+\dfrac{3}{2}$
$= 7$,
$L>0$ より
$L=\sqrt{7}$
である.
(2) $y=x^2+2ax+b$ を $x$ 軸に関して対称移動したものは
$-y=x^2+2ax+b$
$y=-x^2-2ax-b$
である. これをさらに $x$ 軸方向に $1$, $y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動したものは
$y+1=-(x-1)^2-2a(x-1)-b$
$y=-x^2+2(1-a)x+(2a-b-2)$
である. これと $x$ 軸との共有点を調べると,
$-x^2+2(1-a)x+(2a-b-2)=0$
$x=(1-a)\pm\sqrt{a^2-b-1}$
である. 共有点が $(1, 0)$, $(5, 0)$ であるので,
$
\begin{cases}
(1-a)+\sqrt{a^2-b-1} = 5 \\
(1-a)-\sqrt{a^2-b-1} = 1
\end{cases}
$
である. これより
$a=-2$, $b=-1$
を得る.
$|x^2-2x-1|=k$ の実数解の個数と対応する $y=|x^2-2x-1|$ のグラフと $y=k$ のグラフの共有点の個数を考える.
$y=x^2-2x-1$
$= (x-1)^2-2$
より, グラフは以下の通り.
これより, $0<k<2$ を得る.
$2$ 次方程式を求めたところからの, 数学 II で学ぶ内容を用いた別解.
$-x^2+2(1-a)x+(2a-b-2)=0$
解と係数の関係より,
$
\begin{cases}
1+5=-\dfrac{2(1-a)}{-1} \\
1\times5=\dfrac{2a-b-2}{-1}
\end{cases}
$
これを解いて $a=-2$, $b=-1$ を得る.
最初からの別解.
$x$ 軸に関して対称移動すると $y=-x^2+O(x)$, 更に平行移動すると $y=-x^+O(x)$ である（$O(x)$ は最高次が $x$ である整式）ので, これと $(1, 0)$, $(5, 0)$ を通るの事より
$y=-(x-1)(x-5)$
$=-x^2+6x-5$
である. これを $x$ 軸方向に $-1$, $y$ 軸方向に $1$ だけ平行移動したものは
$y-1=-(x+1)^2+6(x+1)-5$
$y=-x^2+4x+1$
であり, これを更に $x$ 軸に関して対称移動すると
$-y=-x^2+4x+1$
$y=x^2-4x-1$
であるので, $a=-2$, $b=-1$ を得る.
今期の私の授業のレポートは、全て Classroom で提出としているのですが・・・
テスト前になって、一気に提出が増えてきまして、もうチェックが間に合わなくなってきていて・・・土日に一気に処理しないと、全く追いつかないんですよね・・・採点に関しては、 Classroom で Google フォームと連携した「テスト付きの課題」を利用して確認する、なんて方法くらいしか・・・穴埋めにして回答させて、自動採点で確認する、というくらいしか・・・まあ、問題に応じて写真で提出と、フォームによる自動採点とを使い分けていくしかないですかね・・・
(1) は 2018 年の杏林大の、 (2) は 2019 年の日本工大の入試問題です。
次の問に答えよ.
(1) 一辺の長さが $1$ の正四面体 $\mathrm{OABC}$ において, 辺 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{BC}$, $\mathrm{OC}$ 上にそれぞれ点 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$ をとる. 頂点 $\mathrm{O}$ から $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$ の順番で $3$ 点を通り, 頂点 $\mathrm{A}$ に至る最短経路の長さを求めよ.
(2) $a$, $b$ は実数とする. 放物線 $y=x^2+2ax+b$ を $x$ 軸に関して対称移動し, さらに $x$ 軸方向に $1$, $y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動して得られる放物線と $x$ 軸の共有点は $(1, 0)$, $(5, 0)$ であった. このとき, $a=[~~~]$, $b=[~~~]$ である. また, この $a$, $b$ の値に対して, $x$ の方程式 $|x^2+ax+b|=k$ が異なる $4$ つの実数解をもつとき, 定数 $k$ の値の範囲は $[~~~]$ である.
(1) 展開図を考える.
この図より, この経路が最短となるのは $5$ 点$\mathrm{O}$, $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$, $\mathrm{A}$ が一直線上になるときである. これより, 最短経路の長さを $L$ とすると, 余弦定理より
$L^2=\mathrm{OO}'^2+\mathrm{O}'\mathrm{A}'^2-2 \times \mathrm{OO}' \times \mathrm{O}'\mathrm{A}' \times \cos\angle\mathrm{OO}'\mathrm{A}'$
$= 2^2+1^2-2 \times 2 \times 1 \times \left(-\dfrac12\right)$
$= 7$,
$L>0$ より
$L=\sqrt{7}$
である.
余弦定理を用いずに, $\mathrm{A}'$ から直線 $\mathrm{OO}'$ へ下ろした垂線の足を $\mathrm{H}$ とすると, $\mathrm{A}'\mathrm{H}^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ であるので,
$L^2 = \mathrm{OH}^2+\mathrm{HA}'^2$
$= \left(\dfrac52\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$
$= \dfrac{25}{4}+\dfrac{3}{2}$
$= 7$,
$L>0$ より
$L=\sqrt{7}$
である.
(2) $y=x^2+2ax+b$ を $x$ 軸に関して対称移動したものは
$-y=x^2+2ax+b$
$y=-x^2-2ax-b$
である. これをさらに $x$ 軸方向に $1$, $y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動したものは
$y+1=-(x-1)^2-2a(x-1)-b$
$y=-x^2+2(1-a)x+(2a-b-2)$
である. これと $x$ 軸との共有点を調べると,
$-x^2+2(1-a)x+(2a-b-2)=0$
$x=(1-a)\pm\sqrt{a^2-b-1}$
である. 共有点が $(1, 0)$, $(5, 0)$ であるので,
$
\begin{cases}
(1-a)+\sqrt{a^2-b-1} = 5 \\
(1-a)-\sqrt{a^2-b-1} = 1
\end{cases}
$
である. これより
$a=-2$, $b=-1$
を得る.
$|x^2-2x-1|=k$ の実数解の個数と対応する $y=|x^2-2x-1|$ のグラフと $y=k$ のグラフの共有点の個数を考える.
$y=x^2-2x-1$
$= (x-1)^2-2$
より, グラフは以下の通り.
これより, $0<k<2$ を得る.
$2$ 次方程式を求めたところからの, 数学 II で学ぶ内容を用いた別解.
$-x^2+2(1-a)x+(2a-b-2)=0$
解と係数の関係より,
$
\begin{cases}
1+5=-\dfrac{2(1-a)}{-1} \\
1\times5=\dfrac{2a-b-2}{-1}
\end{cases}
$
これを解いて $a=-2$, $b=-1$ を得る.
最初からの別解.
$x$ 軸に関して対称移動すると $y=-x^2+O(x)$, 更に平行移動すると $y=-x^+O(x)$ である（$O(x)$ は最高次が $x$ である整式）ので, これと $(1, 0)$, $(5, 0)$ を通るの事より
$y=-(x-1)(x-5)$
$=-x^2+6x-5$
である. これを $x$ 軸方向に $-1$, $y$ 軸方向に $1$ だけ平行移動したものは
$y-1=-(x+1)^2+6(x+1)-5$
$y=-x^2+4x+1$
であり, これを更に $x$ 軸に関して対称移動すると
$-y=-x^2+4x+1$
$y=x^2-4x-1$
であるので, $a=-2$, $b=-1$ を得る.
授業で出題した問題（平日課題 No.08）
無茶なルール。
ここ２週間くらい、昼休みは教室に行ってます。密にならない為に、とか色々と理由はあるのですが、毎日担任は昼休みに教室に行く、という事で・・・
なんか、ひたすら担任にばかり負担を増やしているんですね・・・
今日の午前最後の授業は別棟の３階で３年生の授業。それが終わって、本校舎の３階のホームルーム教室へダッシュして戻り、昼休みを教室で過ごす。昼休み終了の５分前の予鈴が鳴ったら職員室へ戻り、道具を持ち替えて再び別棟の３階へ。そのまま２時間授業を行い、終わったら再びダッシュで本校舎の職員室へ戻り、帰りのショートホームルームへ。１５時を過ぎて、ようやくランチを食べることが出来たのですが・・・
明日は、昼前２時間授業をして、昼休みにホームルーム、午後からまたもや２時間の授業、帰りのショートホームルーム、更には主顧問が休みの為、副顧問として部活動で体育館に２時間半ほどいることに・・・この時点で、既に１７時を過ぎているのですが、ランチって、いつ食べるのでしょうか？？
今日も、授業で出題した問題。以前出題した確率の問題で、なんとも正解率の低かったところを復習するためのチョイスです。2018 年の名城大の問題です。
次の問いに答えよ.
(1) $x+y+z=10$ を満たす自然数の組 $(x, y, z)$ ($x>0$, $y>0$, $z>0$) の個数を求めよ.
(2) $x+y+z=100$ を満たす $0$ 以上の整数の組 $(x, y, z)$ ($x\ge0$, $y\ge0$, $z\ge0$) の個数を求めよ.
(3) $x+y+z+w=n$ ($n\ge0$) を満たす $0$ 以上の整数の組 $(x, y, z, w)$ ($x\ge0$, $y\ge0$, $z\ge0$, $w\ge0$) の個数を求めよ.
(1) 具体的にいくつか例を考えてみる.
$(x, y, z)=(1, 2, 7)$ は条件を満たす解の $1$ つである. これを,
○|○○|○○○○○○○
と表すことにする. ○ $10$ 個の間 $9$ 箇所の中から $2$ 箇所を選んで区切りを入れると, このような表記ができる.
このような表し方をすると, $(x, y, z)$ の組とこの並べ方が一対一の対応をしていることが分かる. よって, 求める組の個数は
${}_{9}\mathrm{C}_{2}=\dfrac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$
より $36$ 個.
(2) 同様に考える.
単純に (1) と同様と考えると ${}_{99}\mathrm{C}_{2}$ 個となるのだが, これでは $(0, 0, 100)$ といった組み合わせはできない.
(1) と違い,
||○○○○○○○○○○
というような並べ方も考えなくてはならない (面倒なので○は $10$ 個しか書いてない). この並べ方はどのようなルールになっているか考えると, ○ $100$ 個と | $2$ 個の合計 $102$ 個を並べることになる. よって,
${}_{102}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{102 \times 101}{2 \times 1} = 5151$
より $5151$ 個.
(3) (2) と同様に,
${}_{n+3}\mathrm{C}_{3}=\dfrac{(n+3)(n+2)(n+1)}{3 \times 2 \times 1} = \dfrac16(n+3)(n+2)(n+1)$.
ここ２週間くらい、昼休みは教室に行ってます。密にならない為に、とか色々と理由はあるのですが、毎日担任は昼休みに教室に行く、という事で・・・
なんか、ひたすら担任にばかり負担を増やしているんですね・・・
今日の午前最後の授業は別棟の３階で３年生の授業。それが終わって、本校舎の３階のホームルーム教室へダッシュして戻り、昼休みを教室で過ごす。昼休み終了の５分前の予鈴が鳴ったら職員室へ戻り、道具を持ち替えて再び別棟の３階へ。そのまま２時間授業を行い、終わったら再びダッシュで本校舎の職員室へ戻り、帰りのショートホームルームへ。１５時を過ぎて、ようやくランチを食べることが出来たのですが・・・
明日は、昼前２時間授業をして、昼休みにホームルーム、午後からまたもや２時間の授業、帰りのショートホームルーム、更には主顧問が休みの為、副顧問として部活動で体育館に２時間半ほどいることに・・・この時点で、既に１７時を過ぎているのですが、ランチって、いつ食べるのでしょうか？？
今日も、授業で出題した問題。以前出題した確率の問題で、なんとも正解率の低かったところを復習するためのチョイスです。2018 年の名城大の問題です。
次の問いに答えよ.
(1) $x+y+z=10$ を満たす自然数の組 $(x, y, z)$ ($x>0$, $y>0$, $z>0$) の個数を求めよ.
(2) $x+y+z=100$ を満たす $0$ 以上の整数の組 $(x, y, z)$ ($x\ge0$, $y\ge0$, $z\ge0$) の個数を求めよ.
(3) $x+y+z+w=n$ ($n\ge0$) を満たす $0$ 以上の整数の組 $(x, y, z, w)$ ($x\ge0$, $y\ge0$, $z\ge0$, $w\ge0$) の個数を求めよ.
(1) 具体的にいくつか例を考えてみる.
$(x, y, z)=(1, 2, 7)$ は条件を満たす解の $1$ つである. これを,
○|○○|○○○○○○○
と表すことにする. ○ $10$ 個の間 $9$ 箇所の中から $2$ 箇所を選んで区切りを入れると, このような表記ができる.
このような表し方をすると, $(x, y, z)$ の組とこの並べ方が一対一の対応をしていることが分かる. よって, 求める組の個数は
${}_{9}\mathrm{C}_{2}=\dfrac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$
より $36$ 個.
(2) 同様に考える.
単純に (1) と同様と考えると ${}_{99}\mathrm{C}_{2}$ 個となるのだが, これでは $(0, 0, 100)$ といった組み合わせはできない.
(1) と違い,
||○○○○○○○○○○
というような並べ方も考えなくてはならない (面倒なので○は $10$ 個しか書いてない). この並べ方はどのようなルールになっているか考えると, ○ $100$ 個と | $2$ 個の合計 $102$ 個を並べることになる. よって,
${}_{102}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{102 \times 101}{2 \times 1} = 5151$
より $5151$ 個.
(3) (2) と同様に,
${}_{n+3}\mathrm{C}_{3}=\dfrac{(n+3)(n+2)(n+1)}{3 \times 2 \times 1} = \dfrac16(n+3)(n+2)(n+1)$.
授業で出題した問題（平日課題 No.06）
運動不足が予想以上に・・・
今日の部活も自主練だったので、走路を走りに行きたい、という部員についていって、見ていました。中身としては、走路を走ってたり、フットワークの練習をしたり、それぞれだったのですが・・・
３年生部員から声をかけられて・・・
「センセーも一緒に走りましょう」
そんなわけで、仕方なく走ることになったのですが・・・
筋肉とか、心臓とか、肺とかが限界、ではないのですが、１周半くらいで力尽きました。
もうなんか、脛が限界を迎えてしまいまして・・・ちょっと汗をかきましたけど、全然“体力”的には余裕だったんですが・・・
恐ろしい、３ヶ月に渡る、運動不足・・・半日過ぎた今（２２時）になっても、筋肉痛とか全然ないのに、脛が痛い・・・
今日も、授業で出題した問題。
なんか、見返していたら、何故か見逃していた、平日課題 No.06 の解説。結構有名な問題なので、知っている人も多いはず。詳しくは覚えていませんが、どっかの大学の入試問題だった気がする。
本論とはずれますが、この手の整数（自然数）問題を出題されると、「自然数に $0$ を含むのか含まないのかを明示しないなんて、問題の不備だ」とか言い出す“自称・数学が分かっている人”がいるんですよね。日本で高校数学を学ぶと、自然数には $0$ は含まれないのですが、海外では $0$ を含むことが多かったり、大学で初等整数論を学ぶと自然数を定義する為に、空集合 $\emptyset$ を $0$ に対応させて定義するので、自然数に $0$ を含むので、「俺はそういった学識の高い人間だぜ」アピールをしているのだと思うのですが・・・問題を見れば、 $\dfrac1p$ とか、分母にきているのを見れば、どっちで定義していても $0$ は解にならない事は直ぐに分かると思うのですが・・・
以下の等式を満たす自然数 $p$, $q$, $r$ の組 $(p, q, r)$ の総数を求めよ.
$\dfrac1p+\dfrac1q+\dfrac1r=1$
$p \le q \le r$ と仮定する. すると, $\dfrac1p \ge \dfrac1q \ge \dfrac1r$ である. これより,
$1=\dfrac1p+\dfrac1q+\dfrac1r\le\dfrac1p+\dfrac1p+\dfrac1p=\dfrac3p$
即ち $p\le3$ である.
(i) $p=1$ とすると,
$\dfrac11+\dfrac1q+\dfrac1r=1$
$\dfrac1q+\dfrac1r=0$
これを満たす自然数 $q$, $r$ は存在しない.
(ii) $p=2$ とすると,
$\dfrac12+\dfrac1q+\dfrac1r=1$
$\dfrac1q+\dfrac1r=\dfrac12$
ここで,
$\dfrac12=\dfrac1q+\dfrac1r\le\dfrac1q+\dfrac1q=\dfrac2q$
即ち $q \le 4$ である. $p \le q$ であるので $2 \le q \le 4$ である.
(ii-i) $q=2$ とすると,
$\dfrac12+\dfrac1r=\dfrac12$
$\dfrac1r=0$
これを満たす自然数 $r$ は存在しない.
(ii-ii) $q=3$ とすると,
$\dfrac13+\dfrac1r=\dfrac12$
$\dfrac1r=\dfrac16$
$r=6$
であるので, $(p, q, r)=(2, 3, 6)$ を得る.
(ii-iii) $q=4$ とすると,
$\dfrac14+\dfrac1r=\dfrac12$
$\dfrac1r=\dfrac14$
$r=4$
であるので, $(p, q, r)=(2, 4, 4)$ を得る.
(iii) $p=3$ とすると,
$\dfrac13+\dfrac1q+\dfrac1r=1$
$\dfrac1q+\dfrac1r=\dfrac23$
ここで,
$\dfrac23=\dfrac1q+\dfrac1r\le\dfrac1q+\dfrac1q=\dfrac2q$
即ち $q \le 3$ である. $p \le q$ であるので $q=3$ である.
$\dfrac13+\dfrac1r=\dfrac23$
$\dfrac1r=\dfrac13$
$r=3$
であるので, $(p, q, r)=(3, 3, 3)$ を得る.
以上より, $(p, q, r) = (2, 3, 6), (2, 4, 4), (3, 3, 3)$ である. $p \le q \le r$ の仮定を外すと, それぞれ $3!$ 通り, ${}_{3}\mathrm{C}_{1}$ 通り, $1$ 通りであるので,
$3!+{}_{3}\mathrm{C}_{1}+1=10$
より $10$ 通りである.
$p$ の値を仮定したあとの別解がある.
(ii) $p=2$ とすると,
$\dfrac12+\dfrac1q+\dfrac1r=1$
$\dfrac1q+\dfrac1r=\dfrac12$
$2r+2q=qr$
$qr-2q-2r=0$
$(q-2)(r-2)=4$
$p \le q \le r$ より $0 \le q-2 \le r-2$ であるので,
$(q-2, r-2) = (1, 4), (2, 2)$
$(q, r) = (3, 6), (4, 4)$
を得る. これより,
$(p, q, r) = (2, 3, 6), (2, 4, 4)$
を得る.
(iii) $p=3$ とすると,
$\dfrac13+\dfrac1q+\dfrac1r=1$
$\dfrac1q+\dfrac1r=\dfrac23$
$3r+3q=2qr$
$4qr-6q-6r=0$
$(2q-3)(2r-3)=9$
$p \le q \le r$ より $3 \le 2q-3 \le 2r-3$ であるので,
$(2q-3, 2r-3) = (3, 3)$
$(q, r) = (3, 3)$
を得る. これより,
$(p, q, r) = (3, 3, 3)$
を得る.
以下, 省略.
今日の部活も自主練だったので、走路を走りに行きたい、という部員についていって、見ていました。中身としては、走路を走ってたり、フットワークの練習をしたり、それぞれだったのですが・・・
３年生部員から声をかけられて・・・
「センセーも一緒に走りましょう」
そんなわけで、仕方なく走ることになったのですが・・・
筋肉とか、心臓とか、肺とかが限界、ではないのですが、１周半くらいで力尽きました。
もうなんか、脛が限界を迎えてしまいまして・・・ちょっと汗をかきましたけど、全然“体力”的には余裕だったんですが・・・
恐ろしい、３ヶ月に渡る、運動不足・・・半日過ぎた今（２２時）になっても、筋肉痛とか全然ないのに、脛が痛い・・・
今日も、授業で出題した問題。
なんか、見返していたら、何故か見逃していた、平日課題 No.06 の解説。結構有名な問題なので、知っている人も多いはず。詳しくは覚えていませんが、どっかの大学の入試問題だった気がする。
本論とはずれますが、この手の整数（自然数）問題を出題されると、「自然数に $0$ を含むのか含まないのかを明示しないなんて、問題の不備だ」とか言い出す“自称・数学が分かっている人”がいるんですよね。日本で高校数学を学ぶと、自然数には $0$ は含まれないのですが、海外では $0$ を含むことが多かったり、大学で初等整数論を学ぶと自然数を定義する為に、空集合 $\emptyset$ を $0$ に対応させて定義するので、自然数に $0$ を含むので、「俺はそういった学識の高い人間だぜ」アピールをしているのだと思うのですが・・・問題を見れば、 $\dfrac1p$ とか、分母にきているのを見れば、どっちで定義していても $0$ は解にならない事は直ぐに分かると思うのですが・・・
以下の等式を満たす自然数 $p$, $q$, $r$ の組 $(p, q, r)$ の総数を求めよ.
$\dfrac1p+\dfrac1q+\dfrac1r=1$
$p \le q \le r$ と仮定する. すると, $\dfrac1p \ge \dfrac1q \ge \dfrac1r$ である. これより,
$1=\dfrac1p+\dfrac1q+\dfrac1r\le\dfrac1p+\dfrac1p+\dfrac1p=\dfrac3p$
即ち $p\le3$ である.
(i) $p=1$ とすると,
$\dfrac11+\dfrac1q+\dfrac1r=1$
$\dfrac1q+\dfrac1r=0$
これを満たす自然数 $q$, $r$ は存在しない.
(ii) $p=2$ とすると,
$\dfrac12+\dfrac1q+\dfrac1r=1$
$\dfrac1q+\dfrac1r=\dfrac12$
ここで,
$\dfrac12=\dfrac1q+\dfrac1r\le\dfrac1q+\dfrac1q=\dfrac2q$
即ち $q \le 4$ である. $p \le q$ であるので $2 \le q \le 4$ である.
(ii-i) $q=2$ とすると,
$\dfrac12+\dfrac1r=\dfrac12$
$\dfrac1r=0$
これを満たす自然数 $r$ は存在しない.
(ii-ii) $q=3$ とすると,
$\dfrac13+\dfrac1r=\dfrac12$
$\dfrac1r=\dfrac16$
$r=6$
であるので, $(p, q, r)=(2, 3, 6)$ を得る.
(ii-iii) $q=4$ とすると,
$\dfrac14+\dfrac1r=\dfrac12$
$\dfrac1r=\dfrac14$
$r=4$
であるので, $(p, q, r)=(2, 4, 4)$ を得る.
(iii) $p=3$ とすると,
$\dfrac13+\dfrac1q+\dfrac1r=1$
$\dfrac1q+\dfrac1r=\dfrac23$
ここで,
$\dfrac23=\dfrac1q+\dfrac1r\le\dfrac1q+\dfrac1q=\dfrac2q$
即ち $q \le 3$ である. $p \le q$ であるので $q=3$ である.
$\dfrac13+\dfrac1r=\dfrac23$
$\dfrac1r=\dfrac13$
$r=3$
であるので, $(p, q, r)=(3, 3, 3)$ を得る.
以上より, $(p, q, r) = (2, 3, 6), (2, 4, 4), (3, 3, 3)$ である. $p \le q \le r$ の仮定を外すと, それぞれ $3!$ 通り, ${}_{3}\mathrm{C}_{1}$ 通り, $1$ 通りであるので,
$3!+{}_{3}\mathrm{C}_{1}+1=10$
より $10$ 通りである.
$p$ の値を仮定したあとの別解がある.
(ii) $p=2$ とすると,
$\dfrac12+\dfrac1q+\dfrac1r=1$
$\dfrac1q+\dfrac1r=\dfrac12$
$2r+2q=qr$
$qr-2q-2r=0$
$(q-2)(r-2)=4$
$p \le q \le r$ より $0 \le q-2 \le r-2$ であるので,
$(q-2, r-2) = (1, 4), (2, 2)$
$(q, r) = (3, 6), (4, 4)$
を得る. これより,
$(p, q, r) = (2, 3, 6), (2, 4, 4)$
を得る.
(iii) $p=3$ とすると,
$\dfrac13+\dfrac1q+\dfrac1r=1$
$\dfrac1q+\dfrac1r=\dfrac23$
$3r+3q=2qr$
$4qr-6q-6r=0$
$(2q-3)(2r-3)=9$
$p \le q \le r$ より $3 \le 2q-3 \le 2r-3$ であるので,
$(2q-3, 2r-3) = (3, 3)$
$(q, r) = (3, 3)$
を得る. これより,
$(p, q, r) = (3, 3, 3)$
を得る.
以下, 省略.
授業で出題した問題（週末課題 No.08）
土日の部活も（自主練ですが）始まりました。まあ、それでも半日のみなので、午後からは帰宅してゆっくりと・・・力尽きて昼寝をしていました。
授業で、演習のクラスの生徒から課題を Classroom で提出させているのですが、体育館に行くと、学校の Wi-Fi が入らないので、全然チェックが出来ませんでした。なので、帰宅して、力尽きる前になんとか提出されていたものを全部チェックし、返却しました。
Rakuten UN-LIMIT にして、色々と実験していたところで、まだ今月になってから 6 日なのに、今月の通信容量がなくなる直前となっています。特に普段からは見るつもりもないのに、外出先で YouTube を観てみたり、Prime Video を観てみたり、色々と実験をしていたら、あっという間に容量がなくなりました。
ただ、実験をしていった結果、Prime Video はデータ節約モードでは観れないようです。公式に、 SD（標準画質）コンテンツの場合は1MB/s以上が必要だと出ていますし、節約モードや低速モードでは 1Mbps が上限なので、ここから不可能であることは分かるわけです。YouTube は画質が色々とあって、自動設定になっていれば、通信速度に合わせて画質が変更されるので、前述の 1Mbps のままでも快適に観れるような画質になります。なので、問題なく観ることができました。まあ、外で観ることも、ほとんどないんでしょうけど・・・
しかし、 Classroom はどれだけの速度がないと難しいのか？？普通にアクセスしたりするにはそんなに速度は必要ないと思うのですが、困ったのは提出されたレポートの確認のとき。恐らく、生徒が撮った写真の画質そのままの状態でダウンロードしているので・・・
って思って、調べてみたんですが、どの写真も、大きくても 1.7MB 程度。当然ですが、スマホで撮った程度の写真なので、そんなもんですよね。
でも、問題はそこではないんですよ。受信した画像を編集（赤ペンで採点、コメント入れ）をする際に、編集状態で開くことができないんですよ・・・これがどういう仕様になっているのか分かりませんが、まさか編集機能自体を毎回ダウンロードしている、なんて事は・・・流石にないと思いますが、だとしたら、何故開けないのでしょうか？？
今日も授業で出題した問題。(1), (2) は藤田医大、 (3) は甲南大の入試問題です。
次の問いに答えよ.
(1) 円に内接する四角形 $\mathrm{ABCD}$ がある. $\mathrm{AB}=1$, $\mathrm{BC}=8$, $\mathrm{CD}=12$, $\mathrm{DA}=9$ のとき, この四角形 $\mathrm{ABCD}$ の面積 $S$ を求めよ.
(2) $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ の $7$ 個の数字から, 異なる $4$ 個を選び出して並べ, $4$ 桁の整数を作るとき, $3600$ より大きい奇数の個数を求めよ.
(3) $9^{100}$ を $100$ で割ったときの余りを求めよ.
(1) 一般的な解法としては, 余弦定理, 相互関係の順に用いて面積を求める.
$\angle\mathrm{ABC}=\theta$ とおくと, 余弦定理より
$\mathrm{AC}^2=1^2+8^2-2\times1\times8\times\cos\theta$
$\mathrm{AC}^2=12^2+9^2-2\times12\times9\times\cos(180^\circ-\theta)$
が成り立つ. これより,
$1^2+8^2-2\times1\times8\times\cos\theta=12^2+9^2-2\times12\times9\times\cos(180^\circ-\theta)$
$65-16\cos\theta=225+216\cos\theta$
$-232\cos\theta=160$
$\cos\theta=-\dfrac{160}{232}=-\dfrac{20}{29}$,
三角比の相互関係より
$\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta} = \sqrt{1-\left(-\dfrac{20}{29}\right)^2}=\dfrac{21}{29}$
であるので, $\triangle\mathrm{XYZ}$ の面積を $S_{XYZ}$ とおくと,
$S=S_{ABC}+S_{CDA}$
$= \dfrac12 \times \mathrm{AB} \times \mathrm{BC} \times \sin\theta + \dfrac12 \times \mathrm{CD} \times \mathrm{DA} \times \sin(180^\circ-\theta)$
$= \dfrac12 \times 1 \times 8 \times \dfrac{21}{29} + \dfrac12 \times 12 \times 9 \times \dfrac{21}{29}
= \dfrac{84+1134}{29}
= \dfrac{1218}{29}
= 42$.
もちろん, $\angle\mathrm{BCD}=\theta$ としても同様に解くことができる.
（別解）$\angle\mathrm{BCD}=\theta$ とおくと, 余弦定理より
$\mathrm{BD}^2=8^2+12^2-2\times8\times12\times\cos\theta$
$\mathrm{BD}^2=9^2+1^2-2\times9\times1\times\cos(180^\circ-\theta)$
が成り立つ. これより,
$8^2+12^2-2\times8\times12\times\cos\theta=9^2+1^2-2\times9\times1\times\cos(180^\circ-\theta)$
$208-192\cos\theta=82+18\cos\theta$
$-210\cos\theta=-126$
$\cos\theta=\dfrac{126}{210}=\dfrac{3}{5}$,
三角比の相互関係より
$\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta} = \sqrt{1-\left(\dfrac35\right)^2} = \dfrac45$
であるので,
$S=S_{BCD}+S_{DAB}$
$= \dfrac12\times\mathrm{BC}\times\mathrm{CD}\times\sin\theta + \dfrac12\times\mathrm{DA}\times\mathrm{AB}\times\sin(180^\circ-\theta)$
$= \dfrac12 \times 8 \times 12 \times \dfrac45 + \dfrac12 \times 9 \times 1 \times \dfrac45 = \dfrac{192+18}{5} = \dfrac{210}{5} = 42$.
更に別解として, 一発で面積を求めることのできる公式がある.
Brahmagupta's formula (ブラーマグプタの公式)
円に内接する四角形 $\mathrm{ABCD}$ について, $\mathrm{AB}=a$, $\mathrm{BC}=b$, $\mathrm{CD}=c$, $\mathrm{DA}=d$ とする. このとき, 四角形 $\mathrm{ABCD}$ の面積 $S$ は
$S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$
ただし, $s=\dfrac{a+b+c+d}{2}$
で求めることができる.
これを用いると,
$s=\dfrac{1+8+12+9}{2}=\dfrac{30}{2}=15$,
$S=\sqrt{(15-1)(15-8)(15-12)(15-9)}=\sqrt{14 \times 7 \times 3 \times 6}
= \sqrt{(2 \times 7) \times 3 \times (2 \times 3)} = 2 \times 3 \times 7 = 42$.
この公式自体は, 三角形の面積を求める Heron's formula (ヘロンの公式) の拡張であると考えることができる. 更に拡張して, 任意の四角形 $\mathrm{ABCD}$ の面積 $S$ を求める Bretschneider's formula (ブレートシュナイダーの公式) が知られている.
Bretschneider's formula
四角形 $\mathrm{ABCD}$ について, $\mathrm{AB}=a$, $\mathrm{BC}=b$, $\mathrm{CD}=c$, $\mathrm{DA}=d$ とする. このとき, 四角形 $\mathrm{ABCD}$ の面積 $S$ は
$S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos^2\left(\dfrac{A+C}{2}\right)}$
ただし, $s=\dfrac{a+b+c+d}{2}$
で求めることができる.
この証明に関しては, なかなか (難しい, ではなく) 面倒なので, 機会があれば別のときに.
(2) この問題は, 場合分けをして考えていけば問題ない.
千の位が $4$ または $6$ のとき ($2$ 通り), 一の位は $1$, $3$, $5$ の $3$ 通りであり, 百の位, 十の位は残りの $5$ 個の中から $2$ 個を選んで並べればよいので ${}_{5}\mathrm{P}_{2}$ 通り.
千の位が $5$ のとき, 一の位は $1$, $3$ の $2$ 通りであり, 百の位, 十の位は残りの $5$ 個の中から $2$ 個を選んで並べればよいので ${}_{5}\mathrm{P}_{2}$ 通り.
千の位が $3$ のとき, 百の位は $6$, 一の位は $1$ または $5$ の $2$ 通り, 十の位は残りの $4$ 個があるので $4$ 通り.
以上より,
$2 \times 3 \times {}_{5}\mathrm{P}_{2} + 1 \times 2 \times {}_{5}\mathrm{P}_{2} + 1 \times 1 \times 2 \times 4 = 120 + 40 + 8 = 168$
より $168$ 通り.
(3) 私が想定した解法としては, 以下の通り.
$9^1\equiv9\pmod{100}$
$9^2\equiv81\pmod{100}$
$9^3\equiv81\times9=729\equiv29\pmod{100}$
$9^4\equiv29\times9=261\equiv61\pmod{100}$
$9^5\equiv61\times9=549\equiv49\pmod{100}$
$9^6\equiv49\times9=441\equiv41\pmod{100}$
$9^7\equiv41\times9=369\equiv69\pmod{100}$
$9^8\equiv69\times9=621\equiv21\pmod{100}$
$9^9\equiv21\times9=189\equiv89\pmod{100}$
$9^{10}\equiv89\times9=801\equiv1\pmod{100}$
より,
$9^{100} = (9^{10})^{10} \equiv 1^{10} = 1\pmod{100}$
であるので, 求める余りは $1$ である.
別解として, 数学 II で学んだ二項定理を用いる方法もある (出題した授業自体は数学 I・A を範囲としているのに, こっちで解いてきた生徒が非常に多かった).
$9^{100}=(10-1)^{100}=\displaystyle\sum_{r=0}^{100}{}_{100}\mathrm{C}_{r} \times 10^r \times (-1)^{100-r}$
ここで, $r\ge2$ のとき
$10^r=100\times10^{r-2}\equiv0\pmod{100}$
より $100$ の倍数, $r=1$ のとき
${}_{100}\mathrm{C}_{1}=\dfrac{100}{1}=100$
より $100$ の倍数であるので, $9^{100}$ を $100$ で割ったときの余りは
$9^{100}\equiv{}_{100}\mathrm{C}_{0}\times10^0\times(-1)^{100}=1\pmod{100}$
であるので $1$ である.
授業で、演習のクラスの生徒から課題を Classroom で提出させているのですが、体育館に行くと、学校の Wi-Fi が入らないので、全然チェックが出来ませんでした。なので、帰宅して、力尽きる前になんとか提出されていたものを全部チェックし、返却しました。
Rakuten UN-LIMIT にして、色々と実験していたところで、まだ今月になってから 6 日なのに、今月の通信容量がなくなる直前となっています。特に普段からは見るつもりもないのに、外出先で YouTube を観てみたり、Prime Video を観てみたり、色々と実験をしていたら、あっという間に容量がなくなりました。
ただ、実験をしていった結果、Prime Video はデータ節約モードでは観れないようです。公式に、 SD（標準画質）コンテンツの場合は1MB/s以上が必要だと出ていますし、節約モードや低速モードでは 1Mbps が上限なので、ここから不可能であることは分かるわけです。YouTube は画質が色々とあって、自動設定になっていれば、通信速度に合わせて画質が変更されるので、前述の 1Mbps のままでも快適に観れるような画質になります。なので、問題なく観ることができました。まあ、外で観ることも、ほとんどないんでしょうけど・・・
しかし、 Classroom はどれだけの速度がないと難しいのか？？普通にアクセスしたりするにはそんなに速度は必要ないと思うのですが、困ったのは提出されたレポートの確認のとき。恐らく、生徒が撮った写真の画質そのままの状態でダウンロードしているので・・・
って思って、調べてみたんですが、どの写真も、大きくても 1.7MB 程度。当然ですが、スマホで撮った程度の写真なので、そんなもんですよね。
でも、問題はそこではないんですよ。受信した画像を編集（赤ペンで採点、コメント入れ）をする際に、編集状態で開くことができないんですよ・・・これがどういう仕様になっているのか分かりませんが、まさか編集機能自体を毎回ダウンロードしている、なんて事は・・・流石にないと思いますが、だとしたら、何故開けないのでしょうか？？
今日も授業で出題した問題。(1), (2) は藤田医大、 (3) は甲南大の入試問題です。
次の問いに答えよ.
(1) 円に内接する四角形 $\mathrm{ABCD}$ がある. $\mathrm{AB}=1$, $\mathrm{BC}=8$, $\mathrm{CD}=12$, $\mathrm{DA}=9$ のとき, この四角形 $\mathrm{ABCD}$ の面積 $S$ を求めよ.
(2) $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ の $7$ 個の数字から, 異なる $4$ 個を選び出して並べ, $4$ 桁の整数を作るとき, $3600$ より大きい奇数の個数を求めよ.
(3) $9^{100}$ を $100$ で割ったときの余りを求めよ.
(1) 一般的な解法としては, 余弦定理, 相互関係の順に用いて面積を求める.
$\angle\mathrm{ABC}=\theta$ とおくと, 余弦定理より
$\mathrm{AC}^2=1^2+8^2-2\times1\times8\times\cos\theta$
$\mathrm{AC}^2=12^2+9^2-2\times12\times9\times\cos(180^\circ-\theta)$
が成り立つ. これより,
$1^2+8^2-2\times1\times8\times\cos\theta=12^2+9^2-2\times12\times9\times\cos(180^\circ-\theta)$
$65-16\cos\theta=225+216\cos\theta$
$-232\cos\theta=160$
$\cos\theta=-\dfrac{160}{232}=-\dfrac{20}{29}$,
三角比の相互関係より
$\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta} = \sqrt{1-\left(-\dfrac{20}{29}\right)^2}=\dfrac{21}{29}$
であるので, $\triangle\mathrm{XYZ}$ の面積を $S_{XYZ}$ とおくと,
$S=S_{ABC}+S_{CDA}$
$= \dfrac12 \times \mathrm{AB} \times \mathrm{BC} \times \sin\theta + \dfrac12 \times \mathrm{CD} \times \mathrm{DA} \times \sin(180^\circ-\theta)$
$= \dfrac12 \times 1 \times 8 \times \dfrac{21}{29} + \dfrac12 \times 12 \times 9 \times \dfrac{21}{29}
= \dfrac{84+1134}{29}
= \dfrac{1218}{29}
= 42$.
もちろん, $\angle\mathrm{BCD}=\theta$ としても同様に解くことができる.
（別解）$\angle\mathrm{BCD}=\theta$ とおくと, 余弦定理より
$\mathrm{BD}^2=8^2+12^2-2\times8\times12\times\cos\theta$
$\mathrm{BD}^2=9^2+1^2-2\times9\times1\times\cos(180^\circ-\theta)$
が成り立つ. これより,
$8^2+12^2-2\times8\times12\times\cos\theta=9^2+1^2-2\times9\times1\times\cos(180^\circ-\theta)$
$208-192\cos\theta=82+18\cos\theta$
$-210\cos\theta=-126$
$\cos\theta=\dfrac{126}{210}=\dfrac{3}{5}$,
三角比の相互関係より
$\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta} = \sqrt{1-\left(\dfrac35\right)^2} = \dfrac45$
であるので,
$S=S_{BCD}+S_{DAB}$
$= \dfrac12\times\mathrm{BC}\times\mathrm{CD}\times\sin\theta + \dfrac12\times\mathrm{DA}\times\mathrm{AB}\times\sin(180^\circ-\theta)$
$= \dfrac12 \times 8 \times 12 \times \dfrac45 + \dfrac12 \times 9 \times 1 \times \dfrac45 = \dfrac{192+18}{5} = \dfrac{210}{5} = 42$.
更に別解として, 一発で面積を求めることのできる公式がある.
Brahmagupta's formula (ブラーマグプタの公式)
円に内接する四角形 $\mathrm{ABCD}$ について, $\mathrm{AB}=a$, $\mathrm{BC}=b$, $\mathrm{CD}=c$, $\mathrm{DA}=d$ とする. このとき, 四角形 $\mathrm{ABCD}$ の面積 $S$ は
$S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$
ただし, $s=\dfrac{a+b+c+d}{2}$
で求めることができる.
これを用いると,
$s=\dfrac{1+8+12+9}{2}=\dfrac{30}{2}=15$,
$S=\sqrt{(15-1)(15-8)(15-12)(15-9)}=\sqrt{14 \times 7 \times 3 \times 6}
= \sqrt{(2 \times 7) \times 3 \times (2 \times 3)} = 2 \times 3 \times 7 = 42$.
この公式自体は, 三角形の面積を求める Heron's formula (ヘロンの公式) の拡張であると考えることができる. 更に拡張して, 任意の四角形 $\mathrm{ABCD}$ の面積 $S$ を求める Bretschneider's formula (ブレートシュナイダーの公式) が知られている.
Bretschneider's formula
四角形 $\mathrm{ABCD}$ について, $\mathrm{AB}=a$, $\mathrm{BC}=b$, $\mathrm{CD}=c$, $\mathrm{DA}=d$ とする. このとき, 四角形 $\mathrm{ABCD}$ の面積 $S$ は
$S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos^2\left(\dfrac{A+C}{2}\right)}$
ただし, $s=\dfrac{a+b+c+d}{2}$
で求めることができる.
この証明に関しては, なかなか (難しい, ではなく) 面倒なので, 機会があれば別のときに.
(2) この問題は, 場合分けをして考えていけば問題ない.
千の位が $4$ または $6$ のとき ($2$ 通り), 一の位は $1$, $3$, $5$ の $3$ 通りであり, 百の位, 十の位は残りの $5$ 個の中から $2$ 個を選んで並べればよいので ${}_{5}\mathrm{P}_{2}$ 通り.
千の位が $5$ のとき, 一の位は $1$, $3$ の $2$ 通りであり, 百の位, 十の位は残りの $5$ 個の中から $2$ 個を選んで並べればよいので ${}_{5}\mathrm{P}_{2}$ 通り.
千の位が $3$ のとき, 百の位は $6$, 一の位は $1$ または $5$ の $2$ 通り, 十の位は残りの $4$ 個があるので $4$ 通り.
以上より,
$2 \times 3 \times {}_{5}\mathrm{P}_{2} + 1 \times 2 \times {}_{5}\mathrm{P}_{2} + 1 \times 1 \times 2 \times 4 = 120 + 40 + 8 = 168$
より $168$ 通り.
(3) 私が想定した解法としては, 以下の通り.
$9^1\equiv9\pmod{100}$
$9^2\equiv81\pmod{100}$
$9^3\equiv81\times9=729\equiv29\pmod{100}$
$9^4\equiv29\times9=261\equiv61\pmod{100}$
$9^5\equiv61\times9=549\equiv49\pmod{100}$
$9^6\equiv49\times9=441\equiv41\pmod{100}$
$9^7\equiv41\times9=369\equiv69\pmod{100}$
$9^8\equiv69\times9=621\equiv21\pmod{100}$
$9^9\equiv21\times9=189\equiv89\pmod{100}$
$9^{10}\equiv89\times9=801\equiv1\pmod{100}$
より,
$9^{100} = (9^{10})^{10} \equiv 1^{10} = 1\pmod{100}$
であるので, 求める余りは $1$ である.
別解として, 数学 II で学んだ二項定理を用いる方法もある (出題した授業自体は数学 I・A を範囲としているのに, こっちで解いてきた生徒が非常に多かった).
$9^{100}=(10-1)^{100}=\displaystyle\sum_{r=0}^{100}{}_{100}\mathrm{C}_{r} \times 10^r \times (-1)^{100-r}$
ここで, $r\ge2$ のとき
$10^r=100\times10^{r-2}\equiv0\pmod{100}$
より $100$ の倍数, $r=1$ のとき
${}_{100}\mathrm{C}_{1}=\dfrac{100}{1}=100$
より $100$ の倍数であるので, $9^{100}$ を $100$ で割ったときの余りは
$9^{100}\equiv{}_{100}\mathrm{C}_{0}\times10^0\times(-1)^{100}=1\pmod{100}$
であるので $1$ である.
授業で出題した問題（平日課題 No.07)
６時間授業の１週間が終わりました。
約３ヶ月間も授業をしていなかったからか、やはりペースが戻らない。ペースが分からないのか、授業をする体力が無くなっているのか・・・５０分の授業をすると、それだけでもうぐったりとしてしまう・・・
そして、来週からは３学年、即ち全校生徒が登校してくる・・・それでも、昼休みにはクラスの生徒の行動を見張る為に、昼食も食べずに教室に行かなくてはならないし、放課後には生徒に清掃をさせられないということで、担任が１人で掃除をするという・・・
そりゃ、感染対策とか、三密を避けるとか、分かりますけど、それによる担任への負担増が過ぎませんか？？
今回も授業で出題した問題。 2020 年の大阪学院大の入試問題で、絶対値を含む方程式の問題。絶対値記号の外し方をちゃんと分かっているかが問われるところ。
次の問いに答えよ.
(1) $x+|x+1|+|x-1|=6$ を解け.
(2) $|x-|x-1||=1$ を解け.
(3) $|x-|x-1||=\dfrac14x+a$ が異なる $3$ つの解をもつとき, 定数 $a$ がとる範囲を求めよ.
(1) 絶対値の中身が $0$ になる $x$ の値は $x=-1$, $1$ である.
(i) $x<-1$ のとき, $x+1<0$, $x-1<0$ であるので,
$x-(x+1)-(x-1) = 6$
$-x = 6$
$x = -6$
これは $x<-1$ を満たす.
(ii) $-1\le x<1$ のとき, $x+1\ge0$, $x-1<0$ であるので,
$x+(x+1)-(x-1) = 6$
$x+2 = 6$
$x = 4$
これは $-1\le x<1$ を満たさない.
(iii) $1\le x$ のとき, $x+1\ge0$, $x-1\ge0$ であるので,
$x+(x+1)+(x-1) = 6$
$3x = 6$
$x = 2$
これは $1\le x$ を満たす.
(i), (ii), (iii) より, $x=-6, 2$ である.
(2) それぞれの絶対値で順に場合分けをしていく.
(i) $x-1\ge0$ 即ち $x\ge1$ のとき
$|x-(x-1)|=1$
$|1|=1$
これはすべての実数で成り立つので, $x\ge1$ である.
(ii) $x-1<0$ 即ち $x<1$ のとき
$|x+(x-1)|=1$
$|2x-1|=1$
(ii-i) $2x-1\ge0$ 即ち $x\ge\dfrac12$ のとき
$2x-1=1$
$x=1$
であるが, これは $\dfrac12\le x<1$ であるので不適.
(ii-ii) $2x-1<0$ 即ち $x<\dfrac12$ のとき
$-(2x-1)=1$
$x=0$
であり, これは $x<\dfrac12$ を満たす.
以上より, $x=0$, $x\ge1$ である.
(3) (2) と同様に場合分けをして考える.
(i) $x<\dfrac12$ のとき,
$|x-|x-1||=\dfrac14x+a$
$|x+(x-1)|=\dfrac14x+a$
$|2x-1|=\dfrac14x+a$
$-(2x-1)=\dfrac14x+a$
$-2x+1=\dfrac14x+a$
$-\dfrac94x=a-1$
$x=-\dfrac49(a-1)$
(ii) $\dfrac12\le x<1$ のとき,
$|x-|x-1||=\dfrac14x+a$
$|x+(x-1)|=\dfrac14x+a$
$|2x-1|=\dfrac14x+a$
$2x-1=\dfrac14x+a$
$\dfrac74x=a+1$
$x=\dfrac47(a+1)$
(iii) $1\le x$ のとき,
$|x-|x-1||=\dfrac14x+a$
$|x-(x-1)|=\dfrac14x+a$
$|1|=\dfrac14x+a$
$-\dfrac14x=a-1$
$x=-4(a-1)$
これより, 異なる $3$ つの解をもつためには, (i), (ii), (iii) それぞれが解をもつときである. よって,
$
\begin{cases}
-\dfrac49(a-1)<\dfrac12 \\
\dfrac12 \le \dfrac47(a+1) < 1 \\
1 \le -4(a-1)
\end{cases}
$
を同時に満たす.
第 $1$ 式より
$-\dfrac49(a-1)<\dfrac12$
$a-1>-\dfrac98$
$a>-\dfrac18$
第 $2$ 式より
$\dfrac12 \le \dfrac47(a+1) < 1$
$\dfrac78 \le a+1 < \dfrac74$
$-\dfrac18 \le a < \dfrac34$
第 $3$ 式より
$1 \le -4(a-1)$
$-\dfrac14 \ge a-1$
$\dfrac34 \ge a$
以上より, $-\dfrac18<a<\dfrac34$ である.
これが, 「絶対値は場合分け」という考え方に基づく一般的な解法である. が, もっと分かりやすい解法が, 「関数のグラフを考える」である.
(2) $f(x)=|x-|x-1||$ とおく.
先程の解法と同様に場合分けをすると,
$
f(x)=
\begin{cases}
-2x+1 & (x<\frac12) \\
2x-1 & (\frac12 \le x < 1) \\
1 & (1 \le x)
\end{cases}
$
である. これより, グラフは以下の通りである.
これより, $y=1$ との共有点は...
グラフより, $x=0$, $x\ge1$ である.
(3) 同様に, $g(x)=\dfrac14x+1$ とおくと, 方程式の解は $y=f(x)$ と $y=g(x)$ の共有点である.
このグラフより, 傾き $\dfrac14$ の直線と $3$ つの共有点をもつための必要十分条件は, $\dfrac12 < x < 1$ の範囲で共有点をもつときである.
これらの条件を満たすための必要十分条件は, $g\left(\frac12\right)>0$ かつ $g(1)<1$ が成り立つことである.
$g\left(\frac12\right) > 0$
$\dfrac14 \times \dfrac12 + a > 0$
$a > -\dfrac18$,
$g(1) < 1$
$\dfrac14 \times 1 + a < 1$
$a < \dfrac34$
以上より, $-\dfrac18 < a < \dfrac34$.
約３ヶ月間も授業をしていなかったからか、やはりペースが戻らない。ペースが分からないのか、授業をする体力が無くなっているのか・・・５０分の授業をすると、それだけでもうぐったりとしてしまう・・・
そして、来週からは３学年、即ち全校生徒が登校してくる・・・それでも、昼休みにはクラスの生徒の行動を見張る為に、昼食も食べずに教室に行かなくてはならないし、放課後には生徒に清掃をさせられないということで、担任が１人で掃除をするという・・・
そりゃ、感染対策とか、三密を避けるとか、分かりますけど、それによる担任への負担増が過ぎませんか？？
今回も授業で出題した問題。 2020 年の大阪学院大の入試問題で、絶対値を含む方程式の問題。絶対値記号の外し方をちゃんと分かっているかが問われるところ。
次の問いに答えよ.
(1) $x+|x+1|+|x-1|=6$ を解け.
(2) $|x-|x-1||=1$ を解け.
(3) $|x-|x-1||=\dfrac14x+a$ が異なる $3$ つの解をもつとき, 定数 $a$ がとる範囲を求めよ.
(1) 絶対値の中身が $0$ になる $x$ の値は $x=-1$, $1$ である.
(i) $x<-1$ のとき, $x+1<0$, $x-1<0$ であるので,
$x-(x+1)-(x-1) = 6$
$-x = 6$
$x = -6$
これは $x<-1$ を満たす.
(ii) $-1\le x<1$ のとき, $x+1\ge0$, $x-1<0$ であるので,
$x+(x+1)-(x-1) = 6$
$x+2 = 6$
$x = 4$
これは $-1\le x<1$ を満たさない.
(iii) $1\le x$ のとき, $x+1\ge0$, $x-1\ge0$ であるので,
$x+(x+1)+(x-1) = 6$
$3x = 6$
$x = 2$
これは $1\le x$ を満たす.
(i), (ii), (iii) より, $x=-6, 2$ である.
(2) それぞれの絶対値で順に場合分けをしていく.
(i) $x-1\ge0$ 即ち $x\ge1$ のとき
$|x-(x-1)|=1$
$|1|=1$
これはすべての実数で成り立つので, $x\ge1$ である.
(ii) $x-1<0$ 即ち $x<1$ のとき
$|x+(x-1)|=1$
$|2x-1|=1$
(ii-i) $2x-1\ge0$ 即ち $x\ge\dfrac12$ のとき
$2x-1=1$
$x=1$
であるが, これは $\dfrac12\le x<1$ であるので不適.
(ii-ii) $2x-1<0$ 即ち $x<\dfrac12$ のとき
$-(2x-1)=1$
$x=0$
であり, これは $x<\dfrac12$ を満たす.
以上より, $x=0$, $x\ge1$ である.
(3) (2) と同様に場合分けをして考える.
(i) $x<\dfrac12$ のとき,
$|x-|x-1||=\dfrac14x+a$
$|x+(x-1)|=\dfrac14x+a$
$|2x-1|=\dfrac14x+a$
$-(2x-1)=\dfrac14x+a$
$-2x+1=\dfrac14x+a$
$-\dfrac94x=a-1$
$x=-\dfrac49(a-1)$
(ii) $\dfrac12\le x<1$ のとき,
$|x-|x-1||=\dfrac14x+a$
$|x+(x-1)|=\dfrac14x+a$
$|2x-1|=\dfrac14x+a$
$2x-1=\dfrac14x+a$
$\dfrac74x=a+1$
$x=\dfrac47(a+1)$
(iii) $1\le x$ のとき,
$|x-|x-1||=\dfrac14x+a$
$|x-(x-1)|=\dfrac14x+a$
$|1|=\dfrac14x+a$
$-\dfrac14x=a-1$
$x=-4(a-1)$
これより, 異なる $3$ つの解をもつためには, (i), (ii), (iii) それぞれが解をもつときである. よって,
$
\begin{cases}
-\dfrac49(a-1)<\dfrac12 \\
\dfrac12 \le \dfrac47(a+1) < 1 \\
1 \le -4(a-1)
\end{cases}
$
を同時に満たす.
第 $1$ 式より
$-\dfrac49(a-1)<\dfrac12$
$a-1>-\dfrac98$
$a>-\dfrac18$
第 $2$ 式より
$\dfrac12 \le \dfrac47(a+1) < 1$
$\dfrac78 \le a+1 < \dfrac74$
$-\dfrac18 \le a < \dfrac34$
第 $3$ 式より
$1 \le -4(a-1)$
$-\dfrac14 \ge a-1$
$\dfrac34 \ge a$
以上より, $-\dfrac18<a<\dfrac34$ である.
これが, 「絶対値は場合分け」という考え方に基づく一般的な解法である. が, もっと分かりやすい解法が, 「関数のグラフを考える」である.
(2) $f(x)=|x-|x-1||$ とおく.
先程の解法と同様に場合分けをすると,
$
f(x)=
\begin{cases}
-2x+1 & (x<\frac12) \\
2x-1 & (\frac12 \le x < 1) \\
1 & (1 \le x)
\end{cases}
$
である. これより, グラフは以下の通りである.
これより, $y=1$ との共有点は...
グラフより, $x=0$, $x\ge1$ である.
(3) 同様に, $g(x)=\dfrac14x+1$ とおくと, 方程式の解は $y=f(x)$ と $y=g(x)$ の共有点である.
このグラフより, 傾き $\dfrac14$ の直線と $3$ つの共有点をもつための必要十分条件は, $\dfrac12 < x < 1$ の範囲で共有点をもつときである.
これらの条件を満たすための必要十分条件は, $g\left(\frac12\right)>0$ かつ $g(1)<1$ が成り立つことである.
$g\left(\frac12\right) > 0$
$\dfrac14 \times \dfrac12 + a > 0$
$a > -\dfrac18$,
$g(1) < 1$
$\dfrac14 \times 1 + a < 1$
$a < \dfrac34$
以上より, $-\dfrac18 < a < \dfrac34$.
授業で出題した問題（週末課題 No.07)
今日、スマホを注文しました。 SAMSUNG の Galaxy A7 です。以前書いた通り、楽天モバイルの Rakuten UN-LIMIT にしたので、それで使うスマホを・・・ではありません。使うつもりは全くないので・・・
では何故、注文したのか？？答えは簡単です。安かったので。
通常、31,500 円の端末が 17,000 円（税抜、税込みだと 18,700 円）で買えて、更に楽天ポイントで 15,000 ポイント還元になるので、端末料金が実質 3,700 円、という事に。まあ、ポイント付与は約 3 ヶ月後になるのが気になりますが、届き次第、ゲオに持ち込むか、若しくはメルカリか・・・または、誰か使いたい人がいれば、譲ってあげなくもないのですが・・・
今日も、授業で出題した問題。内容は、確率です。
どれも基本となる内容なので、しっかりと理解して欲しいところ。
(1) は千葉工大の, (2) は高知工科大の, (3) は岐阜聖徳学園大の, (4) は明海大の $2019$ 年の入試問題です.
次の問いに答えよ.
(1) $5$ 人で $1$ 回じゃんけんをする. 各人はグー, チョキ, パーをそれぞれ $\dfrac13$ の確率で出すものとする. このとき, ちょうど $2$ 人が勝つ確率を求めよ.
(2) $4$ 個のサイコロを同時に投げるとき, 出る目の最小値が $2$ である確率を求めよ.
(3) サイコロを $3$ 回投げて, 出た目を順に $a$, $b$, $c$ とする. $a<b<c$ となる確率は [ア] であり, $a+b+c=7$ となる確率は [イ] である.
(4) $4$ 個のさいころを同時に投げたとき, 少なくとも $2$ 個のさいころの目が同じになる確率を求めよ.
(1)
勝つ $2$ 人の組み合わせは ${}_{5}\mathrm{C}_{2}$ 通り, 勝敗のつき方は
(グー, グー, チョキ, チョキ, チョキ), (チョキ, チョキ, パー, パー, パー), (パー, パー, グー, グー, グー) の $3$ 通りであるので,
$\dfrac{{}_{5}\mathrm{C}_{2} \times 3}{3^5} = \dfrac{10}{81}$.
(別解)
考え方を変えて, 積事象として考える. $5$ 人ぞれぞれがどの手を出すかは独立である.
勝つ $2$ 人のうち $1$ 人目はどの手を出してもいいので $1$, $2$ 人目は同じ手を出さなくてはいけないので $\dfrac13$, 負ける $3$ 人はそれぞれ負ける手を出さなくてはいけないのでそれぞれ $\dfrac13$ である. よって, 求める確率は
${}_{5}\mathrm{C}_{3} \times 1 \times \dfrac13 \times \left(\dfrac13\right)^3 = \dfrac{10}{81}$.
(2)
解法を知っている人にはなにも難しくないのだが, 知らないと戸惑うもところ. そういうときは, 個数を減らして考える.
サイコロ $2$ 個とし, 表で考える.
$
\begin{array}{c|cccccc}
最小値 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\
3 & 1 & 2 & 3 & 3 & 3 & 3 \\
4 & 1 & 2 & 3 & 4 & 4 & 4 \\
5 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 5 \\
6 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
\end{array}
$
この表より, 最小値が $2$ になるのは $9$ 通り... なのだが, 数えては意味がない. サイコロ $2$ 個だから $2$ 次元の表にまとめられたのであり, サイコロ $4$ 個のときは $4$ 次元の表にまとめる... なんですか, $4$ 次元の表って... まあ, $4$ 次元の表も作れるのですが...
ということで, 表で数えるのではなく, 計算で求める, という方針で.
表を見れば分かる通り, $6$ は $1 \times 1$ の正方形に, $5$ と $6$ を合わせると $2 \times 2$ の正方形に, $4$ と $5$ と $6$ を合わせると $3 \times 3$ の正方形に, というように並んでいる. これより, $2$ の個数は $5^2-4^2$ 個であることが分かる.
これをサイコロ $4$ 個で考えれば, $5^4-4^4$ 個である.
よって, 求める確率は
$\dfrac{5^4-4^4}{6^4} = \dfrac{(5^2+4^2)(5^2-4^2)}{6^4}$
$= \dfrac{41 \times 9}{2^4 \times 3^4}$
$= \dfrac{41}{2^4 \times 3^2}$
$= \dfrac{41}{144}$.
この分子の計算は, $4^4$ とか $5^4$ はよく出てくるので暗算で問題ないが, 引き算なんて面倒なので（私は）したくない. なので, こういうときは因数分解で計算を簡単に済ませるのが得策である.
(3)
具体的にいくつか例を考えてみる. 題意を満たす例としては,
$(1, 2, 3)$, $(1, 2, 4)$, $(1, 2, 5)$, ... , $(4, 5, 6)$
がある. これを見ていると, $6$ 個の数字の中から $3$ 個を選んでいることが分かるので, 求める確率は
$\dfrac{{}_{6}\mathrm{C}_{3}}{6^3} = \dfrac{5}{54}$.
後半も, 具体的に考えてみる.
$(1, 1, 5)$, $(1, 2, 4)$, $(1, 3, 3)$, ...
ここからは色々と考えつく.
(考え方 1) まず, 一般的な考え方としては, 合計が $7$ なので, $7$ をどう分けるかの問題である. という事なので,
○○○○○○○
のような, $7$ 個の○を分ける. 分ける為には境目を $2$ つ入れればいいのだが, 入れられる候補は $7$ 個の○の間なので $6$ 箇所ある. つまり, $6$ 箇所から $2$ 箇所を選んで境目を入れればいいので, ${}_{6}\mathrm{C}_{2}$ 通りである. よって, 求める確率は
$\dfrac{{}_{6}\mathrm{C}_{2}}{6^3} = \dfrac{5}{72}$.
(考え方 2) これはサイコロを投げるのが $3$ 回だから出来る問題であり, $4$ 回になったらちょっと厳しい解法である. $a+b$ の値が $7$ 未満であれば, $c$ の値は一意に決まる. 例えば, $a+b=5$ であれば $c=2$ である. これより,
$
\begin{array}{ccc}
a+b & & 組み合わせ \\
a+b=2 & \Longrightarrow & 1 \\
a+b=3 & \Longrightarrow & 2 \\
a+b=4 & \Longrightarrow & 3 \\
a+b=5 & \Longrightarrow & 4 \\
a+b=6 & \Longrightarrow & 5
\end{array}
$
であるので, 求める確率は
$\dfrac{1+2+3+4+5}{6^3} = \dfrac{5}{72}$.
(考え方 3) もっと具体的に考えて, 全部数える解法. 題意を満たす組み合わせは,
$(1, 1, 5)$ およびそれを並び替えたもの $\Longrightarrow$ $3$ 通り
$(1, 2, 4)$ およびそれを並び替えたもの $\Longrightarrow$ $3!$ 通り
$(1, 3, 3)$ およびそれを並び替えたもの $\Longrightarrow$ $3$ 通り
$(2, 2, 3)$ およびそれを並び替えたもの $\Longrightarrow$ $3$ 通り
であるので, 求める確率は
$\dfrac{3+3!+3+3}{6^3} = \dfrac{5}{72}$.
(4) 「少なくとも」って言われたら, もちろん余事象を考えましょう. 「少なくとも $2$ 個が同じ」の余事象は「すべて異なる」である. 全て異なる目になるには, $6$ 個の数字から $4$ 個を選んで並べればよいので, 求める確率は
$1-\dfrac{{}_{6}\mathrm{P}_{4}}{6^4} = \dfrac{13}{18}$.
何で問題文で, (2), (3) は「サイコロ」なのに, (4) だけ「さいころ」なのか... だって, 入試問題なので, そのまま書き写しただけですから...
では何故、注文したのか？？答えは簡単です。安かったので。
通常、31,500 円の端末が 17,000 円（税抜、税込みだと 18,700 円）で買えて、更に楽天ポイントで 15,000 ポイント還元になるので、端末料金が実質 3,700 円、という事に。まあ、ポイント付与は約 3 ヶ月後になるのが気になりますが、届き次第、ゲオに持ち込むか、若しくはメルカリか・・・または、誰か使いたい人がいれば、譲ってあげなくもないのですが・・・
今日も、授業で出題した問題。内容は、確率です。
どれも基本となる内容なので、しっかりと理解して欲しいところ。
(1) は千葉工大の, (2) は高知工科大の, (3) は岐阜聖徳学園大の, (4) は明海大の $2019$ 年の入試問題です.
次の問いに答えよ.
(1) $5$ 人で $1$ 回じゃんけんをする. 各人はグー, チョキ, パーをそれぞれ $\dfrac13$ の確率で出すものとする. このとき, ちょうど $2$ 人が勝つ確率を求めよ.
(2) $4$ 個のサイコロを同時に投げるとき, 出る目の最小値が $2$ である確率を求めよ.
(3) サイコロを $3$ 回投げて, 出た目を順に $a$, $b$, $c$ とする. $a<b<c$ となる確率は [ア] であり, $a+b+c=7$ となる確率は [イ] である.
(4) $4$ 個のさいころを同時に投げたとき, 少なくとも $2$ 個のさいころの目が同じになる確率を求めよ.
(1)
勝つ $2$ 人の組み合わせは ${}_{5}\mathrm{C}_{2}$ 通り, 勝敗のつき方は
(グー, グー, チョキ, チョキ, チョキ), (チョキ, チョキ, パー, パー, パー), (パー, パー, グー, グー, グー) の $3$ 通りであるので,
$\dfrac{{}_{5}\mathrm{C}_{2} \times 3}{3^5} = \dfrac{10}{81}$.
(別解)
考え方を変えて, 積事象として考える. $5$ 人ぞれぞれがどの手を出すかは独立である.
勝つ $2$ 人のうち $1$ 人目はどの手を出してもいいので $1$, $2$ 人目は同じ手を出さなくてはいけないので $\dfrac13$, 負ける $3$ 人はそれぞれ負ける手を出さなくてはいけないのでそれぞれ $\dfrac13$ である. よって, 求める確率は
${}_{5}\mathrm{C}_{3} \times 1 \times \dfrac13 \times \left(\dfrac13\right)^3 = \dfrac{10}{81}$.
(2)
解法を知っている人にはなにも難しくないのだが, 知らないと戸惑うもところ. そういうときは, 個数を減らして考える.
サイコロ $2$ 個とし, 表で考える.
$
\begin{array}{c|cccccc}
最小値 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\
3 & 1 & 2 & 3 & 3 & 3 & 3 \\
4 & 1 & 2 & 3 & 4 & 4 & 4 \\
5 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 5 \\
6 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
\end{array}
$
この表より, 最小値が $2$ になるのは $9$ 通り... なのだが, 数えては意味がない. サイコロ $2$ 個だから $2$ 次元の表にまとめられたのであり, サイコロ $4$ 個のときは $4$ 次元の表にまとめる... なんですか, $4$ 次元の表って... まあ, $4$ 次元の表も作れるのですが...
ということで, 表で数えるのではなく, 計算で求める, という方針で.
表を見れば分かる通り, $6$ は $1 \times 1$ の正方形に, $5$ と $6$ を合わせると $2 \times 2$ の正方形に, $4$ と $5$ と $6$ を合わせると $3 \times 3$ の正方形に, というように並んでいる. これより, $2$ の個数は $5^2-4^2$ 個であることが分かる.
これをサイコロ $4$ 個で考えれば, $5^4-4^4$ 個である.
よって, 求める確率は
$\dfrac{5^4-4^4}{6^4} = \dfrac{(5^2+4^2)(5^2-4^2)}{6^4}$
$= \dfrac{41 \times 9}{2^4 \times 3^4}$
$= \dfrac{41}{2^4 \times 3^2}$
$= \dfrac{41}{144}$.
この分子の計算は, $4^4$ とか $5^4$ はよく出てくるので暗算で問題ないが, 引き算なんて面倒なので（私は）したくない. なので, こういうときは因数分解で計算を簡単に済ませるのが得策である.
(3)
具体的にいくつか例を考えてみる. 題意を満たす例としては,
$(1, 2, 3)$, $(1, 2, 4)$, $(1, 2, 5)$, ... , $(4, 5, 6)$
がある. これを見ていると, $6$ 個の数字の中から $3$ 個を選んでいることが分かるので, 求める確率は
$\dfrac{{}_{6}\mathrm{C}_{3}}{6^3} = \dfrac{5}{54}$.
後半も, 具体的に考えてみる.
$(1, 1, 5)$, $(1, 2, 4)$, $(1, 3, 3)$, ...
ここからは色々と考えつく.
(考え方 1) まず, 一般的な考え方としては, 合計が $7$ なので, $7$ をどう分けるかの問題である. という事なので,
○○○○○○○
のような, $7$ 個の○を分ける. 分ける為には境目を $2$ つ入れればいいのだが, 入れられる候補は $7$ 個の○の間なので $6$ 箇所ある. つまり, $6$ 箇所から $2$ 箇所を選んで境目を入れればいいので, ${}_{6}\mathrm{C}_{2}$ 通りである. よって, 求める確率は
$\dfrac{{}_{6}\mathrm{C}_{2}}{6^3} = \dfrac{5}{72}$.
(考え方 2) これはサイコロを投げるのが $3$ 回だから出来る問題であり, $4$ 回になったらちょっと厳しい解法である. $a+b$ の値が $7$ 未満であれば, $c$ の値は一意に決まる. 例えば, $a+b=5$ であれば $c=2$ である. これより,
$
\begin{array}{ccc}
a+b & & 組み合わせ \\
a+b=2 & \Longrightarrow & 1 \\
a+b=3 & \Longrightarrow & 2 \\
a+b=4 & \Longrightarrow & 3 \\
a+b=5 & \Longrightarrow & 4 \\
a+b=6 & \Longrightarrow & 5
\end{array}
$
であるので, 求める確率は
$\dfrac{1+2+3+4+5}{6^3} = \dfrac{5}{72}$.
(考え方 3) もっと具体的に考えて, 全部数える解法. 題意を満たす組み合わせは,
$(1, 1, 5)$ およびそれを並び替えたもの $\Longrightarrow$ $3$ 通り
$(1, 2, 4)$ およびそれを並び替えたもの $\Longrightarrow$ $3!$ 通り
$(1, 3, 3)$ およびそれを並び替えたもの $\Longrightarrow$ $3$ 通り
$(2, 2, 3)$ およびそれを並び替えたもの $\Longrightarrow$ $3$ 通り
であるので, 求める確率は
$\dfrac{3+3!+3+3}{6^3} = \dfrac{5}{72}$.
(4) 「少なくとも」って言われたら, もちろん余事象を考えましょう. 「少なくとも $2$ 個が同じ」の余事象は「すべて異なる」である. 全て異なる目になるには, $6$ 個の数字から $4$ 個を選んで並べればよいので, 求める確率は
$1-\dfrac{{}_{6}\mathrm{P}_{4}}{6^4} = \dfrac{13}{18}$.
何で問題文で, (2), (3) は「サイコロ」なのに, (4) だけ「さいころ」なのか... だって, 入試問題なので, そのまま書き写しただけですから...
授業で出題した問題（週末課題 No.06）
３年生の演習の授業で、Google Classroom を使い始めてもうすぐ２ヶ月になりそうです。基本的に、レポートの提出とその評価くらいしか使っていないのですが、それでも十分に便利です。
２年生でも問題演習がメインの授業があるので、そちらでも使うことにしました。
しかも今回、ここ最近で状況が大きく変わって、生徒全員にメールアドレスが発行されました。
以前も書いたのですが、本校は G Suite for education を使っています。で、 for education の場合、メールアドレスは無制限に発行できるので、生徒全員分を今回、発行してみました。
とはいえ、学校ドメインのメールアドレスを生徒に使わせると、悪用される可能性もありますので・・・
と思って色々と調べていたら、色々と制限をかけることができるようでした。他にも色々と権限を設定できるようだったので、試しに使わせてみよう、と。
そんなわけで、２年生の方は全員のメールアドレスが分かっているので、直接招待を送って参加させることにしました。
それは別にいいのですが・・・メールアドレスを全校生徒分発行された、って事は・・・３年生の方は、各自で Gmailのアドレスを作成させたのに・・・今までやってきたレポートのデータを残しながら、アカウントのアドレスを変更って出来るのでしょうか？？ G Suite のマニュアル、日本語もあるのですが、非常に分かりづらいんですよね・・・
今回は、場合の数の問題。どれも基本といえば基本な問題ばかり。第 1 問の (4) は、ちゃんと状況を理解していれば難しくないはずなのだが、なかなかノーヒントで正解できる生徒は多くなかった。
第 $1$ 問
$8$ 人を, 次のように班分けする分け方は何通りあるか.
(1) A 班に $3$, B 班に $3$ 人, C 班に $2$ 人
(2) $3$ 人, $3$ 人, $2$ 人の $3$ 班
(3) $2$ 人ずつの $4$ 班に分ける
(4) 無人の班がないような $2$ 班
第 $2$ 問
次の図形の辺上を動くとき, 点 A から点 B までの最短距離の道順は何通りあるか.
(1) $1$ 辺の長さが $4$ の正方形の格子線上
(2) $1$ 辺の長さが $2$ の立方体の格子線上
第 1 問
(1) A 班の $3$ 人を選ぶのは ${}_{8}\mathrm{C}_{3}$ 通り, B 班の $3$ 人を選ぶのは ${}_{5}\mathrm{C}_{3}$ 通り, C 班の $2$ 人を選ぶのは ${}_{2}\mathrm{C}_{2}$ 通りであるので,
${}_{8}\mathrm{C}_{3} \times {}_{5}\mathrm{C}_{3} \times {}_{2}\mathrm{C}_{2} = 560$
より $560$ 通り.
(2) (1) のうち, 班の名前を無くすと A, B の $2$ 班が重複しているので,
$\dfrac{560}{2!} = 280$
より $280$ 通り.
(3) (2) と同様に考えると,
$\dfrac{{}_{8}\mathrm{C}_{2} \times {}_{6}\mathrm{C}_{2} \times {}_{6}\mathrm{C}_{2} \times {}_{2}\mathrm{C}_{2}}{4!}=105$
より $105$ 通り.
(4) 各人が A, B の $2$ 班に分かれるので $2^8$ 通り, そのうち, 全員が A 班または B 班にあるのが $2$ 通り, さらに A, B 班の名前を無くすので,
$\dfrac{2^8-2}{2!} = 127$
より $127$ 通り.
第 2 問
(1) A から B への最短距離での移動は, 右へ $4$ 回, 上へ $4$ 回移動すればいいので,
${}_{8}\mathrm{C}_{4} \times {}_{4}\mathrm{C}_{4} = 70$
より $70$ 通り.
(2) A から B への最短距離での移動は, 右へ $2$ 回, 奥へ $2$ 回, 上へ $2$ 回移動すればいいので,
${}_{6}\mathrm{C}_{2} \times {}_{4}\mathrm{C}_{2} \times {}_{2}\mathrm{C}_{2} = 90$
より $90$ 通り.
こうやって問題を出題すると, 別に間違いではないのだが, 気になることがありまして...
第 2 問では
$\dfrac{8!}{4!4!} = 70$
$\dfrac{6!}{2!2!2!} = 90$
と解答している生徒がほとんどなのです.
別に, それが悪いとかどうとかではないのですが, 本質的に同じことである第 1 問の (1) では
$\dfrac{8!}{3!3!2!} = 560$
と解答する人はいないんですよね...
なんででしょうか？？
２年生でも問題演習がメインの授業があるので、そちらでも使うことにしました。
しかも今回、ここ最近で状況が大きく変わって、生徒全員にメールアドレスが発行されました。
以前も書いたのですが、本校は G Suite for education を使っています。で、 for education の場合、メールアドレスは無制限に発行できるので、生徒全員分を今回、発行してみました。
とはいえ、学校ドメインのメールアドレスを生徒に使わせると、悪用される可能性もありますので・・・
と思って色々と調べていたら、色々と制限をかけることができるようでした。他にも色々と権限を設定できるようだったので、試しに使わせてみよう、と。
そんなわけで、２年生の方は全員のメールアドレスが分かっているので、直接招待を送って参加させることにしました。
それは別にいいのですが・・・メールアドレスを全校生徒分発行された、って事は・・・３年生の方は、各自で Gmailのアドレスを作成させたのに・・・今までやってきたレポートのデータを残しながら、アカウントのアドレスを変更って出来るのでしょうか？？ G Suite のマニュアル、日本語もあるのですが、非常に分かりづらいんですよね・・・
今回は、場合の数の問題。どれも基本といえば基本な問題ばかり。第 1 問の (4) は、ちゃんと状況を理解していれば難しくないはずなのだが、なかなかノーヒントで正解できる生徒は多くなかった。
第 $1$ 問
$8$ 人を, 次のように班分けする分け方は何通りあるか.
(1) A 班に $3$, B 班に $3$ 人, C 班に $2$ 人
(2) $3$ 人, $3$ 人, $2$ 人の $3$ 班
(3) $2$ 人ずつの $4$ 班に分ける
(4) 無人の班がないような $2$ 班
第 $2$ 問
次の図形の辺上を動くとき, 点 A から点 B までの最短距離の道順は何通りあるか.
(1) $1$ 辺の長さが $4$ の正方形の格子線上
(2) $1$ 辺の長さが $2$ の立方体の格子線上
第 1 問
(1) A 班の $3$ 人を選ぶのは ${}_{8}\mathrm{C}_{3}$ 通り, B 班の $3$ 人を選ぶのは ${}_{5}\mathrm{C}_{3}$ 通り, C 班の $2$ 人を選ぶのは ${}_{2}\mathrm{C}_{2}$ 通りであるので,
${}_{8}\mathrm{C}_{3} \times {}_{5}\mathrm{C}_{3} \times {}_{2}\mathrm{C}_{2} = 560$
より $560$ 通り.
(2) (1) のうち, 班の名前を無くすと A, B の $2$ 班が重複しているので,
$\dfrac{560}{2!} = 280$
より $280$ 通り.
(3) (2) と同様に考えると,
$\dfrac{{}_{8}\mathrm{C}_{2} \times {}_{6}\mathrm{C}_{2} \times {}_{6}\mathrm{C}_{2} \times {}_{2}\mathrm{C}_{2}}{4!}=105$
より $105$ 通り.
(4) 各人が A, B の $2$ 班に分かれるので $2^8$ 通り, そのうち, 全員が A 班または B 班にあるのが $2$ 通り, さらに A, B 班の名前を無くすので,
$\dfrac{2^8-2}{2!} = 127$
より $127$ 通り.
第 2 問
(1) A から B への最短距離での移動は, 右へ $4$ 回, 上へ $4$ 回移動すればいいので,
${}_{8}\mathrm{C}_{4} \times {}_{4}\mathrm{C}_{4} = 70$
より $70$ 通り.
(2) A から B への最短距離での移動は, 右へ $2$ 回, 奥へ $2$ 回, 上へ $2$ 回移動すればいいので,
${}_{6}\mathrm{C}_{2} \times {}_{4}\mathrm{C}_{2} \times {}_{2}\mathrm{C}_{2} = 90$
より $90$ 通り.
こうやって問題を出題すると, 別に間違いではないのだが, 気になることがありまして...
第 2 問では
$\dfrac{8!}{4!4!} = 70$
$\dfrac{6!}{2!2!2!} = 90$
と解答している生徒がほとんどなのです.
別に, それが悪いとかどうとかではないのですが, 本質的に同じことである第 1 問の (1) では
$\dfrac{8!}{3!3!2!} = 560$
と解答する人はいないんですよね...
なんででしょうか？？
授業で出題した問題（平日課題 No.05）
前回書いた通り、 Yodobashi さんで SIM フリーの iPhone SE を購入し、Rakuten UN-LIMIT に申し込みをしました。
最初に au の携帯電話から、 MNP 予約番号受付窓口の 0077-75470 に電話をかけて、予約番号を発行してもらう・・・のですが、全然つながらない・・・
新型コロナの関係でショップの窓口での受付を減らして、コールセンターへの出勤も減らしているからか、非常に繋がりにくい状況になっていました。電話をかけて、１０分を超えても繋がらない・・・
そんな状態で、問題が発生しました。前回も書いた通り、使っているガラケーは１０年以上前に発売された、 CA004 です。当然もう、バッテリーは限界になっています。そんな状態で、 Bluetooth でヘッドセットを繋いで（保留中に流れる）音楽を聞いていたら、そりゃあバッテリーも切れますよ。
そんなわけで、急遽枕元から電源コードを持ってきて繋いだ・・・のだが、もう既に手遅れ、電源が落ちていました。保留状態で、２０分くらい待ってたのに・・・
改めて電源を入れてからもう一度電話をする。結局、３０分待ってようやく電話が繋がりました。で、本人確認をしてから、 MNP 予約番号発行の担当に繋いぐ為に・・・また、保留音楽が・・・
まあ、今度は５分くらいで繋がりました。で、発行された 10 桁の予約番号を電話越しに聞いて、それをメモする。聞き間違えて、１回書き直す。そんな苦労をしたのに・・・電話の後で届いた C メールに、全部しっかりと書いてあったんですが・・・
そんな苦労（？）も乗り越えて、 Rakuten UN-LIMIT の申し込みも無事に完了しました。ということで、（詳しく分かりませんが）数時間なのか数日なのか、 au （090 から始まる方）の番号が繋がらなくなりますが・・・気にしないでください。
今回は不定方程式の別パターンの問題。ノーヒントで、しかも初見でこれを解けるかといえば恐らく無理なので、穴埋めにして、たいぶ丁寧な誘導をつけての出題。
不定方程式 $3x^2+5xy+2y^2+5x+3y-4=0$ を満たす整数の組 $(x, y)$ をすべて求める.
$3x^2+5xy+2y^2+5x+3y-4$ を因数分解しようとしても, 上手くいかない. そこで, 定数項を調整して, 因数分解することを考える.
(1) $3x^2+5xy+2y^2=(x+y)([ア]x+[イ]y)$ である.
これより, 因数分解をした結果が $(x+y+m)([ア]x+[イ]y+n)$ であるとすると, 展開式の $x$, $y$ の係数より, 連立方程式
$\begin{cases}
[ア]m+n=[ウ] \\
[イ]m+n=[エ]
\end{cases}$
が成り立つ. これを解いて $m$, $n$ の値を求めることで,
$3x^2+5xy+2y^2+5x+3y-4=(x+y+[オ])([ア]x+[イ]y-[カ])-[キ]$
である.
(2) (1) より, 与えられた不定方程式は
$(x+y+[オ])([ア]x+[イ]y-[カ])=[キ]$
$x+y+[オ]=1$
の $4$ パターンが考えられる. それぞれを解いて, $4$ 組の解が得られ, $y$ の値が大きい順に並べると,
$(x, y)=([ク], [ケコ]), ([サ], [シス]), ([セ], [ソタ]), ([チ], [ツテト])$
である.
（何故かシステムの都合上, $4$ パターンの連立方程式がちゃんと表記できなくなったので, $2$ 本の式を並べただけになっている）
因数分解は特に問題ないと思う.
$3x^2+5xy+2y^2 = (x+y)(3x+2y)$
これより,
$(x+y+m)(3x+2y+n) = 3x^2+5xy+2y^2+(3m+n)x+(2m+n)y+mn$
であるので, $x$, $y$ の係数より連立方程式
$3m+n=5$
$2m+n=3$
た成り立つ. これを解いて, $m=2$, $n=-1$ を得る. よって,
$3x^2+5xy+2y^2+5x+3y-4=0$
$3x^2+5xy+2y^2+5x+3y-2=2$
$(x+y+2)(3x+2y-1)=2$
である. この右辺の $2$ は素数であるので,
$x+y+2=1$
$3x+2y-1=2$
$x+y+2=2$
$3x+2y-1=1$
$x+y+2=-1$
$3x+2y-1=-2$
$x+y+2=-2$
$3x+2y-1=-1$
の $4$ パターンがあり得る.
これらそれぞれを解くと,
$(x, y)=(5, -6)$, $(2, -2)$, $(5, -8)$, $(8, -12)$
であるので, $y$ の値が大きい順に並べると
$(x, y)=(2, -2)$, $(5, -6)$, $(5, -8)$, $(8, -12)$
である.
最初に au の携帯電話から、 MNP 予約番号受付窓口の 0077-75470 に電話をかけて、予約番号を発行してもらう・・・のですが、全然つながらない・・・
新型コロナの関係でショップの窓口での受付を減らして、コールセンターへの出勤も減らしているからか、非常に繋がりにくい状況になっていました。電話をかけて、１０分を超えても繋がらない・・・
そんな状態で、問題が発生しました。前回も書いた通り、使っているガラケーは１０年以上前に発売された、 CA004 です。当然もう、バッテリーは限界になっています。そんな状態で、 Bluetooth でヘッドセットを繋いで（保留中に流れる）音楽を聞いていたら、そりゃあバッテリーも切れますよ。
そんなわけで、急遽枕元から電源コードを持ってきて繋いだ・・・のだが、もう既に手遅れ、電源が落ちていました。保留状態で、２０分くらい待ってたのに・・・
改めて電源を入れてからもう一度電話をする。結局、３０分待ってようやく電話が繋がりました。で、本人確認をしてから、 MNP 予約番号発行の担当に繋いぐ為に・・・また、保留音楽が・・・
まあ、今度は５分くらいで繋がりました。で、発行された 10 桁の予約番号を電話越しに聞いて、それをメモする。聞き間違えて、１回書き直す。そんな苦労をしたのに・・・電話の後で届いた C メールに、全部しっかりと書いてあったんですが・・・
そんな苦労（？）も乗り越えて、 Rakuten UN-LIMIT の申し込みも無事に完了しました。ということで、（詳しく分かりませんが）数時間なのか数日なのか、 au （090 から始まる方）の番号が繋がらなくなりますが・・・気にしないでください。
今回は不定方程式の別パターンの問題。ノーヒントで、しかも初見でこれを解けるかといえば恐らく無理なので、穴埋めにして、たいぶ丁寧な誘導をつけての出題。
不定方程式 $3x^2+5xy+2y^2+5x+3y-4=0$ を満たす整数の組 $(x, y)$ をすべて求める.
$3x^2+5xy+2y^2+5x+3y-4$ を因数分解しようとしても, 上手くいかない. そこで, 定数項を調整して, 因数分解することを考える.
(1) $3x^2+5xy+2y^2=(x+y)([ア]x+[イ]y)$ である.
これより, 因数分解をした結果が $(x+y+m)([ア]x+[イ]y+n)$ であるとすると, 展開式の $x$, $y$ の係数より, 連立方程式
$\begin{cases}
[ア]m+n=[ウ] \\
[イ]m+n=[エ]
\end{cases}$
が成り立つ. これを解いて $m$, $n$ の値を求めることで,
$3x^2+5xy+2y^2+5x+3y-4=(x+y+[オ])([ア]x+[イ]y-[カ])-[キ]$
である.
(2) (1) より, 与えられた不定方程式は
$(x+y+[オ])([ア]x+[イ]y-[カ])=[キ]$
である. $[キ]$ は素数であるので,
$x+y+[オ]=1$
$[ア]x+[イ]y-[カ]=[キ]$
$x+y+[オ]=[キ]$
$[ア]x+[イ]y-[カ]=1$
$x+y+[オ]=-1$
$[ア]x+[イ]y-[カ]=-[キ]$
$x+y+[オ]=-[キ]$
$[ア]x+[イ]y-[カ]=-1$
の $4$ パターンが考えられる. それぞれを解いて, $4$ 組の解が得られ, $y$ の値が大きい順に並べると,
$(x, y)=([ク], [ケコ]), ([サ], [シス]), ([セ], [ソタ]), ([チ], [ツテト])$
である.
（何故かシステムの都合上, $4$ パターンの連立方程式がちゃんと表記できなくなったので, $2$ 本の式を並べただけになっている）
因数分解は特に問題ないと思う.
$3x^2+5xy+2y^2 = (x+y)(3x+2y)$
これより,
$(x+y+m)(3x+2y+n) = 3x^2+5xy+2y^2+(3m+n)x+(2m+n)y+mn$
であるので, $x$, $y$ の係数より連立方程式
$3m+n=5$
$2m+n=3$
た成り立つ. これを解いて, $m=2$, $n=-1$ を得る. よって,
$3x^2+5xy+2y^2+5x+3y-4=0$
$3x^2+5xy+2y^2+5x+3y-2=2$
$(x+y+2)(3x+2y-1)=2$
である. この右辺の $2$ は素数であるので,
$x+y+2=1$
$3x+2y-1=2$
$x+y+2=2$
$3x+2y-1=1$
$x+y+2=-1$
$3x+2y-1=-2$
$x+y+2=-2$
$3x+2y-1=-1$
の $4$ パターンがあり得る.
これらそれぞれを解くと,
$(x, y)=(5, -6)$, $(2, -2)$, $(5, -8)$, $(8, -12)$
であるので, $y$ の値が大きい順に並べると
$(x, y)=(2, -2)$, $(5, -6)$, $(5, -8)$, $(8, -12)$
である.
授業で出題した問題（週末課題 No.05）
先週、 iPhone SE(2020) を注文しました。
またぁ、直ぐにそんな新しいモノを買ってる・・・
なんて思われそうですが、そもそも iPhone の新品を買うのは初めてです。
約 4 年前、リーフを購入した際に、NissanConnect EVアプリを使うためにはスマホが必要になりました。でも、当時使っていたのは、２台ともガラケーでした。
で、どっちかをスマホにしようかと思ったのですが・・当時使っていた au にしても Y!mobile にしっても、スマホにすると月額料金がとっても高くなってしまう。そんなわけで、色々と調べたり、周囲に相談した結果、 mineo にしてみるのが良さそう、って事で・・・
ガラケー２台はそのまま保持し、 mineo のデータ専用プランで、 iPhone を使おう、と。
そんなわけで、次に iPhone 探しを。目的とするアプリは前述の EV アプリのみなので、まあ何でもいいや、という考えが基準ですので・・・オフハウスで、 iPhone5c を購入しました。mineo の SIM が届いてから、設定は自分でしなくてはなりませんでしたが、それでも問題なく使っていました。
それから１年半後、困ったことが起こりました。
NPO の活動で埼玉県に行く前日に、 iPhone が SIM カードを認識しなくなりました。行った先で、 LINE や Facebook などの連絡手段が使えない、という困った事態に。そんなわけで、仕方ないので帰ってきてからオフハウス巡りを。３軒廻ったところで、 iPhone 6 を発見、購入。 SIM カードを挿し替えて、無事に復活しました。因みに、 LINE 等の引き継ぎも、端末事態が壊れたわけではなかったので、無事に出来ました。
そんな中古で購入した 2 台目の iPhone も、使い始めて 2 年 3 ヶ月を越えました。まあ、まだまだ問題なく使えているのですが、何で iPhone を新しく購入したのかと言うと・・・
au のガラケーが、そろそろ限界を迎えそうで・・・
今使っている au のガラケーは、 2009 年発売の CA004 です。つまり、もう使い始めて 10 年を超えているのです。ここ 1 年くらいはバッテリーの持ちが悪くなってきたのですが、最近はそれ以上に気になるのが、気がついたら起動画面になっている・・・
で、機種変を考えて何度か au ショップに行ったのですが、どの機種に変更しても、月額料金が 5,000 円超えになってしまうという・・・
ところが、 iPhone SE(2020) が発売されることになり、端末料金が格安に。これなら、あまりお金をかけずに機種変出来るのではないか、ということで・・・
で、色々と調べたりしてみました。前提として、 au で使っている番号をそのまま使い続けます。
プラン 1
au で iPhone SE に機種変をする。現在、ガラケーを使っていることもあり、 2022 年に 3G の電波が停波してしまうので、機種変を促すための割引もある。だが、それにしても機種変後の月額料金が高い・・・
プラン 2
たまに家電量販店でやっている、ガラケーからの MNP での割引キャンペーンを利用する。と言っても、何もやっていないときだったので、これは無理でした。
そんなとき、新しい条件が追加されました。そう、 Rakuten UN-LIMIT です。もちろん、田舎に住んでいるので、楽天回線なんて縁もありませんが、それでも au の回線を 1 Mbps で使い放題というのは美味しいですよね。しかも、 300 万名対象で、 1 年間無料になる、ということ。 MNP で、楽天に乗り換えちゃいましょう。
プラン 3
au で iPhone SE に機種変し、 SIM ロック解除し、楽天に MNP をする。次のプラン 4 と比較してもこれがだいぶ安く済みそうだったのですが、問題が 1 つありまして・・・ au ショップで聞いたら、端末が取り寄せで、どれくらいかかるかも分からない、と。
プラン 4
もう仕方ないので SIM フリーの iPhone SE を購入し、ガラケーの番号を MNP して楽天の SIM を iPhone SE で使う。
そんなわけで、困ったときの Yodobashi さんで、 SIM フリー版を購入しました。お金が心配だったので、全額をポイントで支払いましたが。
今回も授業で出題した、週末課題 No.05 の解説。ユークリッドの互除法を使う問題ですが、本質をちゃんと理解しているのかを問う問題。
次の問に答えよ.
(1) $4403$ と $5291$ の最大公約数を求めよ.
(2) $n$ を自然数とする. $n^3+n^2+3$ と $n^2-1$ の最大公約数として考えられる数をすべて求めよ.
(3) $a$, $b$ を互いに素な整数とする. このとき, $\dfrac{4a+9b}{3a+7b}$ が既約分数であることを示せ.
(1) は普通にユークリッドの互除法を使う問題.
$5291 = 4403 \times 1 + 888$
$4403 = 888 \times 4 + 851$
$888 = 851 \times 1 + 37$
$851 = 37 \times 23$
より, 最大公約数は $37$.
特に必要ではないが, 週末課題 No.04 の解説でも書いた通り, 余りをマイナスまで含めて半分の範囲で抑える, 高速ユークリッドの互除法を使うこともできる.
$5291 = 4403 \times 1 + 888$
$4403 = 888 \times 5 - 37$
$888 = 37 \times 24$
より, 最大公約数は $37$.
(2) の前に, ユークリッドの互除法とは何をしているのかを復習する.
Theorem.1
任意の整数 $a$, $b$ に対し, $\gcd(a, b)=\gcd(b, b-a)$ が成り立つ.
(Proof)
$\gcd(a, b)=d_1$ とすると, 互いに素な整数 $a_1$, $b_1$ が存在し,
$a=a_1d_1$, $b=b_1d_1$
と表すことができる. これより,
$b-a = b_1d_1-a_1d_1 = d_1(b_1-a_1)$
が成り立つ. $b_1-a_1$ は整数なので, $\gcd(b, b-a)$ は $d_1$ の倍数である.
$\gcd(b, b-a)=d_2$ とすると, 互いに素な整数 $a_2$, $b_2$ が存在し,
$b=b_2d_2$, $b-a=a_2d_2$
と表すことができる. これより,
$a = b-(b-a) = b_2d_2-a_2d_2 = d_2(b_2-a_2)$
が成り立つ. $b_2-a_2$ は整数なので, $\gcd(a, b)$ は $d_2$ の倍数である.
以上より, $\gcd(a, b)$ と $\gcd(b, b-a)$ は互いに倍数になっているので, 等しい${}_{\square}$
この Theorem.1 から即座に得られるものとして, 次の Corollary がある.
Corollary.2
任意の整数 $a$, $b$ に対し, $a$ を $b$ で割ったときの商を $q$, 余りを $r$ ($0\le r<b$) とすると, $\gcd(a, b)=\gcd(b, r)$ が成り立つ.
(Proof)
定義より $\gcd(x, y)=\gcd(y, x)$, $\gcd(x, y)=\gcd(x, -y)$ であることは明らかであろう. これと Theorem.1 より,
$\gcd(x, y)=\gcd(y, x)=\gcd(x, x-y)=\gcd(x, y-x)$
が成り立つ. これを繰り返し用いることで,
$\gcd(a, b) = \gcd(b, a)$
$=\gcd(b, a-b)$
$=\gcd(b, a-2b)$
$=\cdots$
$=\gcd(b, a-bq)$
$=\gcd(b, r)$
より成り立つ${}_{\square}$
この Corollary.2 を繰り返し用いて,
$\gcd(5291, 4403) = \gcd(4403, 888) = \gcd(888, 851) = \gcd(851, 37)$
であり, $852$ は $37$ の倍数なので $\gcd(851, 37)=37$ であることが分かる. よって, $\gcd(5291, 4403)=37$ である.
というのが (1) の解答であり, このようにして最大公約数を求める algorithm が, ユークリッドの互除法である.
で, ようやく (2) の解説に.
$n^3+n^2+3 = (n^2-1)(n+1)+(n+4)$
$n^2-1 = (n+4)(n-4)+15$
であるので, 最大公約数は $15$... ではない.
前述の通り, Corollary.2 を用いることで, この計算で分かったことは
$\gcd(n^3+n^2+3, n^2-1) = \gcd(n+4, 15)$
である, ということ.
$n+4$ と $15$ の最大公約数, ということは, $15$ の約数なので, $1$, $3$, $5$, $15$ の $4$ つである... というのも, 答えは合っているが, 解答としては不十分.
ここまでの議論では, 必要条件を求めただけで, 十分条件は分かっていない.
必要条件・十分条件とか出てくると, もうわけが分からなくなる人も多いが,
この計算から分かったことは, 最大公約数は $15$ の約数である必要がある, ということ.
例えば, $\gcd(3n-1, 15)$ となった場合, この最大公約数はいくつか.
$15$ の約数である必要があるが, 前述の $4$ つすべてがなるかというと, そうではない.
$
\begin{array}{c|c|c}
n & 3n-1 & \gcd(3n-1, 15) \\
\hline
1 & 2 & 1 \\
2 & 5 & 5 \\
3 & 8 & 1 \\
4 & 11 & 1 \\
5 & 14 & 1
\end{array}
$
より, 最大公約数として取りうる値は $1$, $5$ である.
というように, 候補の値がすべて最大公約数になるかを確認する, 即ち十分であるかを確認する必要がある.
実際, $n=3$, $2$, $1$, $11$ のとき,
$\gcd(n+4, 15) = 1$, $3$, $5$, $15$
であるので, 最大公約数として考えられる数は $1$, $3$, $5$, $15$ である.
まあ, $n$ の係数が $1$ であることを指摘すれば, 具体的に考える必要もないのだが...
ちなみに, 数学 IA までしかやってないので整式の割り算が分からない, という場合でも,
Corollary.2 ではなく Theorem.1 を用いることで同様の結果を得ることができる.
$(n^3+n^2+3)-n(n^2-1)=n^2+n+3$
$\Longrightarrow \gcd(n^3+n^2+3, n^2-1) = \gcd(n^2-1, n^2+n+3)$
$(n^2+n+3)-(n^2-1)=n+4$
$\Longrightarrow \gcd(n^2+n+3, n^2-1) = \gcd(n^2-1, n+4)$
$(n^2-1)-n(n+4)=-4n-1$
$\Longrightarrow \gcd(n^2-1, n+4) = \gcd(n+4, -4n-1)$
$(-4n-1)+4(n+4)=15$
$\Longrightarrow \gcd(-4n-1, n+4) = \gcd(n+4, 15)$
(3) 「既約分数である $\iff$ 分子と分母の最大公約数が $1$」
であることが分かっているかどうかの問題でしょう.
あとは, (2) でも用いた内容になりますね.
今回は Corollary.2 というよりは Theorem.1 の方が分かりやすいかも知れません.
(Proof)
$\gcd(4a+9b, 3a+7b)=\gcd(3a+7b, a+2b)=\gcd(a+2b, b)=\gcd(b, a)$
であり, 仮定より
$\gcd(a, b)=1$
であるので $\gcd(4a+9b, 3a+7b)=1$, 即ち $\dfrac{4a+9b}{3a+7b}$ は既約分数である${}_{\square}$
またぁ、直ぐにそんな新しいモノを買ってる・・・
なんて思われそうですが、そもそも iPhone の新品を買うのは初めてです。
約 4 年前、リーフを購入した際に、NissanConnect EVアプリを使うためにはスマホが必要になりました。でも、当時使っていたのは、２台ともガラケーでした。
で、どっちかをスマホにしようかと思ったのですが・・当時使っていた au にしても Y!mobile にしっても、スマホにすると月額料金がとっても高くなってしまう。そんなわけで、色々と調べたり、周囲に相談した結果、 mineo にしてみるのが良さそう、って事で・・・
ガラケー２台はそのまま保持し、 mineo のデータ専用プランで、 iPhone を使おう、と。
そんなわけで、次に iPhone 探しを。目的とするアプリは前述の EV アプリのみなので、まあ何でもいいや、という考えが基準ですので・・・オフハウスで、 iPhone5c を購入しました。mineo の SIM が届いてから、設定は自分でしなくてはなりませんでしたが、それでも問題なく使っていました。
それから１年半後、困ったことが起こりました。
NPO の活動で埼玉県に行く前日に、 iPhone が SIM カードを認識しなくなりました。行った先で、 LINE や Facebook などの連絡手段が使えない、という困った事態に。そんなわけで、仕方ないので帰ってきてからオフハウス巡りを。３軒廻ったところで、 iPhone 6 を発見、購入。 SIM カードを挿し替えて、無事に復活しました。因みに、 LINE 等の引き継ぎも、端末事態が壊れたわけではなかったので、無事に出来ました。
そんな中古で購入した 2 台目の iPhone も、使い始めて 2 年 3 ヶ月を越えました。まあ、まだまだ問題なく使えているのですが、何で iPhone を新しく購入したのかと言うと・・・
au のガラケーが、そろそろ限界を迎えそうで・・・
今使っている au のガラケーは、 2009 年発売の CA004 です。つまり、もう使い始めて 10 年を超えているのです。ここ 1 年くらいはバッテリーの持ちが悪くなってきたのですが、最近はそれ以上に気になるのが、気がついたら起動画面になっている・・・
で、機種変を考えて何度か au ショップに行ったのですが、どの機種に変更しても、月額料金が 5,000 円超えになってしまうという・・・
ところが、 iPhone SE(2020) が発売されることになり、端末料金が格安に。これなら、あまりお金をかけずに機種変出来るのではないか、ということで・・・
で、色々と調べたりしてみました。前提として、 au で使っている番号をそのまま使い続けます。
プラン 1
au で iPhone SE に機種変をする。現在、ガラケーを使っていることもあり、 2022 年に 3G の電波が停波してしまうので、機種変を促すための割引もある。だが、それにしても機種変後の月額料金が高い・・・
プラン 2
たまに家電量販店でやっている、ガラケーからの MNP での割引キャンペーンを利用する。と言っても、何もやっていないときだったので、これは無理でした。
そんなとき、新しい条件が追加されました。そう、 Rakuten UN-LIMIT です。もちろん、田舎に住んでいるので、楽天回線なんて縁もありませんが、それでも au の回線を 1 Mbps で使い放題というのは美味しいですよね。しかも、 300 万名対象で、 1 年間無料になる、ということ。 MNP で、楽天に乗り換えちゃいましょう。
プラン 3
au で iPhone SE に機種変し、 SIM ロック解除し、楽天に MNP をする。次のプラン 4 と比較してもこれがだいぶ安く済みそうだったのですが、問題が 1 つありまして・・・ au ショップで聞いたら、端末が取り寄せで、どれくらいかかるかも分からない、と。
プラン 4
もう仕方ないので SIM フリーの iPhone SE を購入し、ガラケーの番号を MNP して楽天の SIM を iPhone SE で使う。
そんなわけで、困ったときの Yodobashi さんで、 SIM フリー版を購入しました。お金が心配だったので、全額をポイントで支払いましたが。
今回も授業で出題した、週末課題 No.05 の解説。ユークリッドの互除法を使う問題ですが、本質をちゃんと理解しているのかを問う問題。
次の問に答えよ.
(1) $4403$ と $5291$ の最大公約数を求めよ.
(2) $n$ を自然数とする. $n^3+n^2+3$ と $n^2-1$ の最大公約数として考えられる数をすべて求めよ.
(3) $a$, $b$ を互いに素な整数とする. このとき, $\dfrac{4a+9b}{3a+7b}$ が既約分数であることを示せ.
(1) は普通にユークリッドの互除法を使う問題.
$5291 = 4403 \times 1 + 888$
$4403 = 888 \times 4 + 851$
$888 = 851 \times 1 + 37$
$851 = 37 \times 23$
より, 最大公約数は $37$.
特に必要ではないが, 週末課題 No.04 の解説でも書いた通り, 余りをマイナスまで含めて半分の範囲で抑える, 高速ユークリッドの互除法を使うこともできる.
$5291 = 4403 \times 1 + 888$
$4403 = 888 \times 5 - 37$
$888 = 37 \times 24$
より, 最大公約数は $37$.
(2) の前に, ユークリッドの互除法とは何をしているのかを復習する.
Theorem.1
任意の整数 $a$, $b$ に対し, $\gcd(a, b)=\gcd(b, b-a)$ が成り立つ.
(Proof)
$\gcd(a, b)=d_1$ とすると, 互いに素な整数 $a_1$, $b_1$ が存在し,
$a=a_1d_1$, $b=b_1d_1$
と表すことができる. これより,
$b-a = b_1d_1-a_1d_1 = d_1(b_1-a_1)$
が成り立つ. $b_1-a_1$ は整数なので, $\gcd(b, b-a)$ は $d_1$ の倍数である.
$\gcd(b, b-a)=d_2$ とすると, 互いに素な整数 $a_2$, $b_2$ が存在し,
$b=b_2d_2$, $b-a=a_2d_2$
と表すことができる. これより,
$a = b-(b-a) = b_2d_2-a_2d_2 = d_2(b_2-a_2)$
が成り立つ. $b_2-a_2$ は整数なので, $\gcd(a, b)$ は $d_2$ の倍数である.
以上より, $\gcd(a, b)$ と $\gcd(b, b-a)$ は互いに倍数になっているので, 等しい${}_{\square}$
この Theorem.1 から即座に得られるものとして, 次の Corollary がある.
Corollary.2
任意の整数 $a$, $b$ に対し, $a$ を $b$ で割ったときの商を $q$, 余りを $r$ ($0\le r<b$) とすると, $\gcd(a, b)=\gcd(b, r)$ が成り立つ.
(Proof)
定義より $\gcd(x, y)=\gcd(y, x)$, $\gcd(x, y)=\gcd(x, -y)$ であることは明らかであろう. これと Theorem.1 より,
$\gcd(x, y)=\gcd(y, x)=\gcd(x, x-y)=\gcd(x, y-x)$
が成り立つ. これを繰り返し用いることで,
$\gcd(a, b) = \gcd(b, a)$
$=\gcd(b, a-b)$
$=\gcd(b, a-2b)$
$=\cdots$
$=\gcd(b, a-bq)$
$=\gcd(b, r)$
より成り立つ${}_{\square}$
この Corollary.2 を繰り返し用いて,
$\gcd(5291, 4403) = \gcd(4403, 888) = \gcd(888, 851) = \gcd(851, 37)$
であり, $852$ は $37$ の倍数なので $\gcd(851, 37)=37$ であることが分かる. よって, $\gcd(5291, 4403)=37$ である.
というのが (1) の解答であり, このようにして最大公約数を求める algorithm が, ユークリッドの互除法である.
で, ようやく (2) の解説に.
$n^3+n^2+3 = (n^2-1)(n+1)+(n+4)$
$n^2-1 = (n+4)(n-4)+15$
であるので, 最大公約数は $15$... ではない.
前述の通り, Corollary.2 を用いることで, この計算で分かったことは
$\gcd(n^3+n^2+3, n^2-1) = \gcd(n+4, 15)$
である, ということ.
$n+4$ と $15$ の最大公約数, ということは, $15$ の約数なので, $1$, $3$, $5$, $15$ の $4$ つである... というのも, 答えは合っているが, 解答としては不十分.
ここまでの議論では, 必要条件を求めただけで, 十分条件は分かっていない.
必要条件・十分条件とか出てくると, もうわけが分からなくなる人も多いが,
この計算から分かったことは, 最大公約数は $15$ の約数である必要がある, ということ.
例えば, $\gcd(3n-1, 15)$ となった場合, この最大公約数はいくつか.
$15$ の約数である必要があるが, 前述の $4$ つすべてがなるかというと, そうではない.
$
\begin{array}{c|c|c}
n & 3n-1 & \gcd(3n-1, 15) \\
\hline
1 & 2 & 1 \\
2 & 5 & 5 \\
3 & 8 & 1 \\
4 & 11 & 1 \\
5 & 14 & 1
\end{array}
$
より, 最大公約数として取りうる値は $1$, $5$ である.
というように, 候補の値がすべて最大公約数になるかを確認する, 即ち十分であるかを確認する必要がある.
実際, $n=3$, $2$, $1$, $11$ のとき,
$\gcd(n+4, 15) = 1$, $3$, $5$, $15$
であるので, 最大公約数として考えられる数は $1$, $3$, $5$, $15$ である.
まあ, $n$ の係数が $1$ であることを指摘すれば, 具体的に考える必要もないのだが...
ちなみに, 数学 IA までしかやってないので整式の割り算が分からない, という場合でも,
Corollary.2 ではなく Theorem.1 を用いることで同様の結果を得ることができる.
$(n^3+n^2+3)-n(n^2-1)=n^2+n+3$
$\Longrightarrow \gcd(n^3+n^2+3, n^2-1) = \gcd(n^2-1, n^2+n+3)$
$(n^2+n+3)-(n^2-1)=n+4$
$\Longrightarrow \gcd(n^2+n+3, n^2-1) = \gcd(n^2-1, n+4)$
$(n^2-1)-n(n+4)=-4n-1$
$\Longrightarrow \gcd(n^2-1, n+4) = \gcd(n+4, -4n-1)$
$(-4n-1)+4(n+4)=15$
$\Longrightarrow \gcd(-4n-1, n+4) = \gcd(n+4, 15)$
(3) 「既約分数である $\iff$ 分子と分母の最大公約数が $1$」
であることが分かっているかどうかの問題でしょう.
あとは, (2) でも用いた内容になりますね.
今回は Corollary.2 というよりは Theorem.1 の方が分かりやすいかも知れません.
(Proof)
$\gcd(4a+9b, 3a+7b)=\gcd(3a+7b, a+2b)=\gcd(a+2b, b)=\gcd(b, a)$
であり, 仮定より
$\gcd(a, b)=1$
であるので $\gcd(4a+9b, 3a+7b)=1$, 即ち $\dfrac{4a+9b}{3a+7b}$ は既約分数である${}_{\square}$
授業で出題した問題（平日課題 No.04）
今週あった学年別の登校日が無事に終わり、来週からは授業が行われることに。とはいえ、世間で流行っている分散登校なので、授業がない日もあるんですよね。
授業準備も対して進んでないのに、授業までの課題を更に出したり、休み明けに配布をするスタディサプリのテキストをクラス分の仕分けをしたり、なんだかんだで昨日の金曜日が、１週間で一番しんどかった・・・
そして再び週末。
外出自粛のため、引き篭もっているこの土日。
引き籠もって何をしているのかと言うと・・・
最近、YouTube で RTA 動画を見ています。大学生とか大学院生のときには TAS 動画にはまっていたのですが、最近は人間が実際に挑戦している RTA を見ています。
ちなみに、TAS とか RTA とか、何のことか分からない人もいると思いますが、TAS とは Tool-Assisted Speedrun の略で、ゲームのエミュレータのコマ送りプレイとかどこでもセーブとかを駆使して、どれだけ早くエンディング画面までたどり着けるかを競う競技です。
それに対して RTA とは、Real Time Attack の事で、（録画環境等の関係でエミュレータを使うが）人間が実際にプレイをしてエンディングを目指すという競技です。
私が最初に TAS と出会ったのは、たぶんこの動画。
2013/11/20 更新 Playtime:11:03.95
そこから進歩していき、現在の世界記録はこっち。
2019/03/16 更新 Playtime:10:24.34
別部門として、笛なしの最速もあります。
2015/12/21 更新 Playtime:46:20:3
そして、それ以上に感動したのが、Super Mario 64 の TAS 動画。
2005/11/21 更新 Playtime:16:26.77
今では RTA の方が早い方法を使っているような、古典的な手法が満載の TAS です。
それから、 SideBLJ が発見され、 16 Star から 1 Star に更新されたのがコレ。
2007/08/10 更新 Playtime:06:47.27
そして、更には 0 Star でクリアし始めて・・・
2007/12/07 更新 Playtime:05:47.37
今では、最初のクッパステージまでも飛ばし、更には BLJ で速度を上げすぎてしまい、
画面に映らないような速度で移動してしまうという・・・
2016/11/24 更新 Playtime:04:21.3
それとは別部門で、 120 Stars もありますが、こっちはなかなか更新されませんが・・・
2012/12/13 更新 Playtime:1:20:41.52
あとは、やはり SFC の同発ソフトとしてお馴染みの Super MARIO World でしょう。
2004/06/20 更新 Playtime:11:05.7
ここからバグ技が多数発見され、通称 wing に Bosskill、Orb と、バグだらけのヨースター島攻略・・・
2020/03/26 更新 Playtime:09:54.35
エンディングを見れればなんでもいい、って事で、究極にはヨッシーの挙動を利用して、メモリ操作をして突然のエンディング画面にしてしまう・・・
2019/07/04 更新 Playtime:00:41.68
もう、完全に無理やり変な編集をした動画にしか見えない・・・
一応、96 exits もあります。
2013/02/07 更新 Playtime:1:194:37.63
ちょっと、 TAS 動画だけでもういっぱいなので、 RTA 動画は次の機会に。
（忘れてなければ、の話なのですが・・・）
今日の問題は、またもや授業で出題した問題。
平日課題 No.04 は、前回（平日課題 No.03）の続き、というかもう１問追加した三角形の面積の公式。三角比を使えばあっという間に出来るので、三角比の復習のために。
$\triangle\mathrm{ABC}$ の面積を $S$ とすると,
$S=\dfrac{a^2\sin B\sin C}{2\sin(B+C)}$
である.
(Proof)
三角形の内角の和より
$A+B+C=180^\circ$
$B+C=180^\circ-A$
であるので,
$\sin(B+C)=\sin(180^\circ-A)=\sin A$
である.
また, 正弦定理より
$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$
であるので,
$b=\dfrac{a\sin B}{\sin A}$, $c=\dfrac{a\sin C}{\sin A}$
である.
以上より,
$S=\dfrac12bc\sin A$
$= \dfrac12 \times \dfrac{a\sin B}{\sin A} \times \dfrac{a\sin C}{\sin A} \times \sin A$
$= \dfrac{a^2\sin B\sin C}{2\sin A}$
$= \dfrac{a^2\sin B\sin C}{2\sin(B+C)}$
より成り立つ${}_{\square}$
授業準備も対して進んでないのに、授業までの課題を更に出したり、休み明けに配布をするスタディサプリのテキストをクラス分の仕分けをしたり、なんだかんだで昨日の金曜日が、１週間で一番しんどかった・・・
そして再び週末。
外出自粛のため、引き篭もっているこの土日。
引き籠もって何をしているのかと言うと・・・
最近、YouTube で RTA 動画を見ています。大学生とか大学院生のときには TAS 動画にはまっていたのですが、最近は人間が実際に挑戦している RTA を見ています。
ちなみに、TAS とか RTA とか、何のことか分からない人もいると思いますが、TAS とは Tool-Assisted Speedrun の略で、ゲームのエミュレータのコマ送りプレイとかどこでもセーブとかを駆使して、どれだけ早くエンディング画面までたどり着けるかを競う競技です。
それに対して RTA とは、Real Time Attack の事で、（録画環境等の関係でエミュレータを使うが）人間が実際にプレイをしてエンディングを目指すという競技です。
私が最初に TAS と出会ったのは、たぶんこの動画。
2013/11/20 更新 Playtime:11:03.95
そこから進歩していき、現在の世界記録はこっち。
2019/03/16 更新 Playtime:10:24.34
別部門として、笛なしの最速もあります。
2015/12/21 更新 Playtime:46:20:3
そして、それ以上に感動したのが、Super Mario 64 の TAS 動画。
2005/11/21 更新 Playtime:16:26.77
今では RTA の方が早い方法を使っているような、古典的な手法が満載の TAS です。
それから、 SideBLJ が発見され、 16 Star から 1 Star に更新されたのがコレ。
2007/08/10 更新 Playtime:06:47.27
そして、更には 0 Star でクリアし始めて・・・
2007/12/07 更新 Playtime:05:47.37
今では、最初のクッパステージまでも飛ばし、更には BLJ で速度を上げすぎてしまい、
画面に映らないような速度で移動してしまうという・・・
2016/11/24 更新 Playtime:04:21.3
それとは別部門で、 120 Stars もありますが、こっちはなかなか更新されませんが・・・
2012/12/13 更新 Playtime:1:20:41.52
あとは、やはり SFC の同発ソフトとしてお馴染みの Super MARIO World でしょう。
2004/06/20 更新 Playtime:11:05.7
ここからバグ技が多数発見され、通称 wing に Bosskill、Orb と、バグだらけのヨースター島攻略・・・
2020/03/26 更新 Playtime:09:54.35
エンディングを見れればなんでもいい、って事で、究極にはヨッシーの挙動を利用して、メモリ操作をして突然のエンディング画面にしてしまう・・・
2019/07/04 更新 Playtime:00:41.68
もう、完全に無理やり変な編集をした動画にしか見えない・・・
一応、96 exits もあります。
2013/02/07 更新 Playtime:1:194:37.63
ちょっと、 TAS 動画だけでもういっぱいなので、 RTA 動画は次の機会に。
（忘れてなければ、の話なのですが・・・）
今日の問題は、またもや授業で出題した問題。
平日課題 No.04 は、前回（平日課題 No.03）の続き、というかもう１問追加した三角形の面積の公式。三角比を使えばあっという間に出来るので、三角比の復習のために。
$\triangle\mathrm{ABC}$ の面積を $S$ とすると,
$S=\dfrac{a^2\sin B\sin C}{2\sin(B+C)}$
である.
(Proof)
三角形の内角の和より
$A+B+C=180^\circ$
$B+C=180^\circ-A$
であるので,
$\sin(B+C)=\sin(180^\circ-A)=\sin A$
である.
また, 正弦定理より
$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$
であるので,
$b=\dfrac{a\sin B}{\sin A}$, $c=\dfrac{a\sin C}{\sin A}$
である.
以上より,
$S=\dfrac12bc\sin A$
$= \dfrac12 \times \dfrac{a\sin B}{\sin A} \times \dfrac{a\sin C}{\sin A} \times \sin A$
$= \dfrac{a^2\sin B\sin C}{2\sin A}$
$= \dfrac{a^2\sin B\sin C}{2\sin(B+C)}$
より成り立つ${}_{\square}$
授業で出題した問題（週末課題 No.04）
大学への数学、毎月買って読んでるのですが、この休校・在宅勤務期間が続いていたので、２０２０年０５月号を買い忘れていました。
そんな事に気がついたのが一昨日だったので、即座にヨドバシさんで購入・・・
しようとしたのですが、何故か販売休止に・・・
仕方なく、困ったときの amazon さんで購入しようとしたら、２２００円という意味不明なプレミアがついていました・・・
って事で、図書室に出入りしている本屋さんに取り寄せを頼みました。まあ、特段急ぐものでもないのでいいのですが・・・
何故、ヨドバシさんでは販売休止になっていたのでしょうか？？
休校期間が続いていて、勉強出来ない高校生が買って・・・って事も無さそうだけど・・・
今日は、授業で出題した課題の解説。
不定方程式の問題。我々の様に、高校生のときに整数がなかった世代では、好き嫌いが分かれるところですが、私は専門が代数的組合せ論（代数的符号理論）だったので、整数の内容は大好物です。
ということで, 週末課題 No.04 の解説を.
(1) 不定方程式 $23x+41y=0$ の整数解をすべて求めよ.
(2) 不定方程式 $23x+41y=1$ の整数解を $1$ 組求めよ.
(3) 不定方程式 $23x+41y=1$ の整数解をすべて求めよ.
(1)
$23x+41y=0$
$23x=-41y$
ここで, $23$ と $41$ は互いに素であるので, 整数 $k$ を用いて
$x=41k$, $y=-23k$ と表すことができる.
で終わりなのだが, 結構これをちゃんと理解していない人も多い.
そこで, これをちゃんと説明していくと...
$23x=-41y$ となったところから...
$x$, $y$ は整数なので, 左辺は $23$ の倍数, 右辺は $41$ の倍数, ということになる.
左辺が $23$ の倍数, 右辺が $41$ の倍数で, それらが等しい, ということは,
この値は $23$ の倍数かつ $41$ の倍数なので, $23 \times 41$ の倍数...
ではないですよね.
$23$ の倍数かつ $41$ の倍数, って事は, $23$ と $41$ の公倍数, って事です.
$23$ と $41$ の公倍数, って事は, $23$ と $41$ の最小公倍数の倍数, って事です.
で, 結構重要な性質として...
$2$ つの自然数 $a$, $b$ に対し,
$\gcd(a, b) \times \mathrm{lcm}(a, b) = ab$
が成り立つ.
を使ってやると,
$\gcd(23, 41) \times \mathrm{lcm}(23, 41) = 23 \times 41$
$1 \times \mathrm{lcm}(23, 41) = 23 \times 41$
$\mathrm{lcm}(23, 41) = 23 \times 41$
であるので...
$23$ と $41$ の最小公倍数の倍数, って事は, $23\times41$ の倍数, って事です.
なので, 整数 $k$ を用いて
$23x=-41y=23 \times 41 \times k$
と表すことができ, これより
$23x=23\times41\times k$
$x=41k$,
$-41y=23\times41\times k$
$y=-23k$
と表すことができる.
(2)
$41 = 23 \times 1 + 18$
$23 = 18 \times 1 + 5$
$18 = 5 \times 3 + 3$
$5 = 3 \times 1 + 2$
$3 = 2 \times 1 + 1$
より,
$18 = 41 - 23 \times 1$
$5 = 23 - 18 \times 1$
$3 = 18 - 5 \times 3$
$2 = 5 - 3 \times 1$
$1 = 3 - 2 \times 1$
であるので,
$1 = 3 - 2 \times 1$
$= 3 - (5 - 3 \times 1) \times 1$
$= 3 \times 2 + 5 \times (-1)$
$= (18-5 \times 3) \times 2 + 5 \times (-1)$
$= 18 \times 2 + 5 \times (-7)$
$= 18 \times 2 + (23 - 18 \times 1) \times (-7)$
$= 18 \times 9 + 23 \times (-7)$
$= (41 - 23 \times 1) \times 9 + 23 \times (-7)$
$= 41 \times 9 + 23 \times (-16)$
$= 23 \times (-16) + 41 \times 9$
というのが, よくある一般的な解法なのだが...
ユークリッドの互除法よりも計算回数を減らせるかも知れない, 高速ユークリッドの互除法を用いる.
ユークリッドの互除法では, 割り算 $a=bq+r$ の
余りの範囲を $0 \le q < r$ としているが,
これを $-\dfrac{r}{2}<r\le\dfrac{r}{2}$ として計算すると,
ユークリッドの互除法よりも計算回数が増えることはない.
（必ず減るとは言えない, 減ることもある, 程度だが非常に有用）
$41 = 23 \times 2 - 5$
$23 = 5 \times 5 - 2$
$5 = 2 \times 2 + 1$
より,
$5 = 23 \times 2 - 41$
$2 = 5 \times 5 - 23$
$1 = 5 - 2 \times 2$
であるので,
$1 = 5 - 2 \times 2$
$= 5 - (5 \times 5- 23) \times 2$
$= 5 \times (-9) + 23 \times 2$
$= (23 \times 2 - 41) \times (-9) + 23 \times 2$
$= 41 \times 9 + 23 \times (-16)$
これも, 最初の $2$ 式が異なったり,
式同士の計算の手順が異なったりすると,
異なる特殊解を得ることがある.
(3)
(2) で求めた特殊解が $(x, y)=(-16, 9)$ であるとする.
(他の特殊解だったとしても解法は同様)
$23x+41y=1$ から特殊解を代入した $23 \times (-16) + 41 \times 9 = 1$ を引くと,
$23(x+16)+41(y-9)=0$
$23(x+16)=-41(y-9)$
あとは (1) と同様に,
$23$ と $41$ は互いに素であるので, 整数 $k$ を用いて
$x+16=41k$, $y-9=-23k$
即ち
$x=41k-16$, $y=-23k+9$
を得る.
そんな事に気がついたのが一昨日だったので、即座にヨドバシさんで購入・・・
しようとしたのですが、何故か販売休止に・・・
仕方なく、困ったときの amazon さんで購入しようとしたら、２２００円という意味不明なプレミアがついていました・・・
って事で、図書室に出入りしている本屋さんに取り寄せを頼みました。まあ、特段急ぐものでもないのでいいのですが・・・
何故、ヨドバシさんでは販売休止になっていたのでしょうか？？
休校期間が続いていて、勉強出来ない高校生が買って・・・って事も無さそうだけど・・・
今日は、授業で出題した課題の解説。
不定方程式の問題。我々の様に、高校生のときに整数がなかった世代では、好き嫌いが分かれるところですが、私は専門が代数的組合せ論（代数的符号理論）だったので、整数の内容は大好物です。
ということで, 週末課題 No.04 の解説を.
(1) 不定方程式 $23x+41y=0$ の整数解をすべて求めよ.
(2) 不定方程式 $23x+41y=1$ の整数解を $1$ 組求めよ.
(3) 不定方程式 $23x+41y=1$ の整数解をすべて求めよ.
(1)
$23x+41y=0$
$23x=-41y$
ここで, $23$ と $41$ は互いに素であるので, 整数 $k$ を用いて
$x=41k$, $y=-23k$ と表すことができる.
で終わりなのだが, 結構これをちゃんと理解していない人も多い.
そこで, これをちゃんと説明していくと...
$23x=-41y$ となったところから...
$x$, $y$ は整数なので, 左辺は $23$ の倍数, 右辺は $41$ の倍数, ということになる.
左辺が $23$ の倍数, 右辺が $41$ の倍数で, それらが等しい, ということは,
この値は $23$ の倍数かつ $41$ の倍数なので, $23 \times 41$ の倍数...
ではないですよね.
$23$ の倍数かつ $41$ の倍数, って事は, $23$ と $41$ の公倍数, って事です.
$23$ と $41$ の公倍数, って事は, $23$ と $41$ の最小公倍数の倍数, って事です.
で, 結構重要な性質として...
$2$ つの自然数 $a$, $b$ に対し,
$\gcd(a, b) \times \mathrm{lcm}(a, b) = ab$
が成り立つ.
を使ってやると,
$\gcd(23, 41) \times \mathrm{lcm}(23, 41) = 23 \times 41$
$1 \times \mathrm{lcm}(23, 41) = 23 \times 41$
$\mathrm{lcm}(23, 41) = 23 \times 41$
であるので...
$23$ と $41$ の最小公倍数の倍数, って事は, $23\times41$ の倍数, って事です.
なので, 整数 $k$ を用いて
$23x=-41y=23 \times 41 \times k$
と表すことができ, これより
$23x=23\times41\times k$
$x=41k$,
$-41y=23\times41\times k$
$y=-23k$
と表すことができる.
(2)
$41 = 23 \times 1 + 18$
$23 = 18 \times 1 + 5$
$18 = 5 \times 3 + 3$
$5 = 3 \times 1 + 2$
$3 = 2 \times 1 + 1$
より,
$18 = 41 - 23 \times 1$
$5 = 23 - 18 \times 1$
$3 = 18 - 5 \times 3$
$2 = 5 - 3 \times 1$
$1 = 3 - 2 \times 1$
であるので,
$1 = 3 - 2 \times 1$
$= 3 - (5 - 3 \times 1) \times 1$
$= 3 \times 2 + 5 \times (-1)$
$= (18-5 \times 3) \times 2 + 5 \times (-1)$
$= 18 \times 2 + 5 \times (-7)$
$= 18 \times 2 + (23 - 18 \times 1) \times (-7)$
$= 18 \times 9 + 23 \times (-7)$
$= (41 - 23 \times 1) \times 9 + 23 \times (-7)$
$= 41 \times 9 + 23 \times (-16)$
$= 23 \times (-16) + 41 \times 9$
よって, 特殊解 $(x, y)=(-16, 9)$ を得る.
というのが, よくある一般的な解法なのだが...
ユークリッドの互除法よりも計算回数を減らせるかも知れない, 高速ユークリッドの互除法を用いる.
ユークリッドの互除法では, 割り算 $a=bq+r$ の
余りの範囲を $0 \le q < r$ としているが,
これを $-\dfrac{r}{2}<r\le\dfrac{r}{2}$ として計算すると,
ユークリッドの互除法よりも計算回数が増えることはない.
（必ず減るとは言えない, 減ることもある, 程度だが非常に有用）
$41 = 23 \times 2 - 5$
$23 = 5 \times 5 - 2$
$5 = 2 \times 2 + 1$
より,
$5 = 23 \times 2 - 41$
$2 = 5 \times 5 - 23$
$1 = 5 - 2 \times 2$
であるので,
$1 = 5 - 2 \times 2$
$= 5 - (5 \times 5- 23) \times 2$
$= 5 \times (-9) + 23 \times 2$
$= (23 \times 2 - 41) \times (-9) + 23 \times 2$
$= 41 \times 9 + 23 \times (-16)$
よって, 特殊解 $(x, y)=(-16, 9)$ を得る.
（高速）ユークリッドの互除法を用いる解法として, 更に別解もある.
$23x+41y=1$
$23x+(23 \times 2 - 5)y = 1$
$23x+23\times2y-5y = 1$
$23(x-2y)-5y = 1$
ここで, $x-2y=x_1$ とおく.
$23x_1-5y=1$
$(5 \times 5 - 2)x_1 - 5y = 1$
$5 \times 5x_1-2x_1 - 5y = 1$
$-2x_1+5(5x_1-y) = 1$
ここで, $5x_1-y=y_1$ とおく.
$-2x_1+5y_1=1$
これくらいになると, $x_1=2$, $y_1=1$ というような特殊解が思いつく.
前述の置き換えの式より
$y=5x_1+y_1$
$x=x_1+2y$
であるので, 前述の特殊解を代入すると,
$y=5 \times 2 + 1 = 11$
$x=2+2 \times 11 = 24$
であるので, 特殊解 $(x, y)=(24, 11)$ を得る.
$x_1$, $y_1$ の特殊解が異なると, 最後に出てくる特殊解も異なる.
他にも, 適当に代入して $1$ になる値を見つけられればいいが,
$-16$ と $9$ なんて, なかなか見つけられない...
そこで, $1$ にならなくてもいいので, 互いに素な値になる $2$ 式を考える.
例えば,
$23 \times 2 + 41 \times (-1) = 5$
$23 \times (-5) + 41 \times 3 = 8$
なんていう $2$ 式を見つけたとする.
ここから, $23$ と $41$ を文字のように考え, 右辺が $1$ になるように計算をしていく.
具体的にいうと, 第 $1$ 式の $2$ 倍から第 $2$ 式を引く.
$23(2 \times 2 - (-5)) + 41 (-2-3) = 5 \times 2 - 8$
$23 \times 9 + 41 \times (-5) = 2$
第 $1$ 式からこの式の $2$ 倍を引く.
$23(2-9 \times 2) + 41(-1-2 \times (-5)) = 5 - 2 \times 2$
$23 \times (-16) + 41 \times 9 = 1$
これより, 特殊解 $(x, y)=(-16, 9)$ を得る.
式同士の計算の手順が異なったりすると,
異なる特殊解を得ることがある.
(3)
(2) で求めた特殊解が $(x, y)=(-16, 9)$ であるとする.
(他の特殊解だったとしても解法は同様)
$23x+41y=1$ から特殊解を代入した $23 \times (-16) + 41 \times 9 = 1$ を引くと,
$23(x+16)+41(y-9)=0$
$23(x+16)=-41(y-9)$
あとは (1) と同様に,
$23$ と $41$ は互いに素であるので, 整数 $k$ を用いて
$x+16=41k$, $y-9=-23k$
即ち
$x=41k-16$, $y=-23k+9$
を得る.
授業で出題した問題（平日課題 No.03）
今住んでいるところのゴミ出しは、燃えるゴミが月・木なのだが、最近の在宅勤務が原因で、だいぶ朝の行動が遅くなっています。一応、起床時間はなんとか保っているのだが、先週中は教科書配布の為に、１０時に合わせて出勤していたので、ゴミ出しをすっかり忘れてしまっていまして・・・で、連休に入ってしまったため、今日のゴミ出しが出来ず・・・
今日は、平日課題の解説。内容としては、三角形の面積の公式の証明。
センター試験なんかでも、数学 I の三角比と数学 A の平面幾何のどっちを使うのかを判断する必要がある（正確には、どっちを使うのか判断するのではなく、どっちも使いこなす必要がある）ので、そこら辺を意識した問題です。
以下の面積の公式を証明せよ. 特に断らない限り, $\triangle\mathrm{ABC}$ の $3$ 辺の長さを $\mathrm{BC}=a$, $\mathrm{CA}=b$, $\mathrm{AB}=c$ と表し, その面積 $S$ は
$S=\dfrac12bc\sin A$
で与えられることは用いてもよい.
(1) $\triangle\mathrm{ABC}$ の内接円の半径を $r$ とするとき,
$S=\dfrac12r(a+b+c)$
Proof.
上記のように, 頂点 A, B, C それぞれと内心 I とを結ぶ.
$\triangle\mathrm{XYZ}$ の面積を $S_{XYZ}$ と表すとする. すると,
$S_{IBC}=\dfrac12ar$,
$S_{ICA}=\dfrac12br$,
$S_{IAB}=\dfrac12cr$
であるので,
$S=S_{IBC}+S_{ICA}+S_{IAB}=\dfrac12ar+\dfrac12br+\dfrac12cr=\dfrac12r(a+b+c)$
より成り立つ${}_{\square}$
(2) $\triangle\mathrm{ABC}$ の半径を $R$ とするとき,
$S=\dfrac{abc}{4R}$
Proof.
正弦定理 $\dfrac{a}{\sin A}=2R$ より $\sin A=\dfrac{a}{2R}$ であるので,
$S=\dfrac12bc\sin A=\dfrac12bc \times \dfrac{a}{2R} = \dfrac{abc}{4R}$
が成り立つ${}_{\square}$
今日は、平日課題の解説。内容としては、三角形の面積の公式の証明。
センター試験なんかでも、数学 I の三角比と数学 A の平面幾何のどっちを使うのかを判断する必要がある（正確には、どっちを使うのか判断するのではなく、どっちも使いこなす必要がある）ので、そこら辺を意識した問題です。
以下の面積の公式を証明せよ. 特に断らない限り, $\triangle\mathrm{ABC}$ の $3$ 辺の長さを $\mathrm{BC}=a$, $\mathrm{CA}=b$, $\mathrm{AB}=c$ と表し, その面積 $S$ は
$S=\dfrac12bc\sin A$
で与えられることは用いてもよい.
(1) $\triangle\mathrm{ABC}$ の内接円の半径を $r$ とするとき,
$S=\dfrac12r(a+b+c)$
Proof.
上記のように, 頂点 A, B, C それぞれと内心 I とを結ぶ.
$\triangle\mathrm{XYZ}$ の面積を $S_{XYZ}$ と表すとする. すると,
$S_{IBC}=\dfrac12ar$,
$S_{ICA}=\dfrac12br$,
$S_{IAB}=\dfrac12cr$
であるので,
$S=S_{IBC}+S_{ICA}+S_{IAB}=\dfrac12ar+\dfrac12br+\dfrac12cr=\dfrac12r(a+b+c)$
より成り立つ${}_{\square}$
(2) $\triangle\mathrm{ABC}$ の半径を $R$ とするとき,
$S=\dfrac{abc}{4R}$
Proof.
正弦定理 $\dfrac{a}{\sin A}=2R$ より $\sin A=\dfrac{a}{2R}$ であるので,
$S=\dfrac12bc\sin A=\dfrac12bc \times \dfrac{a}{2R} = \dfrac{abc}{4R}$
が成り立つ${}_{\square}$
授業で出題した課題（週末課題 No.03）
そういえば、大型連休になりました。
例年であれば、部活動の遠征で、全日程を県外で過ごすのですが、新型コロナの影響で休校となっているので、またもや在宅勤務をするわけです。
つまり、遠征に行かない大型連休なんて、６年振りくらいですね。
去年なんかはもう記憶にないかも知れませんが、１０連休だったわけですよ。その１０日間のうち、中１日と最後の１日がオフだったわけですが、それで実家に帰省とかしても意味がないですし・・・
しかし、この先、どうなるんですかね？？９月入学で、って話が強くなってきましたが、その場合、在校生はどうなるんでしょうか？？私は私立高校に勤務しているので、収入はどうなるのでしょうか？？仮に９月入学となった場合、学校としては入学までの５ヶ月間は授業料収入がなくなるので、給料がなくなるのでしょうか？？スタディサプリで生徒対応したり、Google Classroom で課題配信をして指導をしたり、色々とやっているのに、それも無給でということになるのでしょうか？？在校生から取っている今の授業料も、９月から新学年がスタートとなった場合、５ヶ月分は無料、４月に払った分は９月の授業料、とかなるでしょうから、結局は５ヶ月分は、学校としては無収入になるわけですよね・・・在校生から、卒業までに３年５ヶ月分の授業料を取るわけにもいきませんから・・・
それにしても、この自宅勤務が続いているおかげで、今年もぬか床を作ることができました。例年だと、遠征が続いたりするので、冷蔵庫の中でゆっくりと発酵させていたのですが、今年は毎日ちゃんと面倒をみることができたので、室温の中で作ることができました。で、月曜日に漬けたきゅうりが、すごく美味しくなっていました。もう、これだけでご飯が食べられちゃいますよ。
さて、今日は Classroom で配信している課題の解説。
週末課題 No.03 です。
連立方程式と２次不等式の問題です。５問それぞれに、出題意図をもった問題です。
２次不等式を解くためには、２次関数のグラフをイメージしなくてはいけない、ということで、 desmos でグラフをかいて解説をしています。
方程式・不等式を解け.
(1) $\begin{cases}
x+y=5 \\
xy=3
\end{cases}$
連立方程式なのだが, 出題意図としては, 複号の使い方に慣れる, です.
第 $1$ 式より, $y=5-x$ なので, これを第 $2$ 式に代入すると,
$x(5-x) = 3$
$x^2-5x+3 = 0$
$2$ 次方程式の解の公式より
$x = \dfrac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4 \times 1 \times 3}}{2 \times 1}
= \dfrac{5\pm\sqrt{13}}{2}$
このあと, この複号 ($\pm$) を含む計算をちゃんと出来るかどうかの問題でした.
$y=5-x$
$= 5-\dfrac{5\pm\sqrt{13}}{2}$
$= \dfrac{10-5\mp\sqrt{13}}{2}$
$= \dfrac{5\mp\sqrt{13}}{2}$.
より, $(x, y)=\left(\dfrac{5\pm\sqrt{13}}{2}, \dfrac{5\mp\sqrt{13}}{2}\right)$（複号同順）.
この, $\pm$ と $\mp$ の使い分けを理解しているかが, この問題のメインである.
$-1 \times (\pm1) = \mp1$
となることを理解しているのであれば特に問題ないが, よく分からないのであれば, 最も確実なのは, 場合分けをしてそれぞれ計算することである.
$x=\dfrac{5+\sqrt{13}}{2}$ のとき
$y=5-\dfrac{5+\sqrt{13}}{2}=\dfrac{5-\sqrt{12}}{2}$,
$x=\dfrac{5-\sqrt{13}}{2}$ のとき
$y=5-\dfrac{5-\sqrt{13}}{2}=\dfrac{5+\sqrt{13}}{2}$.
以上より,
$(x, y)\left(\dfrac{5+\sqrt{13}}{2}, \dfrac{5-\sqrt{13}}{2}\right), \left(\dfrac{5-\sqrt{13}}{2}, \dfrac{5+\sqrt{13}}{2}\right)$.
一応, 別解として, 数学 II で学ぶ解と係数の関係（の直後に学ぶ, $2$ 数を解にもつ方程式）を使って解くこともできます.
$2$ 数 $x$, $y$ を解にもつ $t$ を変数とする $2$ 次方程式の $1$ つは
$t^2-(x+y)t+xy = 0$
$t^2-5t+3=0$
（これで前述の $x$ の $2$ 次方程式と同じものができたので, 後は同様に解く）
(2) $\begin{cases}
2x+y+z = 7 \\
x+2y+z = 9 \\
x+y+2z = 8
\end{cases}$
ただの連立方程式の問題です. 掃き出し法（中学校で習う加減法）の意味をちゃんと理解しているかがポイントです.
第 $1$ 式 $-$ 第 $2$ 式より
$x-y = -2$,
第 $1$ 式 $\times2 -$ 第 $3$ 式より
$3x+y=6$,
この $2$ 式の和をとると
$4x = 4$
$x=1$,
これを順に代入すると,
$1-y=-2$
$y=3$,
$2\times1+3+z=7$
$z=2$.
掃き出し法（加減法）の一番のポイントは, 式を $1$ 本減らしてでも文字数を $1$ つ減らす, ということである. これにより, $n$ 個の文字があっても $n$ 本の（一次独立な）式があれば, これで解くことができる.
今回の問題は, 係数が cycle になっているので, 別解が存在する.
第 $1$ 式 $+$ 第 $2$ 式 $+$ 第 $3$ 式より,
$4x+4y+4z=24$
$x+y+z=6$,
第 $1$ 式, 第 $2$ 式, 第 $3$ 式それぞれからこの式を引くと,
$x=1$, $y=3$, $z=2$.
(3) $x^2-5x+4<0$
これは普通の $2$ 次不等式の問題です. “ふくは内”で解くのも $1$ つのやり方ではありますが, ちゃんと $2$ 次関数のグラフを使った方法を理解するようにさせるための問題です.
$2$ 次不等式を解くために, 何故因数分解をしたり, 解の公式を使ったりするのか.
それを理解していれば, (4) や (5) も同じように解けますよ, と言いたいがためのこの $3$ 問です.
$2$ 次関数 $y=x^2-5x+4$ を考える. $2$ 次不等式 $x^2-5x+4<0$ となるのは, グラフの $y<0$ 即ち $x$ 軸よりも下の部分である.
このグラフと $x$ 軸との共有点を調べるために, $x$ 軸の方程式である $y=0$ と連立する.
$\begin{cases}
y=x^2-5x+4 \\
y=0
\end{cases}$
これを解くために, 代入することで, $2$ 次方程式 $x^2-5x+4=0$ が出てくる.
$x^2-5x+4=0$
$(x-1)(x-4)=0$
$x=1, 4$
グラフは上のように, $x=1$ と $x=4$ で $x$ 軸との共有点をもつ.
このグラフのうち, $y<0$ となるのは, 以下の部分である.
これより, $1<x<4$ である.
(4) $-6x^2+7x+3\le0$
(3) と同様に考える.
$-6x^2+7x+3=0$
$6x^2-7x-3=0$
$(2x-3)(3x+1)=0$
$x=\dfrac32, -\dfrac13$
であるので, $-\dfrac13\le x\le\dfrac32$ で... はないです.
(3) と同様に解いてみたけど, 問題の決定的な違いがある. $x^2$ の係数の符号が違うので, グラフが...
そう、上に凸のグラフになるんですよね.
なので, 解は $x\le-\dfrac13$, $\dfrac32\le x$ である.
このような勘違いを回避するためには, 常に $x^2$ の係数は正になるようにするようにする.
$-6x^2+7x+3 \le 0$
$6x^2-7x-3 \ge 0$
この $2$ 次不等式を (3) と同様に解くことで, $x\le-\dfrac13$, $\dfrac32\le x$ を得る.
(5) $3x^2+4x+2>0$
これも同様に解く人が多いので...
$3x^2+4x+2=0$
$x=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-3\times2}}{3}
= \dfrac{-2\pm\sqrt{-2}}{3}$
であるので, 解は $x<\dfrac{-2-\sqrt{-2}}{3}$, $\dfrac{-2+\sqrt{-2}}{3}<x$ である.
なんて書いたら, そもそもが間違いである.
$\sqrt{-2}$ って, 根号ｂの中が負になっている時点でこれは...
そうか, 複素数にしなくちゃいけないんだ!!
$x<\dfrac{-2-\sqrt2i}{3}$, $\dfrac{-2+\sqrt2i}{3}<x$ って事... でもないんですよ.
そもそも虚数では, 大小が定義されないものですから. 不等号で評価することが出来ないものです.
では, どうしたらいいのか.
解の公式を使っても実数解が出てこない... ということで, 解なし, というのも違います.
そもそも, 解なしになったのは, $2$ 次不等式なんですよね. ということは, $x$ 軸との共有点がない, ということ.
実際に, $y=3x^2+4x+2$ のグラフをかいてみると, 以下のようになる.
そう, 共有点がない, ということは, $x$ 軸と離れている, ということ.
となると, このグラフの中で, $y>0$ の部分は... すべての実数, となる.
この問題に関しては, もっとシンプルな別解がある.
$3x^2+4x+2 > 0$
$x^2+\dfrac43x+\dfrac23 > 0$
$\left(x+\dfrac23\right)^2-\left(\dfrac23\right)^2+\dfrac23 > 0$
$\left(x+\dfrac23\right)^2+\dfrac29 > 0$
ここで, $\left(x+\dfrac23\right)^2\ge0$ であるので, すべての実数に対してこの不等式が成り立つ.
よって, 解はすべての実数である.
例年であれば、部活動の遠征で、全日程を県外で過ごすのですが、新型コロナの影響で休校となっているので、またもや在宅勤務をするわけです。
つまり、遠征に行かない大型連休なんて、６年振りくらいですね。
去年なんかはもう記憶にないかも知れませんが、１０連休だったわけですよ。その１０日間のうち、中１日と最後の１日がオフだったわけですが、それで実家に帰省とかしても意味がないですし・・・
しかし、この先、どうなるんですかね？？９月入学で、って話が強くなってきましたが、その場合、在校生はどうなるんでしょうか？？私は私立高校に勤務しているので、収入はどうなるのでしょうか？？仮に９月入学となった場合、学校としては入学までの５ヶ月間は授業料収入がなくなるので、給料がなくなるのでしょうか？？スタディサプリで生徒対応したり、Google Classroom で課題配信をして指導をしたり、色々とやっているのに、それも無給でということになるのでしょうか？？在校生から取っている今の授業料も、９月から新学年がスタートとなった場合、５ヶ月分は無料、４月に払った分は９月の授業料、とかなるでしょうから、結局は５ヶ月分は、学校としては無収入になるわけですよね・・・在校生から、卒業までに３年５ヶ月分の授業料を取るわけにもいきませんから・・・
それにしても、この自宅勤務が続いているおかげで、今年もぬか床を作ることができました。例年だと、遠征が続いたりするので、冷蔵庫の中でゆっくりと発酵させていたのですが、今年は毎日ちゃんと面倒をみることができたので、室温の中で作ることができました。で、月曜日に漬けたきゅうりが、すごく美味しくなっていました。もう、これだけでご飯が食べられちゃいますよ。
さて、今日は Classroom で配信している課題の解説。
週末課題 No.03 です。
連立方程式と２次不等式の問題です。５問それぞれに、出題意図をもった問題です。
２次不等式を解くためには、２次関数のグラフをイメージしなくてはいけない、ということで、 desmos でグラフをかいて解説をしています。
方程式・不等式を解け.
(1) $\begin{cases}
x+y=5 \\
xy=3
\end{cases}$
連立方程式なのだが, 出題意図としては, 複号の使い方に慣れる, です.
第 $1$ 式より, $y=5-x$ なので, これを第 $2$ 式に代入すると,
$x(5-x) = 3$
$x^2-5x+3 = 0$
$2$ 次方程式の解の公式より
$x = \dfrac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4 \times 1 \times 3}}{2 \times 1}
= \dfrac{5\pm\sqrt{13}}{2}$
このあと, この複号 ($\pm$) を含む計算をちゃんと出来るかどうかの問題でした.
$y=5-x$
$= 5-\dfrac{5\pm\sqrt{13}}{2}$
$= \dfrac{10-5\mp\sqrt{13}}{2}$
$= \dfrac{5\mp\sqrt{13}}{2}$.
より, $(x, y)=\left(\dfrac{5\pm\sqrt{13}}{2}, \dfrac{5\mp\sqrt{13}}{2}\right)$（複号同順）.
この, $\pm$ と $\mp$ の使い分けを理解しているかが, この問題のメインである.
$-1 \times (\pm1) = \mp1$
となることを理解しているのであれば特に問題ないが, よく分からないのであれば, 最も確実なのは, 場合分けをしてそれぞれ計算することである.
$x=\dfrac{5+\sqrt{13}}{2}$ のとき
$y=5-\dfrac{5+\sqrt{13}}{2}=\dfrac{5-\sqrt{12}}{2}$,
$x=\dfrac{5-\sqrt{13}}{2}$ のとき
$y=5-\dfrac{5-\sqrt{13}}{2}=\dfrac{5+\sqrt{13}}{2}$.
以上より,
$(x, y)\left(\dfrac{5+\sqrt{13}}{2}, \dfrac{5-\sqrt{13}}{2}\right), \left(\dfrac{5-\sqrt{13}}{2}, \dfrac{5+\sqrt{13}}{2}\right)$.
一応, 別解として, 数学 II で学ぶ解と係数の関係（の直後に学ぶ, $2$ 数を解にもつ方程式）を使って解くこともできます.
$2$ 数 $x$, $y$ を解にもつ $t$ を変数とする $2$ 次方程式の $1$ つは
$t^2-(x+y)t+xy = 0$
$t^2-5t+3=0$
（これで前述の $x$ の $2$ 次方程式と同じものができたので, 後は同様に解く）
(2) $\begin{cases}
2x+y+z = 7 \\
x+2y+z = 9 \\
x+y+2z = 8
\end{cases}$
ただの連立方程式の問題です. 掃き出し法（中学校で習う加減法）の意味をちゃんと理解しているかがポイントです.
第 $1$ 式 $-$ 第 $2$ 式より
$x-y = -2$,
第 $1$ 式 $\times2 -$ 第 $3$ 式より
$3x+y=6$,
この $2$ 式の和をとると
$4x = 4$
$x=1$,
これを順に代入すると,
$1-y=-2$
$y=3$,
$2\times1+3+z=7$
$z=2$.
掃き出し法（加減法）の一番のポイントは, 式を $1$ 本減らしてでも文字数を $1$ つ減らす, ということである. これにより, $n$ 個の文字があっても $n$ 本の（一次独立な）式があれば, これで解くことができる.
今回の問題は, 係数が cycle になっているので, 別解が存在する.
第 $1$ 式 $+$ 第 $2$ 式 $+$ 第 $3$ 式より,
$4x+4y+4z=24$
$x+y+z=6$,
第 $1$ 式, 第 $2$ 式, 第 $3$ 式それぞれからこの式を引くと,
$x=1$, $y=3$, $z=2$.
(3) $x^2-5x+4<0$
これは普通の $2$ 次不等式の問題です. “ふくは内”で解くのも $1$ つのやり方ではありますが, ちゃんと $2$ 次関数のグラフを使った方法を理解するようにさせるための問題です.
$2$ 次不等式を解くために, 何故因数分解をしたり, 解の公式を使ったりするのか.
それを理解していれば, (4) や (5) も同じように解けますよ, と言いたいがためのこの $3$ 問です.
$2$ 次関数 $y=x^2-5x+4$ を考える. $2$ 次不等式 $x^2-5x+4<0$ となるのは, グラフの $y<0$ 即ち $x$ 軸よりも下の部分である.
このグラフと $x$ 軸との共有点を調べるために, $x$ 軸の方程式である $y=0$ と連立する.
$\begin{cases}
y=x^2-5x+4 \\
y=0
\end{cases}$
これを解くために, 代入することで, $2$ 次方程式 $x^2-5x+4=0$ が出てくる.
$x^2-5x+4=0$
$(x-1)(x-4)=0$
$x=1, 4$
グラフは上のように, $x=1$ と $x=4$ で $x$ 軸との共有点をもつ.
このグラフのうち, $y<0$ となるのは, 以下の部分である.
これより, $1<x<4$ である.
(4) $-6x^2+7x+3\le0$
(3) と同様に考える.
$-6x^2+7x+3=0$
$6x^2-7x-3=0$
$(2x-3)(3x+1)=0$
$x=\dfrac32, -\dfrac13$
であるので, $-\dfrac13\le x\le\dfrac32$ で... はないです.
(3) と同様に解いてみたけど, 問題の決定的な違いがある. $x^2$ の係数の符号が違うので, グラフが...
そう、上に凸のグラフになるんですよね.
なので, 解は $x\le-\dfrac13$, $\dfrac32\le x$ である.
このような勘違いを回避するためには, 常に $x^2$ の係数は正になるようにするようにする.
$-6x^2+7x+3 \le 0$
$6x^2-7x-3 \ge 0$
この $2$ 次不等式を (3) と同様に解くことで, $x\le-\dfrac13$, $\dfrac32\le x$ を得る.
(5) $3x^2+4x+2>0$
これも同様に解く人が多いので...
$3x^2+4x+2=0$
$x=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-3\times2}}{3}
= \dfrac{-2\pm\sqrt{-2}}{3}$
であるので, 解は $x<\dfrac{-2-\sqrt{-2}}{3}$, $\dfrac{-2+\sqrt{-2}}{3}<x$ である.
なんて書いたら, そもそもが間違いである.
$\sqrt{-2}$ って, 根号ｂの中が負になっている時点でこれは...
そうか, 複素数にしなくちゃいけないんだ!!
$x<\dfrac{-2-\sqrt2i}{3}$, $\dfrac{-2+\sqrt2i}{3}<x$ って事... でもないんですよ.
そもそも虚数では, 大小が定義されないものですから. 不等号で評価することが出来ないものです.
では, どうしたらいいのか.
解の公式を使っても実数解が出てこない... ということで, 解なし, というのも違います.
そもそも, 解なしになったのは, $2$ 次不等式なんですよね. ということは, $x$ 軸との共有点がない, ということ.
実際に, $y=3x^2+4x+2$ のグラフをかいてみると, 以下のようになる.
そう, 共有点がない, ということは, $x$ 軸と離れている, ということ.
となると, このグラフの中で, $y>0$ の部分は... すべての実数, となる.
この問題に関しては, もっとシンプルな別解がある.
$3x^2+4x+2 > 0$
$x^2+\dfrac43x+\dfrac23 > 0$
$\left(x+\dfrac23\right)^2-\left(\dfrac23\right)^2+\dfrac23 > 0$
$\left(x+\dfrac23\right)^2+\dfrac29 > 0$
ここで, $\left(x+\dfrac23\right)^2\ge0$ であるので, すべての実数に対してこの不等式が成り立つ.
よって, 解はすべての実数である.
授業で出題した問題（平日課題 No.02）
アパートに引き籠もって、ずっと自炊をしているのですが・・・
流石に、食材が底をついてきてしまいまして・・・
そんなわけで、５日振りに外に出ました。
まあ、外出と言っても、日産に行って、リーフを充電している間に徒歩でスーパーマーケットに行って買い物をしてきただけなのですが・・・
ただ、明日からはまた出勤します。
学校としてはまだ、在宅勤務期間なのですが、生徒への教科書の配布を行うので・・・
保護者送迎により来校し、正面玄関に車を停めて、車内で待機してもらう。教員がクラス・氏名を聞き、トランシーバーで連絡をし、校舎内で待機している教員がその生徒の分の教科書セットを持って玄関へ行き、車の窓越しに渡す。そんな方法で、教科書を渡します。
ただ、問題なのが・・・２学年の教室、校舎の３階なんですよね・・・
まあ、引き籠もり生活での運動不足を解消するために、と考えて、学年対応で半日×２回／人なのですが、毎日行こうかと考えています。
今日も、授業の課題の解説。
平日課題 No.02 です。
今回の問題は、2006 年のセンター試験の第 2 問です。
早くもセンター試験って、もうネタ切れか？と思われそうですが、自宅勤務をしていると、手元に程よい問題集がないんですよね・・・
問題文は、前述のリンク先にあっるので省略します。
まず, $y\le0$ より $2$ 次不等式 $6x^2+11x-10 \le 0$ となるので, 左辺を因数分解すると
$6x^2+11x-10 \le 0$
$(2x+5)(3x-2) \le 0$
であるので, 解は $-\dfrac52 \le x \le \dfrac23$ である.
関数 $y=f(x)$ のグラフを, $x$ 軸方向に $a$, $y$ 軸方向に $b$ だけ平行移動したものをグラフにもつ関数の方程式は $y-b=f(x-a)$ である.
これより, $G$ のグラフを表す方程式は
$y-b = 6(x-a)^2+11(x-a)-10$
$y = 6x^2-12ax+6a^2+11x-11a-10+b$
$y = 6x^2-(12a-11)x+(6a^2-11a-10+b)$
である. これが原点 $(0, 0)$ を通るので,
$6a^2-11a-10+b = 0$
$b = -6a^2+11a+10$
である. また, これを代入すると,
$y = 6x^2-(12a-11)x$ ・・・②
である.
$x=-2$ と $x=3$ に対応する $2$ 次関数 ２ の値が等しくなるので,
$6 \times (-2)^2-(12a-11)\times(-2) = 6 \times 3^2-(12a-11) \times3$
$24+24a-22 = 54-36a+33$
$a = \dfrac{85}{60} = \dfrac{17}{12}$
$a$ に代入すると, $G$ は
$y = 6x^2-6x = 6\left(x-\dfrac12\right)^2-\dfrac32$
となるので, 最小値は $-\dfrac32$ であり, 最大値は
$24a+2 = 24 \times \dfrac{17}{12}+2 = 36$
である.
②を求めた後の別解として, $2$ 次関数の対称性より, 軸は
$x=\dfrac{-2+3}{2}=\dfrac12$
であるので, 方程式は
$y = 6\left(x-\dfrac12\right)^2+q = 6x^2-6x+\left(\dfrac32+q\right)$
であるので,
$\begin{cases}
-(12a-11) = -6 \\
0 = \dfrac32+q
\end{cases}$
である. これより,
$a=\dfrac{17}{12}$, $q=-\dfrac32$ であるので, 最小値は $-\dfrac32$, 最大値は
$6 \times 3^2-6 \times 3 = 36$
である.
流石に、食材が底をついてきてしまいまして・・・
そんなわけで、５日振りに外に出ました。
まあ、外出と言っても、日産に行って、リーフを充電している間に徒歩でスーパーマーケットに行って買い物をしてきただけなのですが・・・
ただ、明日からはまた出勤します。
学校としてはまだ、在宅勤務期間なのですが、生徒への教科書の配布を行うので・・・
保護者送迎により来校し、正面玄関に車を停めて、車内で待機してもらう。教員がクラス・氏名を聞き、トランシーバーで連絡をし、校舎内で待機している教員がその生徒の分の教科書セットを持って玄関へ行き、車の窓越しに渡す。そんな方法で、教科書を渡します。
ただ、問題なのが・・・２学年の教室、校舎の３階なんですよね・・・
まあ、引き籠もり生活での運動不足を解消するために、と考えて、学年対応で半日×２回／人なのですが、毎日行こうかと考えています。
今日も、授業の課題の解説。
平日課題 No.02 です。
今回の問題は、2006 年のセンター試験の第 2 問です。
早くもセンター試験って、もうネタ切れか？と思われそうですが、自宅勤務をしていると、手元に程よい問題集がないんですよね・・・
問題文は、前述のリンク先にあっるので省略します。
まず, $y\le0$ より $2$ 次不等式 $6x^2+11x-10 \le 0$ となるので, 左辺を因数分解すると
$6x^2+11x-10 \le 0$
$(2x+5)(3x-2) \le 0$
であるので, 解は $-\dfrac52 \le x \le \dfrac23$ である.
関数 $y=f(x)$ のグラフを, $x$ 軸方向に $a$, $y$ 軸方向に $b$ だけ平行移動したものをグラフにもつ関数の方程式は $y-b=f(x-a)$ である.
これより, $G$ のグラフを表す方程式は
$y-b = 6(x-a)^2+11(x-a)-10$
$y = 6x^2-12ax+6a^2+11x-11a-10+b$
$y = 6x^2-(12a-11)x+(6a^2-11a-10+b)$
である. これが原点 $(0, 0)$ を通るので,
$6a^2-11a-10+b = 0$
$b = -6a^2+11a+10$
である. また, これを代入すると,
$y = 6x^2-(12a-11)x$ ・・・②
である.
$x=-2$ と $x=3$ に対応する $2$ 次関数 ２ の値が等しくなるので,
$6 \times (-2)^2-(12a-11)\times(-2) = 6 \times 3^2-(12a-11) \times3$
$24+24a-22 = 54-36a+33$
$a = \dfrac{85}{60} = \dfrac{17}{12}$
$a$ に代入すると, $G$ は
$y = 6x^2-6x = 6\left(x-\dfrac12\right)^2-\dfrac32$
となるので, 最小値は $-\dfrac32$ であり, 最大値は
$24a+2 = 24 \times \dfrac{17}{12}+2 = 36$
である.
②を求めた後の別解として, $2$ 次関数の対称性より, 軸は
$x=\dfrac{-2+3}{2}=\dfrac12$
であるので, 方程式は
$y = 6\left(x-\dfrac12\right)^2+q = 6x^2-6x+\left(\dfrac32+q\right)$
であるので,
$\begin{cases}
-(12a-11) = -6 \\
0 = \dfrac32+q
\end{cases}$
である. これより,
$a=\dfrac{17}{12}$, $q=-\dfrac32$ であるので, 最小値は $-\dfrac32$, 最大値は
$6 \times 3^2-6 \times 3 = 36$
である.
授業で出題した問題（週末課題 No.02）
休校になって、教員も在宅勤務になって、私も在宅勤務をして２日が経ちました。
そんなわけで、私の状態はどうなっているかというと・・・
在宅勤務 → 時間が余る → 料理に時間をかけられる → 美味いものができる
っていう因果律と、
在宅勤務 → 同じ場所に座ったままで問題を解いたり、Classroomいじったり → 極度の運動不足
という因果律から・・・
絶対に、このままでは太りますよね・・・
今日も、授業の課題の解説を。
まずは週末課題の第１問。
$x+y=3$, $xy=-2$ のとき, 次の値を求めよ.
(1) $x^2+y^2$
(2) $(x-y)^2$
(3) $x^4+y^4$
---解答例---
(1)
$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ より,
$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy
= 3^2-2\times(-2)
= 9+4 = 13$.
(2)
$(x-y)^2 = x^2+y^2-2xy
= 13-2\times(-2)
= 13+4 = 17$.
(3)
(1) と同様に,
$x^4+y^4 = (x^2+y^2)^2-2x^2y^2
= 13^2-2\times(-2)^2
= 169-8 = 161$.
この (3) の別解として, 一応漸化式を使った別解もあるのですが, そこまでやるような問題でもないですかね...
続いて、週末課題の第２問。
$\sqrt{17}$ の小数部分を $a$ とするとき, 以下の値を求めよ.
(1) $a$
(2) $\dfrac1a$
(3) $a^2+8a$
(4) $a^3+9a^2+7a$
---解答例---
(1)
$4=\sqrt{16}<\sqrt{17}<\sqrt{25}=5$ より, $\sqrt{17}$ の整数部分は $4$ であるので, 小数部分は
$a = \sqrt{17}-4$.
(2)
$\dfrac1a = \dfrac1{\sqrt{17}-4}
= \dfrac{\sqrt{17}+4}{(\sqrt{17}-4)(\sqrt{17}+4)}
= \dfrac{\sqrt{17}-4}{17-16} = \sqrt{17}+4$.
(3)
$a^2+8a = (\sqrt{17}-4)^2+8(\sqrt{17}-4)$
$= 17-8\sqrt{17}+16+8\sqrt{17}-32 = 1$.
(4)
$a^3+9a^2+7a = (\sqrt{17}-4)^3+9(\sqrt{17}-4)^2+7(\sqrt{17}-4)$
$= 17\sqrt{17}-204+48\sqrt{17}-64+153-72\sqrt{17}+144+7\sqrt{17}-28$
$= 1$.
なのですが...
こんな計算, 自分で回答するときはしませんね...
(3) の結果から,
$a^2+8a=1$
$a^2=-8a+1$
更に両辺に $a$ をかけて
$a^3=-8a^2+a$
が成り立つ.
これより,
$a^3+9a^2+7a = (-8a^2+a)+9a^2+7a$
$= a^2+8a$
$= (-8a+1)+8a$
$= 1$.
となります.
では, (3) がなかった場合, どうしたらいいのか.
それは, $a$ の最小多項式を求めることになります.
$a = \sqrt{17}-4$
$a+4 = \sqrt{17}$
$(a+4)^2 = 17$
$a^2+8a+16 = 17$
$a^2+8a-1=0$
を得る. (以下, 省略)
このとき, $P(x)=x^2+8x-1$ は $P(a)=0$ を満たす多項式の中で最小の次数である.
このような $P(x)$ を, $a$ の最小多項式という.
この最小多項式を理解できると, 数学 II で学ぶ多項式の割り算より
$a^3+9a^2+7a = (a^2+8a-1)(a+1)+1 = 1$
を得る.
そんなわけで、私の状態はどうなっているかというと・・・
在宅勤務 → 時間が余る → 料理に時間をかけられる → 美味いものができる
っていう因果律と、
在宅勤務 → 同じ場所に座ったままで問題を解いたり、Classroomいじったり → 極度の運動不足
という因果律から・・・
絶対に、このままでは太りますよね・・・
今日も、授業の課題の解説を。
まずは週末課題の第１問。
$x+y=3$, $xy=-2$ のとき, 次の値を求めよ.
(1) $x^2+y^2$
(2) $(x-y)^2$
(3) $x^4+y^4$
---解答例---
(1)
$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ より,
$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy
= 3^2-2\times(-2)
= 9+4 = 13$.
(2)
$(x-y)^2 = x^2+y^2-2xy
= 13-2\times(-2)
= 13+4 = 17$.
(3)
(1) と同様に,
$x^4+y^4 = (x^2+y^2)^2-2x^2y^2
= 13^2-2\times(-2)^2
= 169-8 = 161$.
この (3) の別解として, 一応漸化式を使った別解もあるのですが, そこまでやるような問題でもないですかね...
続いて、週末課題の第２問。
$\sqrt{17}$ の小数部分を $a$ とするとき, 以下の値を求めよ.
(1) $a$
(2) $\dfrac1a$
(3) $a^2+8a$
(4) $a^3+9a^2+7a$
---解答例---
(1)
$4=\sqrt{16}<\sqrt{17}<\sqrt{25}=5$ より, $\sqrt{17}$ の整数部分は $4$ であるので, 小数部分は
$a = \sqrt{17}-4$.
(2)
$\dfrac1a = \dfrac1{\sqrt{17}-4}
= \dfrac{\sqrt{17}+4}{(\sqrt{17}-4)(\sqrt{17}+4)}
= \dfrac{\sqrt{17}-4}{17-16} = \sqrt{17}+4$.
(3)
$a^2+8a = (\sqrt{17}-4)^2+8(\sqrt{17}-4)$
$= 17-8\sqrt{17}+16+8\sqrt{17}-32 = 1$.
(4)
$a^3+9a^2+7a = (\sqrt{17}-4)^3+9(\sqrt{17}-4)^2+7(\sqrt{17}-4)$
$= 17\sqrt{17}-204+48\sqrt{17}-64+153-72\sqrt{17}+144+7\sqrt{17}-28$
$= 1$.
なのですが...
こんな計算, 自分で回答するときはしませんね...
(3) の結果から,
$a^2+8a=1$
$a^2=-8a+1$
更に両辺に $a$ をかけて
$a^3=-8a^2+a$
が成り立つ.
これより,
$a^3+9a^2+7a = (-8a^2+a)+9a^2+7a$
$= a^2+8a$
$= (-8a+1)+8a$
$= 1$.
となります.
では, (3) がなかった場合, どうしたらいいのか.
それは, $a$ の最小多項式を求めることになります.
$a = \sqrt{17}-4$
$a+4 = \sqrt{17}$
$(a+4)^2 = 17$
$a^2+8a+16 = 17$
$a^2+8a-1=0$
を得る. (以下, 省略)
このとき, $P(x)=x^2+8x-1$ は $P(a)=0$ を満たす多項式の中で最小の次数である.
このような $P(x)$ を, $a$ の最小多項式という.
この最小多項式を理解できると, 数学 II で学ぶ多項式の割り算より
$a^3+9a^2+7a = (a^2+8a-1)(a+1)+1 = 1$
を得る.
授業で出題した課題（平日課題No.01）
Google Classroom を使い始めて１週間が経ったのだが、まだまだ使い方を模索している状態。
本当は、授業を動画で作成して配信したり、色々とできることもあるようなのですが、
演習系の授業では、やり方が限られてくる、ってのも現実でして・・・
まあ、あくまでも Classroom もツールであって、それを使って学習することが目的であり、使う事を目標にしてはいけませんからね。
試してみる段階では色々とやりましたが、現在の私の頭の中にある授業には、他のツールを必要とはしていないので・・・
今日も、授業で配信した問題。
問. $2$ 次関数 $f(x)=x^2-4x+5$ について, $a$ を定数とし, $a \leqq x \leqq a+2$ における関数 $f(x)$ の最大値を $M(a)$, 最小値を $m(a)$ とする.
(1) $y=m(a)$ のグラフをかけ.
(2) $M(a)-m(a)=a$ となるような $a$ の値をすべて求めよ.
典型的な, $2$ 次関数の問題です.
定数 $a$ の値によって定義域が動いたり, $2$ 次関数のグラフが動いたり, いくつかのパターンが考えられますが, 今回は定義域が動くパターンです.
まず, $2$ 次関数の最大値・最小値の問題なので, とりあえずは平方完成をしてみましょう.
$f(x)=x^2-4x+5$
$=(x-2)^2-(-2)^2+5$
$=(x-2)^2-4+5$
$=(x-2)^2+1$
より, 頂点は $(2, 1)$ となる.
今回から, グラフは $\LaTeX$ で作ったものを使う場合もありますが, 原則としてDesmosで作成したものを使っていこうかと思います.
綺麗に作成できる, というのもそうですが、編集をする必要がないので...
$\LaTeX$ で作成した場合, DVI ファイルに出力し, それを PrintScreen でコピーして, Windows の Paint に貼り付けて, 必要な部分のみをトリミングして...
なんていう作業をしていたので, Desmos を使えば, そのまま埋め込みができるので...
という理由もありますが, Desmos を使う理由は, 動的なグラフも作成することができる, ということ. 最小値とか最大値の変化の仕方は, 以下のグラフを見ると分かるかと.
紫色の線が最大値, 緑色の線が最小値を表している.
このイメージをちゃんともてれば, 場合分けも見えてくる.
(1) 最小値は,
(i) $a+2\leqq 2$ 即ち $a \leqq 0$ のとき,
(ii) $a \leqq 2 \leqq a+2$ 即ち $0 \leqq a \leqq 2$ のとき,
(iii) $2 \leqq a$ のとき
の $3$ つに場合分けをする.
ここで, $a=0$ と $a=2$ は場合分けの $2$ つに含まれるので, どちらか一方のみで十分である. だが, どちらも含まないような場合分けとなると減点となってしまうので, 注意が必要である. 上の動的なイメージをちゃんと持っていれば, 突然飛んだりしていないので, どちらに含んでも問題ないことが分かると思う.
(i) $a \leqq 0$ のとき,
$m(a)=f(a+2)$
$= (a+2)^2-4(a+2)+5$
$= a^2+1$.
(ii) $0 \leqq a \leqq 2$ のとき,
$m(a)=f(2)$
$= 1$.
(iii) $2 \leqq a$ のとき,
$m(a) = f(a)$
$= a^2-4a+5$.
以上より, グラフは以下の通り.
$y=m(a)$ を求めよ, くらいは出題されることが多いですが, そのグラフをかけ, という問題は, なかなか出題されないとは思いますが... 場合分けをして定義されたグラフをちゃんとイメージできるかを確認するために, こんな問題を出題してみました.
(2)
同様に, 最大値につても場合分けをして求める.
$M(a) =
\begin{cases}
f(a) & (a \leqq 1) \\
f(a+2) & (1 \leqq a)
\end{cases}
$
である.
最大値の場合分けの境界は $a=1$, 最小値の場合分けの境界は $a=0$, $2$ であるので, 全部で $4$ つに場合分けをする必要がある.
(i) $a \leqq 0$ のとき,
$M(a)-m(a)=a$
$(a^2-4a+5)-(a^2+1)=a$
$-5a+4=0$
$a=-\dfrac45$
であるが, $a \leqq 0$ より不適.
実はこの場合だけ, 計算しなくても不適であることが分かる. 何故かというと,
最大値から最小値を引いているので, $M(a)-m(a)>0$ であるので, $a\leqq0$ となることはあり得ないからである.
(ii) $0 \leqq a \leqq 1$ のとき,
$M(a)-m(a)=a$
$(a^2-4a+5)-1=a$
$a^2-5a+4=0$
$(a-1)(a-4)=0$
$a=1, 4$
であるが, $0 \leqq a \leqq 1$ より $a=1$ である.
(iii) $1 \leqq a \leqq 2$ のとき,
$M(a)-m(a)=a$
$(a^2+1)-1=a$
$a^2-a=0$
$a(a-1)=0$
$a=0, 1$
であるが, $1 \leqq a \leqq 2$ より $a=1$ である.
前述の通り, (ii) および (iii) のどちらか一方は場合分けで $a=1$ を含まないで考察することができる. その場合は, 含まない方で「$* \leqq a \leqq *$ より不適」となる.
(iv) $2 \leqq a$ のとき,
$M(a)-m(a)=a$
$(a^2+1)-(a^2-4a+5)=a$
$3a-4=0$
$a=\dfrac43$
であるが, $2 \leqq a$ より不適.
(i), (ii), (iii), (iv) より, $a=1$ である.
受験勉強を始めたばかりの頃には難しいかも知れないが, 受験へ向かう上ではしっかりと理解しておくべき内容である.
本当は、授業を動画で作成して配信したり、色々とできることもあるようなのですが、
演習系の授業では、やり方が限られてくる、ってのも現実でして・・・
まあ、あくまでも Classroom もツールであって、それを使って学習することが目的であり、使う事を目標にしてはいけませんからね。
試してみる段階では色々とやりましたが、現在の私の頭の中にある授業には、他のツールを必要とはしていないので・・・
今日も、授業で配信した問題。
問. $2$ 次関数 $f(x)=x^2-4x+5$ について, $a$ を定数とし, $a \leqq x \leqq a+2$ における関数 $f(x)$ の最大値を $M(a)$, 最小値を $m(a)$ とする.
(1) $y=m(a)$ のグラフをかけ.
(2) $M(a)-m(a)=a$ となるような $a$ の値をすべて求めよ.
典型的な, $2$ 次関数の問題です.
定数 $a$ の値によって定義域が動いたり, $2$ 次関数のグラフが動いたり, いくつかのパターンが考えられますが, 今回は定義域が動くパターンです.
まず, $2$ 次関数の最大値・最小値の問題なので, とりあえずは平方完成をしてみましょう.
$f(x)=x^2-4x+5$
$=(x-2)^2-(-2)^2+5$
$=(x-2)^2-4+5$
$=(x-2)^2+1$
より, 頂点は $(2, 1)$ となる.
今回から, グラフは $\LaTeX$ で作ったものを使う場合もありますが, 原則としてDesmosで作成したものを使っていこうかと思います.
綺麗に作成できる, というのもそうですが、編集をする必要がないので...
$\LaTeX$ で作成した場合, DVI ファイルに出力し, それを PrintScreen でコピーして, Windows の Paint に貼り付けて, 必要な部分のみをトリミングして...
なんていう作業をしていたので, Desmos を使えば, そのまま埋め込みができるので...
という理由もありますが, Desmos を使う理由は, 動的なグラフも作成することができる, ということ. 最小値とか最大値の変化の仕方は, 以下のグラフを見ると分かるかと.
紫色の線が最大値, 緑色の線が最小値を表している.
このイメージをちゃんともてれば, 場合分けも見えてくる.
(1) 最小値は,
(i) $a+2\leqq 2$ 即ち $a \leqq 0$ のとき,
(ii) $a \leqq 2 \leqq a+2$ 即ち $0 \leqq a \leqq 2$ のとき,
(iii) $2 \leqq a$ のとき
の $3$ つに場合分けをする.
ここで, $a=0$ と $a=2$ は場合分けの $2$ つに含まれるので, どちらか一方のみで十分である. だが, どちらも含まないような場合分けとなると減点となってしまうので, 注意が必要である. 上の動的なイメージをちゃんと持っていれば, 突然飛んだりしていないので, どちらに含んでも問題ないことが分かると思う.
(i) $a \leqq 0$ のとき,
$m(a)=f(a+2)$
$= (a+2)^2-4(a+2)+5$
$= a^2+1$.
(ii) $0 \leqq a \leqq 2$ のとき,
$m(a)=f(2)$
$= 1$.
(iii) $2 \leqq a$ のとき,
$m(a) = f(a)$
$= a^2-4a+5$.
以上より, グラフは以下の通り.
$y=m(a)$ を求めよ, くらいは出題されることが多いですが, そのグラフをかけ, という問題は, なかなか出題されないとは思いますが... 場合分けをして定義されたグラフをちゃんとイメージできるかを確認するために, こんな問題を出題してみました.
(2)
同様に, 最大値につても場合分けをして求める.
$M(a) =
\begin{cases}
f(a) & (a \leqq 1) \\
f(a+2) & (1 \leqq a)
\end{cases}
$
である.
最大値の場合分けの境界は $a=1$, 最小値の場合分けの境界は $a=0$, $2$ であるので, 全部で $4$ つに場合分けをする必要がある.
(i) $a \leqq 0$ のとき,
$M(a)-m(a)=a$
$(a^2-4a+5)-(a^2+1)=a$
$-5a+4=0$
$a=-\dfrac45$
であるが, $a \leqq 0$ より不適.
実はこの場合だけ, 計算しなくても不適であることが分かる. 何故かというと,
最大値から最小値を引いているので, $M(a)-m(a)>0$ であるので, $a\leqq0$ となることはあり得ないからである.
(ii) $0 \leqq a \leqq 1$ のとき,
$M(a)-m(a)=a$
$(a^2-4a+5)-1=a$
$a^2-5a+4=0$
$(a-1)(a-4)=0$
$a=1, 4$
であるが, $0 \leqq a \leqq 1$ より $a=1$ である.
(iii) $1 \leqq a \leqq 2$ のとき,
$M(a)-m(a)=a$
$(a^2+1)-1=a$
$a^2-a=0$
$a(a-1)=0$
$a=0, 1$
であるが, $1 \leqq a \leqq 2$ より $a=1$ である.
前述の通り, (ii) および (iii) のどちらか一方は場合分けで $a=1$ を含まないで考察することができる. その場合は, 含まない方で「$* \leqq a \leqq *$ より不適」となる.
(iv) $2 \leqq a$ のとき,
$M(a)-m(a)=a$
$(a^2+1)-(a^2-4a+5)=a$
$3a-4=0$
$a=\dfrac43$
であるが, $2 \leqq a$ より不適.
(i), (ii), (iii), (iv) より, $a=1$ である.
受験勉強を始めたばかりの頃には難しいかも知れないが, 受験へ向かう上ではしっかりと理解しておくべき内容である.
授業で出題した問題（週末課題No.01）
世間では、新型コロナウィルスで大騒ぎなんですよね。
で、私の勤務校でも、休校になって、その対応で右往左往しているところです。
休校が続いているので、授業が始められない。
でも、そんな状況なのに、今年度から大学入学共通テストが始まる。
色々と分からない状況なのに、授業時間も少なくなってしまう・・・
こんな騒動がなくても使ってみようと思っていた Google Classroom を、
この機会に本格導入をしてみることにしました。
初期設定では、同じドメインからなら問題なく入れるのですが、
セキュリティ面から考えて、生徒に学校のドメインのアカウントを・・・
というのは少しむずかしいかと思いまして・・・
で、色々といじっていたら、なんとか Gmail で登録できるようになりました。
で、課題を配信してみました。
週末課題と、平日課題と、です。
週末課題は基本となる小問くらいの問題、
平日課題は内容をしっかりと理解してないと解けないしっかりとした問題。
$\LaTeX$ で問題の PDF ファイルを作成し、それを課題として配信する。
それを生徒がスマートフォン等で閲覧し、解答を作成する。
ノートやレポート用紙に手書きで作成したものを写真に撮影し、
それをそのまま Classroom で投稿したものを採点する。
そんな方法で、授業を少しずつでもしていこうかと考えています。
で、今日の問題。
「授業で出題した問題」というか、前述の通り Classroom で出題した問題。
週末課題
第 $1$ 問
$x^2+5xy+6y^2-x+y-12$ を因数分解せよ.
第 $2$ 問
次の式の分母を有理化せよ.
(1) $\dfrac{3}{2\sqrt3}$
(2) $\dfrac{2}{\sqrt5-1}$
(3) $\dfrac{4}{1+\sqrt2+\sqrt3}$
まあ、これくらいの問題であれば、教科書レベルなので、
誰でも出来るような問題、と言えるでしょう。
第 $2$ 問の (3) くらいの問題が載っている教科書なんて
なかなか見ることもないとは思いますが・・・
解答例
第 $1$ 問
$x^2+5xy+6y^2-x+y-12$
$= x^2+(5y-1)x+(6y^2+y-12)$
$= x^2+(5y-1)x+(2y+3)(3y-4)$
$= (x+2y+3)(x+3y-4)$.
第 $2$ 問 (1)
$\dfrac{3}{2\sqrt3}$
$= \dfrac{3\sqrt3}{2\sqrt3 \times \sqrt3}$
$= \dfrac{3\sqrt3}{6}$
$= \dfrac{\sqrt3}{2}$.
第 $2$ 問 (2)
$\dfrac{2}{\sqrt5-1}$
$=\dfrac{2(\sqrt5+1)}{(\sqrt5-1)(\sqrt5+1)}$
$=\dfrac{2(\sqrt5+1)}{5-1}$
$=\dfrac{2(\sqrt5+1)}{4}$
$=\dfrac{\sqrt5+1}{2}$.
第 $2$ 問 (3)
ここで別解を.
第 $1$ 問の因数分解ですが、これをそのまま解くのは、
数学（因数分解, たすき掛け）が苦手な人には難しい.
また, 入試問題でも見ることもないが,
更に変数が増えた問題が出題されたら...
例 $2x^2-2y^2-3z^2+3xy+7yz+zx-4x+5y-10z-3$ を因数分解せよ.
$2x^2-2y^2-3z^2+3xy+7yz+zx-4x+5y-10z-3$
$= 2x^2+(3y+z-4)x+(-2y^2+7yz-3z^2+5y-10z-3)$
$= 2x^2+(3y+z-4)x+\{-2y^2+(7z+5)y+(-3z^2-10z-3)\}$
$= 2x^2+(3y+z-4)x-\{2y^2-(7z+5)y+(z+3)(3z+1)\}$
$= 2x^2+(3y+z-4)x-(2y-z-3)(y-3z-1)$
$= (2x-y+3z+1)(x+2y-z-3)$.
もう, たすき掛けが苦手な人にはもう, 吐き気がしてくる...
$1$ 回目のたすき掛けだけでも出来るようになれば,
この問題を解くことができるようになる別解がある.
第 $1$ 問で, $6$ 個の項の中から以下のように抜き出して因数分解をする.
$x$, $y$ の $2$ 次式
これらの右辺を見比べて, 答えを導き出す.
最終的な解答は $(ax+by+c)(dx+ey+f)$ という形であり,
それらの部分的な解答が $(ax+by)(dx+ey)$ だったり,
$(ax+c)(dx+f)$ だったり, $(by+c)(ey+f)$ だったり.
そう考えると, 自ずと解答として
$(x+2y+3)(x+3y-4)$ が得られる.
この解法を用いると, 前述の例は...
$x$, $y$ の $2$ 次式
$2x^2+3xy-2y^2 = (2x-y)(x+2y)$
$y$, $z$ の $2$ 次式
$-2y^2+7yz-3z^2 = -(2y-z)(y-3z)$
$z$ の $2$ 次式
$-3z^2-10z-3 = -(3z+1)(z+3)$
で、私の勤務校でも、休校になって、その対応で右往左往しているところです。
休校が続いているので、授業が始められない。
でも、そんな状況なのに、今年度から大学入学共通テストが始まる。
色々と分からない状況なのに、授業時間も少なくなってしまう・・・
こんな騒動がなくても使ってみようと思っていた Google Classroom を、
この機会に本格導入をしてみることにしました。
初期設定では、同じドメインからなら問題なく入れるのですが、
セキュリティ面から考えて、生徒に学校のドメインのアカウントを・・・
というのは少しむずかしいかと思いまして・・・
で、色々といじっていたら、なんとか Gmail で登録できるようになりました。
で、課題を配信してみました。
週末課題と、平日課題と、です。
週末課題は基本となる小問くらいの問題、
平日課題は内容をしっかりと理解してないと解けないしっかりとした問題。
$\LaTeX$ で問題の PDF ファイルを作成し、それを課題として配信する。
それを生徒がスマートフォン等で閲覧し、解答を作成する。
ノートやレポート用紙に手書きで作成したものを写真に撮影し、
それをそのまま Classroom で投稿したものを採点する。
そんな方法で、授業を少しずつでもしていこうかと考えています。
で、今日の問題。
「授業で出題した問題」というか、前述の通り Classroom で出題した問題。
週末課題
第 $1$ 問
$x^2+5xy+6y^2-x+y-12$ を因数分解せよ.
第 $2$ 問
次の式の分母を有理化せよ.
(1) $\dfrac{3}{2\sqrt3}$
(2) $\dfrac{2}{\sqrt5-1}$
(3) $\dfrac{4}{1+\sqrt2+\sqrt3}$
まあ、これくらいの問題であれば、教科書レベルなので、
誰でも出来るような問題、と言えるでしょう。
第 $2$ 問の (3) くらいの問題が載っている教科書なんて
なかなか見ることもないとは思いますが・・・
解答例
第 $1$ 問
$x^2+5xy+6y^2-x+y-12$
$= x^2+(5y-1)x+(6y^2+y-12)$
$= x^2+(5y-1)x+(2y+3)(3y-4)$
$= (x+2y+3)(x+3y-4)$.
第 $2$ 問 (1)
$\dfrac{3}{2\sqrt3}$
$= \dfrac{3\sqrt3}{2\sqrt3 \times \sqrt3}$
$= \dfrac{3\sqrt3}{6}$
$= \dfrac{\sqrt3}{2}$.
第 $2$ 問 (2)
$\dfrac{2}{\sqrt5-1}$
$=\dfrac{2(\sqrt5+1)}{(\sqrt5-1)(\sqrt5+1)}$
$=\dfrac{2(\sqrt5+1)}{5-1}$
$=\dfrac{2(\sqrt5+1)}{4}$
$=\dfrac{\sqrt5+1}{2}$.
第 $2$ 問 (3)
$\dfrac{4}{1+\sqrt2+\sqrt3}$
$=\dfrac{4(1+\sqrt2-\sqrt3)}{(1+\sqrt2+\sqrt3)(1+\sqrt2-\sqrt3)}$
$=\dfrac{4(1+\sqrt2-\sqrt3)}{1+2\sqrt2+2-3}$
$=\dfrac{4(1+\sqrt2-\sqrt3)}{2\sqrt2}$
$=\sqrt2(1+\sqrt2-\sqrt3)$
$=\sqrt2+2-\sqrt6$.
ここで別解を.
第 $1$ 問の因数分解ですが、これをそのまま解くのは、
数学（因数分解, たすき掛け）が苦手な人には難しい.
また, 入試問題でも見ることもないが,
更に変数が増えた問題が出題されたら...
例 $2x^2-2y^2-3z^2+3xy+7yz+zx-4x+5y-10z-3$ を因数分解せよ.
$2x^2-2y^2-3z^2+3xy+7yz+zx-4x+5y-10z-3$
$= 2x^2+(3y+z-4)x+(-2y^2+7yz-3z^2+5y-10z-3)$
$= 2x^2+(3y+z-4)x+\{-2y^2+(7z+5)y+(-3z^2-10z-3)\}$
$= 2x^2+(3y+z-4)x-\{2y^2-(7z+5)y+(z+3)(3z+1)\}$
$= 2x^2+(3y+z-4)x-(2y-z-3)(y-3z-1)$
$= (2x-y+3z+1)(x+2y-z-3)$.
もう, たすき掛けが苦手な人にはもう, 吐き気がしてくる...
$1$ 回目のたすき掛けだけでも出来るようになれば,
この問題を解くことができるようになる別解がある.
第 $1$ 問で, $6$ 個の項の中から以下のように抜き出して因数分解をする.
$x$, $y$ の $2$ 次式
$x^2+5xy+6y^2 = (x+2y)(x+3y)$
$x$ の $2$ 次式 ($x$ 以外の文字を含まない)
$x^2-x-12 = (x-4)(x+3)$
$y$ の $2$ 次式 $(y$ 以外の文字を含まない)
$6y^2+y-12 = (2y+3)(3y-4)$
最終的な解答は $(ax+by+c)(dx+ey+f)$ という形であり,
それらの部分的な解答が $(ax+by)(dx+ey)$ だったり,
$(ax+c)(dx+f)$ だったり, $(by+c)(ey+f)$ だったり.
そう考えると, 自ずと解答として
$(x+2y+3)(x+3y-4)$ が得られる.
この解法を用いると, 前述の例は...
$x$, $y$ の $2$ 次式
$2x^2+3xy-2y^2 = (2x-y)(x+2y)$
$y$, $z$ の $2$ 次式
$-2y^2+7yz-3z^2 = -(2y-z)(y-3z)$
$z$ の $2$ 次式
$-3z^2-10z-3 = -(3z+1)(z+3)$
これらの右辺を見て, 符号を揃えるために $-$ をかける.
$-(2y-z)(y-3z) = (2y-z)(-y+3z)$
$-(3z+1)(z+3) = (3z+1)(-z-3)$
以上より, $(2x-y+3z+1)(x+2y-z-3)$ を得る.
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