授業で出題した問題（平日課題 No.03）

今住んでいるところのゴミ出しは、燃えるゴミが月・木なのだが、最近の在宅勤務が原因で、だいぶ朝の行動が遅くなっています。一応、起床時間はなんとか保っているのだが、先週中は教科書配布の為に、１０時に合わせて出勤していたので、ゴミ出しをすっかり忘れてしまっていまして・・・で、連休に入ってしまったため、今日のゴミ出しが出来ず・・・




今日は、平日課題の解説。内容としては、三角形の面積の公式の証明。

センター試験なんかでも、数学 I の三角比と数学 A の平面幾何のどっちを使うのかを判断する必要がある（正確には、どっちを使うのか判断するのではなく、どっちも使いこなす必要がある）ので、そこら辺を意識した問題です。




以下の面積の公式を証明せよ. 特に断らない限り, $\triangle\mathrm{ABC}$ の $3$ 辺の長さを $\mathrm{BC}=a$, $\mathrm{CA}=b$, $\mathrm{AB}=c$ と表し, その面積 $S$ は
$S=\dfrac12bc\sin A$
で与えられることは用いてもよい.

(1) $\triangle\mathrm{ABC}$ の内接円の半径を $r$ とするとき,
$S=\dfrac12r(a+b+c)$

Proof.



上記のように, 頂点 A, B, C それぞれと内心 I とを結ぶ.

$\triangle\mathrm{XYZ}$ の面積を $S_{XYZ}$ と表すとする. すると,
$S_{IBC}=\dfrac12ar$,
$S_{ICA}=\dfrac12br$,
$S_{IAB}=\dfrac12cr$
であるので,
$S=S_{IBC}+S_{ICA}+S_{IAB}=\dfrac12ar+\dfrac12br+\dfrac12cr=\dfrac12r(a+b+c)$
より成り立つ${}_{\square}$



(2) $\triangle\mathrm{ABC}$ の半径を $R$ とするとき,
$S=\dfrac{abc}{4R}$

Proof.

正弦定理 $\dfrac{a}{\sin A}=2R$ より $\sin A=\dfrac{a}{2R}$ であるので,
$S=\dfrac12bc\sin A=\dfrac12bc \times \dfrac{a}{2R} = \dfrac{abc}{4R}$
が成り立つ${}_{\square}$