Bertrand's postulateの証明 4

先日、 Google Nest Hub を購入した。

アパートの電化製品で、スマートホームに対応したデバイスは一切ないのだが・・・


何故購入したのかと言うと、安くなっていたから。通常 15,400 円であるものが、ヨドバシさんで 9,900 円となっていたので。使い方としては、キッチンにでも置いて使おうかと思っています。


ここ最近、在宅勤務のおかげで、家で料理をする機会が非常に増えています。で、料理をする際に、音楽を流しながら、なんて出来たらいいな、と思いまして。ついでに、フォトフレームとしての使い方も出来るので、今までの写真（から厳選したもの）を表示させようかと思いまして。

フォトフレームとしての使い方はとても簡単でした。Google アカウントでログインし、そのアカウントの Google フォトに保存されているアルバムの中から、表示させるアルバムを選択するだけで、あとは Wi-Fi 経由でそのアルバムの中から写真をランダムに表示させてくれます。

次に、音楽を再生させる方法について、Google さんの Play Music と 2018 年にサービスを開始した YouTube Music があるのですが・・・

昔、Play Music にクレジットカードを登録したことがあり、そのおかげで月額料金なしで最 5 万曲まで、自分の持っている音楽ファイルを保存することができます（現時点で手持ちの曲は、ゲームのサントラの 1 秒程度の効果音の“曲”も含めてもまだ 16,000 曲くらい）。それをインターネットにつながる環境であれば、いつでも聴くことができるのです。なので、通話はフィーチャーフォン（ガラケー）愛用者の私ですが、データ専用端末として mineo のデータ専用 SIM を使っている iPhone6 をカーオーディオに接続して、車内で楽しむことができます。

ちなみに、 mineo の節約モード（低速モード）では理論値で 200kbps なのですが、 Play Music 自体は速度に合わせて自動に通信速度を調整してくれるらしいので、節約中でも問題なく聴くことができます。


で、 YouTube Music に乗り換える際に、問題が 1 つありまして・・・

考えてみたら、 Play Music を使ってたアカウントと Google フォトを使ってるアカウント、別な Google アカウントなんですよね・・・


って事で、どっちかに統一することを考えました。 Google Nest Hub では、スマホやタブレットからアカウントを切り替えることはできますが、今までフォトフレームとして写真を表示してたところで「OK Google、音楽をかけて」と言ったところで、アカウントの切り替えまではしてくれないので・・・


で、どっちに統一しようかと考えました。統一する為には、一方にアップしてあるファイルを、他方にもアップして、設定するだけでいいのですが・・・

フォトを移すには、写真のファイルを全てアップし直すだけ・・・かと思っていたら、困ったことが 2 つありました。まず、写真のファイルがどこにあるのか分かりづらい・・・外付け HDD にある写真も全てアップしてあったので、写真を探しきれない・・・そしてもう 1 つの問題が、フォトフレームで表示させる写真を選ぶのに、昨日作業をしたときに 3 時間くらいかかった・・・

音楽を移すことを考えると、最も問題になるのが・・・非常に時間がかかってしまう・・・前述の通り、 16,000 曲くらい持っているので、それをアップロードし直す、というのは恐ろしいくらいの時間がかかりそう・・・


まあ、急がないので、（後々は Play Music と統合されるだろうけど）YouTube Music に乗り換える必要があるので、この際だから Google フォトを使ってるアカウントに統合することにしました。まあ、何時間かかるかは分かりませんが・・・





Bertrand's postulateの証明の続きの続きの続き。

Proposition.2. で示した式
$\log[x]! = \displaystyle\sum_{e \le x}\psi\left(\dfrac{x}{e}\right)$
より, $\sum$ を使わずに表すと
$\log[x]! = \psi(x)+\psi\left(\dfrac{x}{2}\right)+\psi\left(\dfrac{x}{3}\right)+\psi\left(\dfrac{x}{4}\right)+ \cdots$
であり, $x$ に $\dfrac{x}{2}$ を代入すると
$\log\left[\dfrac{x}{2}\right]! = \psi\left(\dfrac{x}{2}\right)+\psi\left(\dfrac{x}{4}\right)+\psi\left(\dfrac{x}{6}\right)+\psi\left(\dfrac{x}{8}\right)+\cdots$
である.

また,
$\psi(x) = \displaystyle\sum_{n \le x}\Lambda(n)$
より,
$\psi\left(\dfrac{x}{i}\right) \ge \psi\left(\dfrac{x}{i+1}\right)$
であり, また $e$ が大きくなっていき, $x<e$ となると $n \le \dfrac{x}{e}$ となる正の整数は存在しないので,
$\psi\left(\dfrac{x}{e}\right) = 0$
となる.

これらより,
$\log R(x) = \log\dfrac{[x]!}{\left[\frac{x}{2}\right]!^2}$
$= \log[x]! - 2\log\left[\dfrac{x}{2}\right]!$
$= \psi(x)-\psi\left(\dfrac{x}{2}\right)+\psi\left(\dfrac{x}{3}\right)-\psi\left(\dfrac{x}{4}\right)+\cdots$
であるので,
$\psi(x)-\psi\left(\dfrac{x}{2}\right) \le \log R(x) \le \psi(x)-\psi\left(\dfrac{x}{2}\right)+\psi\left(\dfrac{x}{3}\right) \cdots (3)$
が成り立つ.

Lemma.2 ($R(x) \le 6^{\frac{x}{2}}$) より
$\psi(x)-\psi\left(\dfrac{x}{2}\right) \le \log R(x) \le \log 6^{\frac{x}{2}} = \dfrac{x}{2}\log 6$
即ち
$\psi(x)-\psi\left(\dfrac{x}{2}\right) \le \dfrac{x}{2}\log6 \cdots (4)$
が成り立つ. この $x$ に, $\dfrac{x}{2}$, $\dfrac{x}{4}$, $\dfrac{x}{8}$, $\dots$ を代入すると
$\psi(x)-\psi\left(\dfrac{x}{2}\right) \le \dfrac{x}{2}\log6$
$\psi\left(\dfrac{x}{2}\right)-\psi\left(\dfrac{x}{4}\right) \le \dfrac{x}{4}\log6$
$\psi\left(\dfrac{x}{4}\right)-\psi\left(\dfrac{x}{8}\right) \le \dfrac{x}{8}\log6$
$\psi\left(\dfrac{x}{8}\right)-\psi\left(\dfrac{x}{16}\right) \le \dfrac{x}{16}\log6$
$\vdots$
であり, これらの和をとると,
$\psi(x) \le \dfrac{x}{2}\log6 + \dfrac{x}{4}\log6 + \dfrac{x}{8}\log6 + \dfrac{x}{16}\log6 + \cdots$
$= \left(\dfrac12+\dfrac14+\dfrac18+\dfrac1{16}+\cdots\right)x\log6$
$= \dfrac{\frac12}{1-\frac12}x\log6$
$= x\log6$,
即ち
$\psi(x) \le x\log6 \cdots (5)$
が成り立つ.

Lemma.1. より
$\dfrac{2^{x-1}}{x+1} \le R(x)$,
(3) より
$\log R(x) \le \psi(x)-\psi\left(\dfrac{x}{2}\right)+\psi\left(\dfrac{x}{3}\right)$
であるので,
$\log \dfrac{2^{x-1}}{x+1} \le \pi(x)-\psi\left(\dfrac{x}{2}\right)+\psi\left(\dfrac{x}{3}\right)$
$\log 2^{x-1}-\log(x+1) \le \psi(x)-\psi\left(\dfrac{x}{2}\right)+\psi\left(\dfrac{x}{3}\right)$
$(x-1)\log 2-\log(x+1) \le \psi(x)-\psi\left(\dfrac{x}{2}\right)+\psi\left(\dfrac{x}{3}\right)$
ここで, (5) で $x$ に $\dfrac{x}{3}$ を代入すると
$\psi\left(\dfrac{x}{3}\right) \le \dfrac{x}{3}\log6$
であるので,
$(x-1)\log2-\log(x+1) \le \psi(x)-\psi\left(\dfrac{x}{2}\right)+\dfrac{x}{3}\log6$
$\psi(x)-\psi\left(\dfrac{x}{2}\right) \ge (x-1)\log2-\log(x+1)-\dfrac{x}{3}\log6$
$= x \log2-\log 2-\log(x+1)-\dfrac{x}{3}\log6$
$= \dfrac{x}{3}(3\log2-\log6)-(\log2+\log(x+1))$
$= \dfrac{x}{3}\log\dfrac{4}{3}-\log2(x+1)$
即ち
$\psi(x)-\psi\left(\dfrac{x}{2}\right) \ge \dfrac{x}{3}\log\dfrac{4}{3}-\log2(x+1) \cdots (6)$
を得る.