Bertrand's postulateの証明 3

本日、緊急事態宣言の延長が確定したようですが・・・

そもそもの緊急事態宣言自体が遅かった、というのが根底にあるとか、そんな事は今更言ってはいけないのでしょうけど・・・

まあ、現状の私としては、出来ることをするまでですが。



最近、アパートにいる時間が長くなり、料理をする時間が増えていまして、今まではやらなかった事、時間がなくて出来なかったことなど、色々と画策していました。


普段、アパートでは玄米を食べていました。もう７、８年前くらいに象印の精米機 BT-AF05を買ったので、それ以来、、精米して直ぐに炊飯した方が美味しいので、ということで白米ではなく玄米で購入したりしていたのですが・・・最近の炊飯器って、大抵は玄米炊飯もできますよね・・・

って事で、玄米を炊いて食べてたりしていたので、なかなか精米機を使う機会もなかったのですが・・・


毎年、１ヶ月くらいは精米して食べてる時期がありました。玄米で食べるのも、我慢の限界で・・・ではなく、米糠が欲しくて、っていうことです。

そう、糠漬けを作るために、米糠をとっていたのです。


ただ糠床は、毎日混ぜないと、乳酸菌が死んでダメになってしまうものです。なので、毎日混ぜていたのですが、残念ながら、遠征で４日間とか不在になることもありまして・・・

って事で例年、夏休み中に糠床がダメになってしまって、糠床を処分して、それから糠床を諦めて・・・

なんて感じで、糠床を１年毎に作っていたりしたのです。


で、この在宅勤務期間を利用して、今年の糠床を作りました。とりあえず、きゅうりが美味しく漬かりました。今日取り出して、次は大根を漬けてみましたので、また２、３日後が楽しみですね。





さて、少し間が開いたけど、Bertrand's postulate の証明の続きの続き。

ここらへんからが、だいぶ面倒くさくなってくる・・・




von Mangoldt function（フォン・マンゴルト関数）$\Lambda$ を
$\Lambda(n) =
\begin{cases}
\log p & (n=p^k, p は素数) \\
0 & (上以外)
\end{cases}$
で定義する. 具体的にいくつか具体例を挙げると,
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
~~n~~ & ~~\Lambda(n)~~ \\
\hline
1 & 0 \\
\hline
2 & \log 2 \\
\hline
3 & \log 3 \\
\hline
4 & \log 2 \\
\hline
5 & \log 5 \\
\hline
\end{array}
~~~
\begin{array}{|c|c|}
\hline
~~n~~ & ~~\Lambda(n)~~ \\
\hline
6 & 0 \\
\hline
7 & \log 7 \\
\hline
8 & \log 2 \\
\hline
9 & \log 3 \\
\hline
10 & 0 \\
\hline
\end{array}
~~~
\begin{array}{|c|c|}
\hline
~~n~~ & ~~\Lambda(n)~~ \\
\hline
11 & \log 11 \\
\hline
12 & 0 \\
\hline
13 & \log 13 \\
\hline
14 & 0 \\
\hline
15 & 0 \\
\hline
\end{array}
\]
となっている.

「$d|n$」は「$d$ が $n$ を割り切る」, 即ち「$d$ は $n$ の約数である」といういことを表す.

Proposition.1.
von Mongoldt function $\Lambda$ に対し,
$\log n = \displaystyle\sum_{d|n}\Lambda(d)$
が成り立つ.

Proof.
$n$ を素因数分解した結果を $n=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\dots p_i^{k_i}$ と表すと,
$\log n = \log (p_1^{k_1}p_2^{k_2}\dots p_i^{k_i})$
$= k_1\log p_1 + k_2\log p_2 + \cdots + k_i\log p_i$
$= \displaystyle\sum_{j=1}^{k_1}\log p_1 + \displaystyle\sum_{j=1}^{k_2}\log p_2 + \cdots + \displaystyle\sum_{j=1}^{k_i}\log p_i$
$= \displaystyle\sum_{j=1}^{k_1}\Lambda(p_1^{j}) + \displaystyle\sum_{j=1}^{k_2}\Lambda(p_2^{j}) + \cdots +
\displaystyle\sum_{j=1}^{k_i}\Lambda(p_i^{j})$
$= \displaystyle\sum_{d|n}\Lambda(d)$
より, 成り立つ${}_{\square}$

続いて, 素数 $p$ に対して,
$\theta(x) = \displaystyle\sum_{p \le x}\log p$
と定義する. また, 正の実数 $x$ に対して
$\psi(x)=\displaystyle\sum_{n \le x}\Lambda(n)$
と定義する.


$\theta(x)$ は, $x$ 以下の素数の対数の和であるので, この $\theta(x)$ に対して, $\theta(x)-\theta\left(\dfrac{x}{2}\right)>0$ であることを証明できれば, $x$ 以下の素数の個数と $\dfrac{x}{2}$ 以下の素数の個数が異なる, 即ち Bertrand's postulate の証明が出来たことになる.

Ploposition.2.
$\log[x]! = \displaystyle\sum_{e \le x}\psi\left(\dfrac{x}{e}\right) \cdots (2)$
が成り立つ.

Proof.
$\log[x]! = \log(1 \times 2 \times \cdots \times ([x]-1) \times [x])$
$= \displaystyle\sum_{n \le x}\log n$
$= \displaystyle\sum_{n \le x}\sum_{d|n}\Lambda(d)$

ここで, $n \le x$ かつ $d|n$ のときの和であるので, $de \le x$ のときであるので,
$\displaystyle\sum_{n \le x}\sum_{d|n}\Lambda(d) = \displaystyle\sum_{de \le x}\Lambda(d)$
である.

また,
$\displaystyle\sum_{de \le x}\Lambda(d) = \displaystyle\sum_{e=1}^{[x]}\sum_{d=1}^{\left[\frac{x}{e}\right]}\Lambda(d)$
$= \displaystyle\sum_{e \le x}\sum_{d \le \frac{x}{e}}\Lambda(d)$
$= \displaystyle\sum_{e \le x}\psi\left(\dfrac{x}{e}\right)$
である.

以上より,
$\log[x]! = \displaystyle\sum_{e \le x}\psi\left(\dfrac{x}{e}\right)$
が成り立つ${}_{\square}$

続きはこちら。