Bertrand's postulateの証明 2

今日も勤務校に行ってきました。
祝日なのですが、だからこそ今日しか来れない、
なんていう保護者もいるでしょうから・・・

それにしても、合計で8時間も待っているのは辛い。

なんてことを書こうと思っていたのですが、
昨日からまとめていた Bertrand's postulate の証明の
原稿をまとめていたら、日付が変わっていました。





そんなわけで、Bertrand's postulateの証明の続き。
今日は内容が少な目です。




Lemma.2.
任意の $x \ge 1$ に対して, $R(x) \le 6^{\frac{x}2}$ が成り立つ.


Lemma.1. の証明より,

(i) $[x]$ が偶数のとき,
$R(x) \le 2^{2k} \le 2^{[x]} < 2^{x}$
であり,
$2=2^{\frac12}<6^{\frac12}$
であるので
$R(x) < 2^{x} < (6^{\frac12})^x = 6^{\frac{x}2}$
より, 成り立つ.

(ii) $[x]$ が奇数のとき, 同様に
$R(x) = {}_{2k+1}\mathrm{C}_{k}(k+1) < 2^{2k}(k+1)$
である.

$[x]=2k+1$ より $2k=[x]-1 \le x-1$ であるので,
$2^{2k}(k+1) \le 2^{x-1}(k+1)$
である.

また,
$2^{x-1}(k+1)= 2^{x}\times\dfrac{k+1}{2}$
である.

二項定理より
$\left(1+\dfrac12\right)^k = {}_{k}\mathrm{C}_{0} \times 1^k + {}_{k}\mathrm{C}_{1} \times 1^{k-1} \times \dfrac12 + {}_{k}\mathrm{C}_{2} \times 1^{k-2} \times \left(\dfrac12\right)^2 + \cdots$
$\ge 1+\dfrac{k}{2} = \dfrac{k+2}{2} > \dfrac{k+1}{2}$
であるので,
$2^{x}\times\dfrac{k+1}{2} < 2^{x}\left(1+\dfrac12\right)^k$
である.

$[x]=2k+1$ より
$2k = [x]-1$
$2k \le x-1$
$k \le \dfrac{x-1}2 < \dfrac{x}{2}$
であるので,
$2^{x}\left(1+\dfrac12\right)^k < 2^{x}\left(1+\dfrac12\right)^{\frac{x}{2}}$
である.

あとは,
$2^{x}\left(1+\dfrac12\right)^{\frac{x}{2}} = 4^{\frac{x}{2}} \times \left(\dfrac{3}{2}\right)^{\frac{x}{2}} = 6^{\frac{x}{2}}$
である.

以上より, $R(x) < 6^{\frac{x}{2}}$ が成り立つ.


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