というか、今週中は毎日行ってきます。
休校中ということもあり、在宅勤務になっているのですが・・・
生徒にはリクルートのスタディサプリで課題を出しています。
授業ができない分、動画を見て、ノートにまとめて、確認テストを受けて・・・
という事で、授業の代わりとして扱おう、というものです。
でも、個人的な感想として、数学に関してはいまいち・・・
本気で上の大学を目指すようなレベルの人には、はっきり言って足りないし、
下のレベルの生徒には、所詮は動画なので、分からないところは放置してしまう。
なので、ちょっと使いづらいんですよね・・・
でも、かと言って1人1人の質問にスタディサプリのメッセージ機能で答える、
なんて事はもっと現実的ではないでしょうし・・・
そんなわけで今週、保護者の送迎の上で、教科書の配布をしています。
正面玄関に車で来て、クラスを名前を聞いて、その生徒の
教科書セットを持ってきて、生徒や保護者は車から降りないで渡す、
というやり方で対応しているのですが・・・
まあ、大変ですよね。
2学年の教室は3階にあるので、そこから毎回持ってくる、
なんていうやり方で昨日はやっていました。
引き籠もり生活では、スマホの歩数計が20歩とかなっていたのに、
昨日はそれだけで7,000歩超え、上がった階数は34階・・・
(どちらも iPhone のヘルスケア調べ)
流石にこれでは死んでしまう、ということで、事前に調査をして・・・
Google フォームで、事前にいつ取りに来るかを確認して、
その日に取りに来る生徒の分を台車&エレベータを使って下ろしておく。
フォームで答えていないで突然来た人への対応のために、
3階に1人残して、確認して持ってくる。
そんなやり方に変更して、今日は昨日よりも楽でした。
なんてったって、上がった階数が19階でしたから。
明日、昭和の日で祝日なのですが、同様に出勤します。
むしろ、祝日だからこそ来れる保護者もいるでしょうし。
もう、体がバッキバキなんですけどね・・・
しばらくは、最近勉強している内容の話。
Bertrand's Postulate(ベルトランの仮説)の証明について。
そもそも、Bertrand's Postulateとは、以下のような仮説である。
$1$ より大きい任意の実数 $x$ に対し, $x<p\le 2x$ を満たす素数 $p$ が存在する.
例えば...
$x=3$ とすると, $3<p\le6$ を満たす素数 $p=5$ が存在する.
$x=8$ とすると, $8<p\le16$ を満たす素数 $p=11$, $13$ が存在する.
この仮設は、1850年に Pafnuty Lvovich Chebyshev によって証明された。
ただ、これはガンマ関数
$\Gamma(x) = \displaystyle\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{t}dt$
を用いた高度なものであり、ガンマ関数自体が高校では学ばないものであるので・・・
で、その後に Paul Erdos が高校生のときに初等的な証明を与えた、と言われている。
そこで、その証明について書かれているものを探して、その論文(レポート?)を読んでみた。その内容を覚書として、順を追ってまとめていきたいと思う。
今日は第1回。
Lemma(補題)1 の証明まで。
$[x]$ はガウス関数とする, 即ち, $[x]$ で, $x$ を超えない最大の整数とする.
具体的には
$[3] = 3, ~~~~~ [4.2] = 4, ~~~~~ [\sqrt{123}] = 11$
である.
これ以降, 多種の文字が出てくるが, $x$ 以外は特に断らない限り自然数(正の整数)とする.
Lemma.1.
$1$ より大きい $x$ に対し,
$
R(x) = \frac{[x]!}{([\frac{x}2]!)^2}
$
とすると, 以下が成り立つ :
$
\frac{2^{x-1}}{x+1} \le R(x) \le 2^{x-1}(x+1)
$
Proof.
高校の数学 II で学ぶ二項定理
$
(x+y)^n = {}_{n}\mathrm{C}_{0}x^n+{}_{n}\mathrm{C}_{1}x^{n-1}y+{}_{n}\mathrm{C}_{2}x^{n-2}y^{2}+\cdots+{}_{n}\mathrm{C}_{r}x^{n-r}y^{r}+\cdots+{}_{n}\mathrm{C}_{n-2}x^{2}y^{n-2}+{}_{n}\mathrm{C}_{n-1}xy^{n-1}+{}_{n}\mathrm{C}_{n}y^{n}
$
において, $x=y=1$ を代入すると,
$
2^n={}_{n}\mathrm{C}_{0}+{}_{n}\mathrm{C}_{1}+{}_n\mathrm{C}_{2}+\cdots+{}_{n}\mathrm{C}_{r}+\cdots+{}_{n}\mathrm{C}_{n-2}+{}_{n}\mathrm{C}_{n-1}+{}_{n}\mathrm{C}_{n}
$
である.
(i) $[x]$ が偶数のとき, 整数 $k$ を用いて $[x]=2k$, $\left[\dfrac{x}{2}\right]=k$ と表すことができる. これより,
$R(x) = \dfrac{[x]!}{([\frac{x}{2}]!)^2} = \dfrac{(2k)!}{(k!)^2} ={}_{2k}\mathrm{C}_{k}$
である.
ここで, ${}_{2k}\mathrm{C}_{r}$ の中で最大となるのは ${}_{2k}\mathrm{C}_{k}$ であるので,
$2^{2k}={}_{2k}\mathrm{C}_{0}+{}_{2k}\mathrm{C}_{1}+{}_{2k}\mathrm{C}_{2}+\cdots+{}_{2k}\mathrm{C}_{r}+\cdots+{}_{2k}\mathrm{C}_{2k-2}+{}_{2k}\mathrm{C}_{2k-1}+{}_{2k}\mathrm{C}_{2k} <(2k+1)_{2k}\mathrm{C}_{k}$
であるので,
$\dfrac{2^{2k}}{2k+1}<{}_{2k}\mathrm{C}_{k}$
である.
ここで, $[x]=2k$ より $x-1 \le 2k \le x$ であるので, $2^{x-1} \le 2^{2k}$,
$\dfrac{1}{x+1}\le\dfrac{1}{2k+1}$ であるので,
$\dfrac{2^{x-1}}{x+1} \le \dfrac{2^{2k}}{2k+1}$が成り立つ.
以上より,
$\dfrac{2^{x-1}}{x+1} \le \dfrac{2^{2k}}{2k+1} < {}_{2k}\mathrm{C}_{k} = R(x)$
であるので, 左の不等号が成り立つ.
同様に, 二項係数 ${}_{n}\mathrm{C}_{r}$ は正なので, ${}_{n}\mathrm{C}_{r} \le 2^{n}$ である.
これより,
${}_{2k}\mathrm{C}_{k} \le 2^{2k}$
が成り立つ.
ここで, $[x]=2k$ より $2k-1 \le x-1 < 2k$ であり, また $x>1$ より $x+1>2$ であるので,
$2^{2k}=2^{2k-1} \times 2 < 2^{x-1} \times (x+1)$
である.
以上より,
$R(x) = {}_{2k}\mathrm{C}_{k} \le 2^{2k} < 2^{x-1}(x+1)$
であるので, 右の不等号が成り立つ.
(ii) $[x]$ が奇数のとき, 整数 $k$ を用いて $[x]=2k+1$, $\left[\dfrac{x}{2}\right]=k$ と表すことができる. これより,
$R(x)=\dfrac{[x]!}{([\frac{x}{2}]!)^2}
= \dfrac{(2k+1)!}{(k!)^2}
= \dfrac{(2k+1)!}{(k!)^2} \times \dfrac{k+1}{k+1}
= \dfrac{(2k+1)!}{k!(k+1)!}\times(k+1)
= {}_{2k+1}\mathrm{C}_{k} (k+1)$
である.
(i) と同様に, 二項定理より
$2^{2k+1}={}_{2k+1}\mathrm{C}_{0}+{}_{2k+1}\mathrm{C}_{1}+\dots+{}_{2k+1}\mathrm{C}_{r}+\dots+{}_{2k+1}\mathrm{C}_{2k}+{}_{2k+1}\mathrm{C}_{2k+1}$
である. ここで, 二項係数の重要な性質
${}_{n}\mathrm{C}_{r}={}_{n}\mathrm{C}_{n-r}$
より,
$2^{2k+1} = 2{}_{2k+1}\mathrm{C}_{0}+2{}_{2k+1}\mathrm{C}_{1}+\dots+2{}_{2k+1}\mathrm{C}_{k-1}+2{}_{2k+1}\mathrm{C}_{k}$
$2^{2k} = {}_{2k+1}\mathrm{C}_{0}+{}_{2k+1}\mathrm{C}_{1}+\dots+{}_{2k+1}\mathrm{C}_{k-1}+{}_{2k+1}\mathrm{C}_{k}$
である.
二項係数の最大値より
$2^{2k} = {}_{2k+1}\mathrm{C}_{0}+{}_{2k+1}\mathrm{C}_{1}+\dots+{}_{2k+1}\mathrm{C}_{k-1}+{}_{2k+1}\mathrm{C}_{k} < {}_{2k+1}\mathrm{C}_{k}(k+1) = R(x)$
である. また, $1<x$ より
$2<x+1$
$\dfrac{1}{x+1} < \dfrac{1}{2}$
であり, 更に $[x]=2k+1$ より
$x-1 < 2k+1 \le x$
$2^{x-1} < 2^{2k+1}$
であるので,
$\dfrac{2^{x-1}}{x+1} = \dfrac{1}{x+1} \times 2^{x-1} < \dfrac{1}{2} \times 2^{2k+1} = 2^{2k}$
である.
以上より,
$\dfrac{2^{x-1}}{x+1} < 2^{2k} < R(x)$
であるので, 左の不等号が成り立つ.
また,
$2^{2k} = {}_{2k+1}\mathrm{C}_{0}+{}_{2k+1}\mathrm{C}_{1}+\dots+{}_{2k+1}\mathrm{C}_{k-1}+{}_{2k+1}\mathrm{C}_{k} \ge {}_{2k+1}\mathrm{C}_{k}$
より,
$R(x) = {}_{2k+1}\mathrm{C}_{k}(k+1)<2^{2k}(k+1)$
が成り立つ.
また, $[x]=2k+1$ より $2k<[x]<x-1$, $k \le x$ より $k+1 \le x+1$ であるので,
$2^{2k}(k+1) < 2^{x-1}(x+1)$が成り立つ.
以上より,
$R(x) < 2^{2k}(k+1) < 2^{x-1}(x+1)$
であるので, 右の不等号が成り立つ.
(i), (ii) より, Lemma.1 が成り立つ${}_{\square}$
続きはこちら。
0 件のコメント:
コメントを投稿