大阪教育大（２０１６年・後期）

最初にブログを作ってから、しばらく設定の方法とか調べたり、仕事が忙しかったりで、放置してました。

気が向いたので、更新します。

今日は大阪教育大の、分野としては整数の問題ですね。




自然数 $n$ に対して, $a_n=3n^2+28n+30$, $b_n=3n+24$ とする.
$a_n$ と $b_n$ の最大公約数を $D_n$ とい, $S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^nD_k$ とする.

(1) $D_1$, $D_2$, $D_3$ と $D_6$ を求めよ.

(2) $S_{12}$ と $S_{20}$ を求めよ.

(3) $S_n$ が $60$ の倍数となる, $100$ 以下の自然数 $n$ をすべて求めよ.

(1) 

自然数 $x$, $y$ に対し, $x$ と $y$ の最小公倍数を $\gcd(x, y)$ と表す. 

定義より, 

$D_n = \gcd(a_n, b_n)$ 

$= \gcd(3n^2+28n+30, 3n+24)$

$= \gcd(4n+30, 3n+24)$ 

$= \gcd(3n+24, n+6)$ 

$= \gcd(n+6, 6)$ 

$= \gcd(n, 6)$ 

であるので, 

$D_1 = 1$, 

$D_2 = 2$, 

$D_3 = 3$, 

$D_4 = 2$, 

$D_5 = 1$, 

$D_6 = 6$ 

を得る. 

(2) 

(1) より, $D_n$ は長さ $6$ で循環することが分かるので, 

$S_6 = 1+2+3+2+1+9 = 15$, 

$S_{12} = S_6 \times 2 = 15 \times 2 = 30$, 

$S_{20} = S_6 \times 3 + D_1 + D_2 = 15 \times 3 + 1 + 2 = 48$. 

(3) 

$k$ を非負整数とすると, 

$S_{6k} = 15k ~~ (k \neq 0)$ 

$S_{6k+1} = 15k+1$ 

$S_{6k+2} = 15k+3$ 

$S_{6k+3} = 15k+6$ 

$S_{6k+4} = 15k+8$ 

$S_{6k+5} = 15k+9$ 

であるので, $S_n$ が $60$ の倍数になる為には $n=6k$ かつ $k$ は $4$ の倍数のときであるので, $n$ は $24$ の倍数である. 

よって, 求める自然数 $n$ は $n=24$, $48$, $72$, $96$.