気長に見ていってください。
今日は徳島大学の理系の問題、今回も整数の問題です。
整式 $P(x)$ が条件「$x$ が整数ならば, $P(x)$ の値は整数となる」を満たすとき, $P(x)$ を整数値整式という. また, $a$, $b$, $c$, $d$ を定数とし, $f_1(x)=x$, $f_2(x)=\displaystyle\frac12x(x-1)$, $f_3(x)=\displaystyle\frac16x(x-1)(x-2)$ とする.
(1)
$P(x)=ax^2+bx+c$ が整数値整式であるための必要十分条件は, 次の (A) であることを示せ.
(A) $P(x)$ は整数 $m_0$, $m_1$, $m_2$ を用いて $m_0+m_1f_1(x)+m_2f_2(x)$ という形に表せる.
(2)
$P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ が整数値整式であるための必要十分条件は, 次の条件 (B) であることを示せ.
(B) $P(x)$ は整数 $m_0$, $m_1$, $m_2$, $m_3$ を用いて $m_0+m_1f_1(x)+m_2f_2(x)+m_3f_3(x)$ という形に表せる.
(1)
$x$ が整数のとき $f_1(x)$ は整数である.
$x$ が整数のとき, $x$, $x-1$ は連続する $2$ つの整数であるので, $x(x-1)$ は $2$ の倍数である.
よって, $x$ が整数のとき $f_2(x)$ は整数である.
以上より, $P(x)=m_0+m_1f_1(x)+m_2f_2(x)$ は整数値整式である.
$P(x)$ が整数値整式であるとき, $P(0)$, $P(1)$, $P(2)$ は整数である.
また,
$f_1(0) = 0$, $f_1(1) = 1$, $f_1(2) = 2$,
$f_2(0) = 0$, $f_2(1) = 0$, $f_2(2) = 1$
である.
$P(x)=m_0+m_1f_1(x)+m_2f_2(x)$ とおくとき, $m_0$, $m_1$, $m_2$ が整数であることを示す.
定義より
$P(0) = m_0+m_1f_1(0)+m_2f_2(0)$
$m_0 = P(0)$,
$P(1) = m_0+m_1f_1(1)+m_2f_2(1)$
$m_1 = P(1)-m_0 = P(1)-P(0)$,
$P(2) = m_0+m_1f_1(2)+m_2f_2(2)$
$m_2 = P(2)-2m_1-m_0 = P(2)-2P(1)+P(0)$
と表せるので, $m_0$, $m_1$, $m_2$ は整数である.
以上より, 必要十分条件であることが示された${}_{\square}$
(2)
$x$ が整数のとき $f_1(x)$ は整数である.
$x$ が整数のとき, $x$, $x-1$ は連続する $2$ つの整数であるので, $x(x-1)$ は $2$ の倍数である.
よって, $x$ が整数のとき $f_2(x)$ は整数である.
$x$ が整数のとき, $x$, $x-1$, $x-2$ は連続する $3$ つの整数であるので, $x(x-1)(x-2)$ は $2$ の倍数かつ $3$ の倍数である.
よって, $x$ が整数のとき $f_3(x)$ は整数である.
以上より, $P(x)=m_0+m_1f_1(x)+m_2f_2(x)+m_3f_3(x)$ は整数値整式である.
$P(x)=m_0+m_1f_1(x)+m_2f_2(x)+m_3f_3(x)$ とおくとき, $m_0$, $m_1$, $m_2$, $m_3$ が整数であることを示す. 定義より
$P(0) = m_0+m_1f_1(0)+m_2f_2(0)+m_3f_3(0)$
$m_0 = P(0)$,
$P(1) = m_0+m_1f_1(1)+m_2f_2(1)+m_3f_3(1)$
$m_1 = P(1)-P(0)$,
$P(2) = m_0+m_1f_1(2)+m_2f_2(2)+m_3f_3(2)$
$m_2 = P(2)-2P(1)+P(0)$,
$P(3) = m_0+m_1f_1(3)+m_2f_2(3)+m_3f_3(3)$
$m_3 = P(3)-3P(2)+3P(1)-P(0)$
と表せるので, $m_0$, $m_1$, $m_2$, $m_3$ は整数である.
以上より, 必要十分条件であることが示された${}_{\square}$
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