大阪市立大学・文系（２０１６年）

ちょくちょくと問題を問いています。

今回は、整数と数列の融合問題です。
整数として解いていけそうにも思いますが、最初に思いついたのは数学的帰納法による証明だったので・・・


２０１６年の、大阪市立大学の文系の問題です。


$x$, $y$ を整数とするとき, 次の問いに答えよ.
(1) $x^2+y^2$ が $3$ で割り切れるとき, $x$ と $y$ はともに $3$ の倍数であることを示せ.
(2) $x^2+y^2$ が $27$ で割り切れるとき, $x$ と $y$ はともに $9$ の倍数であることを示せ.
(3) $n$ を正の整数とする. $x^2+y^2$ が $3^{2n-1}$ で割り切れるとき, $x$ と $y$ はともに $3^n$ の倍数であることを示せ.

(1) 

整数 $n$ に対し, 

$n \equiv 0 \pmod3$ 

$\Longrightarrow n=3k$ 

$\Longrightarrow n^2 = 3 \times 3k^2$ 

$\Longrightarrow n^2 \equiv 0 \pmod3$ 

$n \not\equiv 0 \pmod3$ 

$\Longrightarrow n=3k\pm1$ 

$\Longrightarrow n^2 = 3(3k^2\pm2k)+1$ 

$\Longrightarrow n^2 \equiv 1 \pmod3$ 

であるので, 

$x^2+y^2 \equiv 0 \pmod3$ 

$\iff x^2 \equiv 0$ かつ $y^2 \equiv 0 \pmod3$ 

$\iff x \equiv 0$ かつ $y \equiv 0 \pmod3$ 

より成り立つ${}_{\square}$ 

(2) 

$x^2+y^2$ が $27$ で割り切れるとき, $3$ で割り切れるので (1) より $x$, $y$ は $3$ の倍数である. 

これより整数 $x_0$, $y_0$ を用いて $x=3x_0$, $y=3y_0$ と表すことができる. 

よって, 

$x^2+y^2 \equiv 0 \pmod{27}$ 

$(3x_0)^2+(3y_0)^2 \equiv 0 \pmod{27}$ 

$9x_0^2+9y_0^2 \equiv 0 \pmod{27}$ 

$x_0^2+y_0^2 \equiv 0 \pmod3$ 

である. 

再び (1) より, $x_0$, $y_0$ は $3$ の倍数であるので, $x$, $y$ は共に $9$ の倍数である${}_{\square}$ 

(3) 

$n=k$ のとき成り立つと仮定する. 

「$x^2+y^2$ が $3^{2k-1}$ で割り切れるとき, $x$ と $y$ はともに $3^k$ の倍数である」が成り立つ. 

$x^2+y^2$ が $3^{2k+1}$ で割り切れるとき, $3^{2k-1}$ で割り切れるので, $x$, $y$ はともに $3^k$ の倍数である. 

このとき, 整数 $x_0$, $y_0$ を用いて $x=3^kx_0$, $y=3^ky_0$ と表すことができる. 

これより, 

$x^2+y^2 \equiv 0 \pmod{3^{2k+1}}$ 

$(3^kx_0)^2+(3^ky_0)^2 \equiv 0 \pmod{3^{2k+1}}$ 

$3^{2k}x_0^2+3^{2k}y_0^2 \equiv 0 \pmod{3^{2k+1}}$ 

$x_0^2+y_0^2 \equiv 0 \pmod3$ 

であり, (1) より $x_0$, $y_0$ ともに $3$ の倍数である. 

よって, $x$, $y$ はともに $3^{k+1}$ の倍数であるので, $n=k+1$ のときも成り立つ. 

$n=1$ のときは (1) より成り立つ. 

以上より, 全ての正の整数 $n$ に対して成り立つ${}_{\square}$