京都大学・理系（２０１７年）

昨日、寮に帰ってきたら、生徒から渡されたアンケート。
留学生の授業で、説明の日本語が分からないので何の為のアンケートか分かりませんが、Stanford大学と一緒に何かやってる関係のものらしいです。

アンケートくらいは別に問題なく答えるのですが、困ったことが・・・


Do you like American food?
アメリカの料理は好きですか？

はい→どんな料理が好きですか？


そんな、改めて聞かれると、アメリカ料理って何がそうなんでしょうかね？？

ドーナツとかベーグルとかパンケーキとか？
私はパンと呼ばれる類のものはあまり好きではない・・・

カリフォルニアロール？
これって、正確にアメリカ発祥なのか、自信はない・・・

ホットドッグとかピッツァ？
これもパンなので、あまり・・・

フライドポテト？
まあ、好きですけど、向こうではフレンチフライ、フレンチって・・・

って考えていった結果、１つの答えにたどり着きました。
ステーキがあるじゃないか！
安いステーキを食べるなら、アメリカの赤身のステーキの方が美味かった！！







で、今日は京都大学の第５問。
数IIIの微積の、典型的な問題、ではないでしょうか？
面積の最小値っていう事は、積分と微分と、両方使う問題ですね。
指数関数が入ってくると対数関数が入ってきて、その積の微分とかやり始めると計算が面倒になるので、私はあまり好きではないのですが・・・






$a\ge 0$ とする. $0\le x\le\sqrt2$ の範囲で曲線 $y=xe^{-x}$, 直線 $y=ax$, 直線 $x=\sqrt2$ によって囲まれた部分の面積を $S(a)$ とする. このとき, $S(a)$ の最小値を求めよ. （ここで「囲まれた部分」とは, 上の曲線または直線のうち $2$ つ以上で囲まれた部分を意味するものとする. ）





(1)
共有点を調べる.
$
\begin{cases}
y=xe^{-x} \\
y=ax
\end{cases}
$
とすると,
$xe^{-x} = ax$
$x(e^{-x}-a) = 0$
$x = 0, -\log a$
である.

$-\log a=\sqrt2$ とすると
$-\log a = \sqrt2$
$\log a = -\sqrt2$
$a = e^{-\sqrt2}$,
$-\log a=0$ とすると
$-\log a = 0$
$\log a = 0$
$a = 1$
である.

$0\le a<e^{-\sqrt2}$ のとき, グラフは以下の通り.

この範囲では, $S(a)$ は単調減少であるので, $S(a)$ の最小値となることはない.

$1<a$ のとき, グラフは以下の通り.

この範囲では, $S(a)$ は単調増加であるので, $S(a)$ の最小値となることはない.

$e^{-\sqrt2}\le a\le 1$ のとき, グラフは以下の通り.

よって,
$S(a)$
$= \int_0^{-\log a}(xe^{-x}-ax)dx+\int_{-\log a}^{\sqrt2}(ax-xe^{-x})dx$
$= \biggl[-xe^{-x}-e^{-x}-\frac12ax^2\biggr]_0^{-\log a}-\biggl[-xe^{-x}-e^{-x}-\frac12ax^2\biggr]_{-\log a}^{\sqrt2}$
$= -a\{(\log a)^2-2\log a+1\}+(\sqrt2+1)e^{-\sqrt2}+1$
$= -a(\log a-1)^2+(\sqrt2+1)e^{-\sqrt2}+1$
を得る.
$\frac{d}{da}S(a)$
$= -(\log a-1)^2-2a(\log a-1)\times \frac1a$
$= -(\log a-1)^2-2(\log a-1)$
$= -(\log a-1)(\log a+1)$
より, $\frac{d}{da}S(a)=0$ となるのは
$\log a+1 = 0$
$a = e^{-1}$
である. これより, 増減表は以下の通り.

\[
\begin{array}{c||c|c|c|c|c}
\hline
a & e^{-\sqrt2} & \cdots & e^{-1} & \cdots & 1 \\
\hline
\frac{d}{da}S(a) & & - & & + & \\
\hline
S(a) & & \searrow & S(e^{-1}) & \nearrow & \\
\hline
\end{array}
\]
よって, 最小値は
$S(e^{-1})$
$= -e^{-1}(\log e^{-1}-1)^2+(\sqrt2+1)e^{-\sqrt2}+1$
$= -4e^{-1}+(\sqrt2+1)e^{-\sqrt2}+1$.