京都大学・理系（２０１７年）

今朝、携帯電話に警報が。
北朝鮮のミサイル発射を知らせる警報でした。

そろそろ国が本気になって威嚇なりなんなりしないといけないと思うのは私だけでしょうか？
今までは“ナイフをちらつかせている”だったり“当たらない範囲で振り回している”だったのが、ここ最近は“当たらない範囲”だけどこっちに向かって突きつけて来てる、っていう感じでしょうか。

知り合いでは、もう北朝鮮にミサイルを撃ち込んで壊滅させろ、なんて言う人もいますけど、どこまで必要かは私には分かりませんね・・・






京都大学の４問目、幾何と三角比の複合問題です。
問題自体はオーソドックスな感じでしょうか。
(1) なんかは教科書レベルの内容ですし・・・




$\triangle ABC$ は鋭角三角形であり, $\angle A=\frac{\pi}3$ であるとする.
また $\triangle ABC$ の外接円の半径は $1$ であるとする.

(1) $\triangle ABC$ の内心を $P$ とするとき, $\angle BPC$ を求めよ.

(2) $\triangle ABC$ の内接円の半径 $r$ の取りうる値の範囲を求めよ.




(1)
三角形の内角の和より
$\angle ABC+\angle ACB$
$= \pi-\angle BAC$
$= \frac23\pi$
であり, $P$ は $\triangle ABC$ の内心なので
$\angle ABC = 2\angle PBC$
$\angle ACB = 2\angle PCB$
が成り立つ. これより
$2\angle PBC+2\angle PCB = \frac23\pi$
$\angle PBC+\angle PCB = \frac13\pi$
であるので,
$\angle BPC$
$= \pi-(\angle PBC+\angle PCB)$
$= \frac23\pi$.

(2)
正弦定理より
$\frac{BC}{\sin\angle BAC} = 2$
$BC = \sqrt3$
である.

(1) より, 点 $P$ は $B$, $C$ を両端とする円弧の一部の上を動くことが分かる.
$\angle PBC=\theta$ とおくと, $\triangle ABC$ は鋭角三角形であるので
$\frac{\pi}{12}<\theta<\frac{\pi}4$ であり,
$r$
$= PB \sin\angle PBC$
$= 2 \sin\angle PBC \sin\angle PCB$
$= 2\sin\theta\sin\left(\frac13\pi-\theta\right)$
$= \cos\left\{\theta-\left(\frac13\pi-\theta\right)\right\}-\cos\left\{\theta+\left(\frac13\pi-\theta\right)\right\}$
$= \cos\left(2\theta-\frac13\pi\right)-\cos\frac13\pi$
$= \cos\left(2\theta-\frac13\pi\right)-\frac12$
である.

$
\begin{array}{rcl}
\frac{\pi}{12} < & \theta & < \frac{\pi}4 \\
\frac{\pi}6 < & 2\theta & < \frac{\pi}2 \\
-\frac{\pi}6 < & 2\theta-\frac{\pi}3 & < \frac{\pi}6
\end{array}
$

より, この範囲での増減は以下の通り.

$
\begin{array}{c||c|c|c|c|c}
\phi & -\frac{\pi}6 & \dots & 0 & \dots & \frac{\pi}6 \\
\hline
\cos\phi & \frac{\sqrt3}2 & \nearrow & 1 & \searrow & \frac{\sqrt3}2
\end{array}
$

であるので,

$
\begin{array}{rcl}
\frac{\sqrt3}2 < & \cos\left(2\theta-\frac{\pi}3\right) & \le 1 \\
\frac{\sqrt3}2-\frac12 < & r & \le \frac12
\end{array}
$

を得る.