京都大学・理系（２０１７年）

昨日、某民放の２４時間やってる慈善番組の、募金のボランティアをしてきました。
どこぞのイオンの入り口で、募金をしてくれた方に「ありがとうございました」と声をかけ、番組ロゴの入った紙製の貯金箱を渡す。
そんな活動を１日、してきたのですが・・・

生徒会のボランティアと同じ活動をしましたけど、私の場合は仕事ですのでボランティアとは言えない感もありますが・・・



そういえば先日、ドローンを買ってみました。
まだ開けて、充電しただけで飛ばしていませんが。

何に使うの、とか問われると困るのですが、何かに使う機会があればいいかと思いまして・・・
仕事柄、なんだかんだで動画を撮ったり編集したりって、やろうと思えばいくらでもやる機会があるんですよね。
そんなわけでそのうち、色々と使ってみたいと思います。





で、今日は京都大学の問題の第３問。
三角関数からスタートして、後半はガッツリと整数の問題。
整数がカリキュラムに入ってきたときに整数の問題を大量にやったからか、私は整数の問題が比較的得意になったのですが、生徒にはだいぶ難しいんでしょうね・・・



$p$, $q$ を自然数, $\alpha$, $\beta$ を
$\tan\alpha = \frac1p$, $\tan\beta = \frac1q$
を満たす実数とする. このとき
$\tan(\alpha+2\beta) = 2$
を満たす $p$, $q$ の組 $(p, q)$ をすべて求めよ.





加法定理より
$\tan2\beta$
$= \frac{2\tan\beta}{1-\tan^2\beta}$
$= \frac{\frac2q}{1-\frac1{q^2}}$
$= \frac{2q}{q^2-1}$

$\tan(\alpha+2\beta)$
$= \frac{\tan\alpha+\tan2\beta}{1-\tan\alpha\tan2\beta}$
$= \frac{\frac1p+\frac{2q}{q^2-1}}{1-\frac1p\times\frac{2q}{q^2-1}}$
$= \frac{q^2-1+2pq}{pq^2-p-2q}$
である. これより
$\frac{q^2-1+2pq}{pq^2-p-2q} = 2$
$q^2-1+2pq = 2pq^2-2p-4q$
$-2pq^2+q^2+2pq+2p+4q-1 = 0$
$2pq^2-q^2-2pq-2p-4q+1 = 0$
$2p(q^2-q-1)-(q^2+4q-1) = 0$
$2p(q^2-q-1) = q^2+4q-1$
$p = \frac{q^2+4q-1}{2(q^2-q-1)}$
が成り立つ.

$p$ が自然数であるので, $q^2+4q-1$ は偶数, $q^2+4q$ は奇数である.
$q^2+4q = q(q+4)$
より, $q$ と $q+4$ の偶奇は一致するので, $q$ も奇数である.

$2$ 次関数 $f(x)=x^2+4x-1$, $g(x)=2(x^2-x-1)$ について,
$f(x) = (x+2)^2-5$
$g(x) = 2\left(x-\frac12\right)^2-\frac52$
であり, 共有点は
$2(x^2-x-1) = x^2+4x-1$
$2x^2-2x-2 = x^2+4x-1$
$x^2-6x-1 = 0$
$x = 3\pm\sqrt{10}$
である.

$p=\frac{f(q)}{g(q)}$ であるので, $p$ が自然数である為には $f(q)\ge g(q)$
である必要があるので, 必要条件としては $3-\sqrt{10}<q<3+\sqrt{10}$ である.

$q=1$ のとき,
$p$
$= \frac{1^2+4 \times 1-1}{2(1^2-1-1)}$
$= \frac{4}{-2}$
$= -2$
となるが, $p$ は自然数であるので不適.

$q=3$ のとき
$p$
$= \frac{3^2+4 \times 3-1}{2(3^2-3-1)}$
$= \frac{20}{10}$
$= 2$
より成り立つ.

$q=5$ のとき
$p$
$= \frac{5^2+4 \times 5-1}{2(5^2-5-1)}$
$= \frac{44}{38}$
$= \frac{22}{19}$
となるが, $p$ は自然数であるので不適.

以上より, $(p, q) = (2, 3)$ である.