京都大学・理系（２０１７年）

私は職務として寮監をやっているのですが・・・

昨晩、２２時に部屋をノックされ、出ると生徒がいました。
同室の生徒が、お腹が痛い、嘔吐もしている、ということで呼ばれて見に行くと・・・

明らかに、ただ事ではないような真っ白な顔をしている生徒がいまして・・・
これは私も経験がある、胃腸炎系の症状だと思われまして・・・

そんなわけで、夜間外来をやってる近くの病院へと連れて行くことに。
近く、と言っても車で３０分くらいかかるので、後部座席で生徒は苦しそうにしていましたが・・・


結論としては、急性胃腸炎でした。
お医者さんに何度も確認したのが、“感染性ではない”ということ。
寮に住んでて、これが感染性だったとしたら、もう翌日（今日）には蔓延している可能性が非常に高いので・・・

で、感染性ではない、ということだったので、寮に連れて帰ってきました。
帰宅したのが午前２時、起床したのが午前５時、それから本日は出勤です。

いやーっ、眠いんですけど・・・




って事で、今日は京都大学の２問目です。
空間ベクトルの問題なので、高校生の中には苦手な人がとても多いと思います。
図がイメージできない、図が描けない、ってのが原因のようですが・・・

私の場合、このような問題だったら、図は書かずに式だけでやってしまった方が楽な気がするんですよね。
もちろん、イメージする為に要所要所（直線上の点の位置関係）は図で考えますけど、全体の図は書かない事が多いですね。
まあ、大学・大学院と専門が代数だった、ってのもあるのかも知れませんけど。



四面体 $OABC$ を考える. 点 $D$, $E$, $F$, $G$, $H$, $I$ は, それぞれ辺 $OA$, $AB$, $BC$, $CO$, $OB$, $AC$ 上にあり, 頂点ではないとする. このとき, 次の問に答えよ.

(1) $\overrightarrow{DG}$ と $\overrightarrow{EF}$ が平行ならば $AE:EB=CF:FB$ であることを示せ.

(2) $D$, $E$, $F$, $G$, $H$, $I$ が正八面体の頂点となっているとき, これらの点は $OABC$ の各辺の中点であり, $OABC$ は正四面体であることを示せ.



(1)
位置ベクトルを $O(\overrightarrow{0})$, $A(\overrightarrow{a})$, $B(\overrightarrow{b})$, $C(\overrightarrow{c})$ とし,
$OD:DA = d:1-d$
$OG:GC = g:1-g$
$AE:EB = s:1-s$
$CF:FB = t:1-t$
とする. これより
$\overrightarrow{OD} = d\overrightarrow{a}$
$\overrightarrow{OG} = g\overrightarrow{c}$
$\overrightarrow{OE} = (1-s)\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}$
$\overrightarrow{OF} = t\overrightarrow{b}+(1-t)\overrightarrow{c}$
と表せる. これより
$\overrightarrow{DG} = -d\overrightarrow{a}+g\overrightarrow{c}$
$\overrightarrow{EF} = -(1-s)\overrightarrow{a}+(t-s)\overrightarrow{b}+(1-t)\overrightarrow{c}$
である. ここで $\overrightarrow{DG}$ と $\overrightarrow{EF}$ が並行であるので $\overrightarrow{DG}=k\overrightarrow{EF}$ を満たす実数 $k(\neq0)$ が存在する. よって
$k (t-s) = 0$
$t = s$
が成り立つ. よって,
$AE:EB$
$= s:1-s$
$= t:1-t$
$= CF:FB$
が成り立つ.

(2)
正八面体の各対辺は平行なので,
$\overrightarrow{DE} \parallel \overrightarrow{GF}$
$\overrightarrow{DH} \parallel \overrightarrow{IF}$
$\overrightarrow{EH} \parallel \overrightarrow{IG}$
が成り立つ. (1) と対称性より
$AD:DO = AE:EB$
$CG:GO = CF:FB$
$OD:DA = OH:HB$
$CI:IA = CF:FB$
$BE:EA = BH:HO$
$CI:IA = CG:GO$
が成り立つ. これより,
$OD:DA$
$= OH:HB$
$= AE:EB$
$= AD:DO$
となるので,
$OD:DA = 1:1$,
即ち点 $D$ は辺 $OA$ の中点であることが分かる. 更に対称性より $E$, $F$, $G$, $H$, $I$ も各辺の中点であることが分かる.

正八面体の一辺の長さを $a$ とすると,
$OD:OA = OH:OB = 1:2$
より $\triangle ODH$ と $\triangle OAB$ は相似であるので,
$AB = 2DH = 2a$,
対称性より, 四面体 $OABC$ の各辺は同様に $2a$ であるので,
四面体 $OABC$ は正四面体である.