京都大学・理系（２０１７年）

昨日で夏休みが終わり、本日より授業が始まりました。

先日、とある模試があって、それを３学年分、LaTeXに入力して解答を作ろうと、昨日から悪戦苦闘しているのですが・・・

１年生の分から、全く先に進みません。
この問題の解決方法が、全く思いつきません。
無理やり逃げようと思えば、なんとかなるものなのですが、それは面白くないので、なんとか解決できないのか・・・


一応言っておきますが、数学の問題ではなく、LaTeXの問題です。
他の方が作ってくれたstyleファイルを使っているので、そのファイルを調べないといけない状態でして・・・

そのファイル自体は問題なく使えているのですが、ちょっと変えたいところがありまして・・・
小問の問題番号の振り方を、現在の“1.”から“(i)”に変えたいのですが、どうしたらいいのか・・・

そんなところに悪戦苦闘し、まだまだ解決できていません。

片手間にやってる問題の方は、ちゃんと解けていますのでご心配なく。







では、今日から京都大学の理系の問題です。



$w$ を $0$ でない複素数, $x$, $y$ を $w+\frac1w=x+yi$ を満たす実数とする.

(1) 実数 $R$ は $R>1$ を満たす定数とする. $w$ が絶対値 $R$ の複素数全体を動くとき, $xy$ 平面上の点 $(x, y)$ の軌跡を求めよ.

(2) 実数 $\alpha$ は $0<\alpha<\frac{\pi}2$ を満たす定数とする. $w$ が偏角 $\alpha$ の複素数全体を動くとき, $xy$ 平面上の点 $(x, y)$ の軌跡を求めよ.



(1)
$w$ の偏角を $\theta$ とすると,
$w = R(\cos\theta+i\sin\theta)$
と表される. これより,
$w+\frac1w$
$= R(\cos\theta+i\sin\theta)+\frac1R\{\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)\}$
$= \left(R+\frac1R\right)\cos\theta+i\left(R-\frac1R\right)\sin\theta$
と表させるので,
$x = \left(R+\frac1R\right)\cos\theta$
$\frac{x}{R+\frac1R} = \cos\theta$

$y = \left(R-\frac1R\right)\sin\theta$
$\frac{y}{R-\frac1R} = \sin\theta$
が成り立つ. これより,
$\cos^2\theta+\sin\theta = 1$
$\left(\frac{x}{R+\frac1R}\right)^2+\left(\frac{y}{R-\frac1R}\right)^2 = 1$
$\frac{x^2}{\left(R+\frac1R\right)^2}+\frac{y^2}{\left(R-\frac1R\right)^2} = 1$
を得るので, 点 $(x, y)$ の軌跡は楕円
$\frac{x^2}{\left(R+\frac1R\right)^2}+\frac{y^2}{\left(R-\frac1R\right)^2} = 1$
である.

(2)
$|w|=r>0$ とすると,
$w = r(\cos\alpha+i\sin\alpha)$
と表される. これより,
$w+\frac1w$
$= r(\cos\alpha+i\sin\alpha)+\frac1r\{\cos(-\alpha)+i\sin(-\alpha)\}$
$= \left(r+\frac1r\right)\cos\alpha+i\left(r-\frac1r\right)\sin\alpha$
と表させるので,
$x = \left(r+\frac1r\right)\cos\alpha$
$\frac{x}{\cos\alpha} = r+\frac1r$
$\frac{x^2}{\cos^2\alpha} = r^2+2+\frac1{r^2}$

$y = \left(r-\frac1r\right)\sin\alpha$
$\frac{y}{\sin\alpha} = r-\frac1r$
$\frac{y^2}{\sin^2\alpha} = r^2-2+\frac1{r^2}$
が成り立つ.
この $2$ 式の差をとると,
$\frac{x^2}{\cos^2\alpha}-\frac{y^2}{\sin^2\alpha} = 4$
$\frac{x^2}{4\cos^2\alpha}-\frac{y^2}{4\sin^2\alpha} = 1$
を得る.

$0<\alpha<\frac{\pi}2$ より $\cos\alpha>0$ であり, $r>0$ より相加平均と相乗平均の関係より
$r+\frac1r \ge 2\sqrt{r \times \frac1r} = 2$
であるので,
$x = \left(r+\frac1r\right)\cos\alpha > 0$
である.

以上より, 求める軌跡は双曲線
$\frac{x^2}{4\cos^2\alpha}-\frac{y^2}{4\sin^2\alpha} = 1$  ($x>0$)
である.





高校生のときに、あまりこういう複素数の問題ってやった記憶がないんですよね・・・
それは気の所為なんですかね？
それとも私がサボタージュしてたのですかね？？