Y!mobileは、今や懐かしいPHSだったのですが、ほんの僅かながら安くなるってことでsoftbankにMNPで乗り換えました。
一応、PHSだと高速移動中の通話に難がある、ってのも理由の１つなのですが。
新生銀行の方は、TVCMでもやってる通り、ATMでの手数料が0円なので。
日常生活のお金は住信SBIネット銀行を使っていたのですが、むか～し、セブン銀行（セブンイレブンのATM）での手数料無料、って言ってた気がしたのに、よく調べたら無料の回数が決まっていて、毎月３回くらい手数料が発生していたようでして・・・
で、どちらも、Tポイントが貯まる、ってことで、Tポイントのカードを登録しようとしたのですが、考えてみたらTポイントカード、持ってなかった・・・
正確には大学院生のとき、山の下にあるローソンに毎日のように通っていたので、そのときに持ってたような気もするのですが・・・
ってことで、新しくTポイントカードを作るにあたり、調べました。
どのカードがいいのかな、と。
色々と比較しているサイトも多く、その人その人で違う結果なのですが、私はもう面倒になったので、Yahooカードにしました。
クレジット機能が付いてしまうのが難点ですが、会費等無料だし、使わないのでいいでしょう。
で、今日の問題。
長かった東京大学の問題も今回で最後。
東京大学の得意な、空間の回転体の体積の問題ですね。
点 $O$ を原点とする座標空間内で, 一辺の長さが $1$ の正三角形 $OPQ$ を動かす.
また, 点 $A(1, 0, 0)$ に対して, $\angle AOP$ を $\theta$ とおく.
ただし, $0^\circ\le\theta\le180^\circ$ とする.
(1) 点 $Q$ が $(0, 0, 1)$ にあるとき, 点 $P$ の $x$ 座標がとりうる値の範囲と, $\theta$ がとりうる値の範囲を求めよ.
(2) 点 $Q$ が平面 $x=0$ 上を動くとき, 辺 $OP$ が通過しうる範囲を $K$ とする. $K$ の体積を求めよ.
---解答例---
(1)
条件より, 点 $P$ の $z$ 座標は $\frac12$ である.
これより, 点 $P$ の $x$ 座標と $y$ 座標は
$x^2+y^2+\left(\frac12\right)^2 = 1$
$x^2+y^2 = \frac34$
が成り立つので, 点 $P$ の座標は $0^\circ\le\phi\le360^\circ$ である
角 $\phi$ を用いて
$\left(\frac{\sqrt3}2\cos\phi, \frac{\sqrt3}2\sin\phi, \frac12\right)$ と表すことができる.
これより, $x$ 座標のとりうる値の範囲は
$-\frac{\sqrt3}2\le x\le\frac{\sqrt3}2$ であり,
$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP} = (1, 0, 0)\cdot\left(\frac{\sqrt3}2\cos\phi, \frac{\sqrt3}2\sin\phi, \frac12\right)$
$1 \times 1 \times \cos\theta = \frac{\sqrt3}2\cos\phi$
$\cos\theta = \frac{\sqrt3}2\cos\phi$
である.
$-1\le\phi\le1$ より
$-\frac{\sqrt3}2\le\cos\theta\le\frac{\sqrt3}2$ であり,
$0^\circ\le\theta\le180^\circ$ であるので
$30^\circ\le\theta\le150^\circ$ である.
(2)
題意より, $K$ は以下の図形を $x$ 軸を中心に回転させた立体である.
よって, 求める体積を $V$ とすると,
$V = 2 \times \pi \int_0^{\frac{\sqrt3}2} \left\{\sqrt{1-x^2}^2-\left(\frac1{\sqrt3}x\right)^2\right\}dx$
$= 2\pi\int_0^{\frac{\sqrt3}2}\left(-\frac43x^2+1\right)dx$
$= 2\pi\biggl[-\frac49x^3+x\biggr]_0^{\frac{\sqrt3}2}$
$= 2\pi \left(-\frac{\sqrt3}6+\frac{\sqrt3}2\right)$
$= \frac23\sqrt3\pi$.
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