東京大学・理系（２０１７年）

職場の食堂のメニューを見てて、ずっと前から気になってた事がありまして・・・
昼食が“ご飯”ではないご飯物のとき、ハヤシライスとか炊き込みご飯とかのとき、
謎の“２８０”が付いているのですが、コレは何なのか？？
今月後半だけ見ても・・・
・大根菜飯２８０
・ハヤシライス２８０
・オムライス２８０

１人分の分量（２８０ｇ）ですかね？
でも、各自で盛り付けしてるのに、こんな一概には言えないので・・・

１人分のカロリーですかね？
でも、前述の通りなので、一概には言えない・・・

１人分の値段ですかね？
でも、ハヤシライスも大根菜飯も同じ値段になるのか？？

どれだとしても、他のメニューに表記されてないのも・・・





$k$ を実数とし, 座標平面上で次の $2$ つの放物線 $C$, $D$ の共通接線について考える.

$C: y=x^2+k$
$D: x=y^2+k$

(1) 直線 $y=ax+b$ が共通接線であるとき, $a$ を用いて $k$ と $b$ を表せ.
ただし $a\neq-1$ とする.

(2) 傾きが $2$ の共通接線が存在するように $k$ の値を定める. このとき, 共通接線が $3$ 本存在することを示し, それらの傾きと $y$ 切片を求めよ.




(1)
直線 $y=ax+b$ が $C$ に接するので,
$x^2+k = ax+b$
が重解をもつ.
この判別式を $D_C$ とすると,
$D_C = (-a)^2-4(k-b) = 0$
$a^2+4b = 4k$
が成り立つ.
同様に, $D$ に接するので,
$y^2+k = \frac1ay-\frac{b}a$
が重解をもつので,
$\left(-\frac1a\right)^2-4\left(k+\frac{b}a\right) = 0$
$1-4a^2k-4ab = 0$
$4a^2k+4ab = 1$
が成り立つ.

これらを連立する.
$
\begin{cases}
a^2+4b=4k \\
4a^2k+4ab=1
\end{cases}
$
$4a^2k+a(4k-a^2) = 1$
$a^3-4ka^2-4ka+1 = 0$
$(a+1)(a^2-a+1)-4ka(a+1) = 0$
$(a+1)\{a^2-(1+4k)a+1\} = 0$
これを解くと, $a\neq-1$ であるので
$a^2-(1+4k)a+1 = 0$
$4ak = a^2-a+1$
$k = \frac{a^2-a+1}{4a}$,
また,
$b$
$= k-\frac14a^2$
$= \frac{a^2-a+1}{4a}-\frac14a^2$
$= \frac{(a^2-a+1)-a^3}{4a}$
$= \frac{-a^3+a^2-a+1}{4a}$.

(2)
$a=2$ より
$k$
$= \frac{2^2-2+1}{4\times2}$
$= \frac38$
である.
これより, 共通接線は $a=-1$ と
$a^2-\left(1+4\times\frac38\right)a+1 = 0$
$2a^2-5a+2 = 0$
$(2a-1)(a-2) = 0$
$a = 2, \frac12$
である.
$a^2+4b = \frac32$
$b = \frac38-\frac14a^2$
より,
$a = -1 \Rightarrow b = \frac18$
$a = 2 \Rightarrow b = -\frac58$
$a = \frac12 \Rightarrow b = \frac5{16}$
となるので, 共通接線が $3$ 本存在し,
それらの傾き $m$ と $y$ 切片 $n$ は
$(m, n) = \left(-1, \frac18\right), \left(2, -\frac58\right), \left(\frac12, \frac5{16}\right)$
である.