東京大学・理系（２０１７年）

今日も東京大学の問題を解いたのですが・・・

今のカリキュラムになるときに整数が追加された（んだったっけかな・・・？）からか、ここ数年で整数の問題が面白くなってきました（当社比）。

この問題も、整数列（Fibonacci数列の類似）で、なかなか面白い性質を証明していますね。





$p=2+\sqrt5$ とおき, 自然数 $n=1, 2, 3, \dots$ に対して
$a_n=p^n+\left(-\frac1p\right)^n$
と定める. 以下の問いに答えよ. ただし設問 (1) は結論のみを書けばよい.

(1) $a_1$, $a_2$ の値を求めよ.

(2) $n \ge 2$ とする. 積 $a_1a_n$ を, $a_{n+1}$ と $a_{n-1}$ を用いて表せ.

(3) $a_n$ は自然数であることを示せ.

(4) $a_{n+1}$ と $a_n$ の最大公約数を求めよ.



(1)
まず,
$-\frac1p$
$= -\frac1{2+\sqrt5}$
$= -\frac{2-\sqrt5}{(2+\sqrt5)(2-\sqrt5)}$
$= -\frac{2-\sqrt5}{4-5}$
$= 2-\sqrt5$
である.
定義式より
$a_1$
$= (2+\sqrt5)^1-(2-\sqrt5)^1$
$= 4$,

$a_2$
$= (2+\sqrt5)^2+(2-\sqrt5)^2$
$= 9+4\sqrt5+9-4\sqrt5$
$= 18$.

(2)
$n\ge2$ のとき,
$a_1a_n$
$= \left\{p+\left(-\frac1p\right)\right\}\left\{p^n+\left(-\frac1p\right)\right\}^n$
$= p^{n+1}+p\left(-\frac1p\right)^n+p^n\left(-\frac1p\right)+\left(-\frac1p\right)^{n+1}$
$= p^{n+1}+\left(-\frac1p\right)^{n+1} - \left\{p^{n-1}+\left(-\frac1p\right)^{n-1}\right\}$
$= a_{n+1}-a_{n-1}$.

(3)
(1) より, $a_1$, $a_2$ は自然数である.

自然数 $k$ に対し, $a_1$, $a_2$, \dots, $a_k$ が自然数であると仮定する.
$n\ge2$ のとき, (2) より
$a_{k+1} = a_1a_k+a_{k-1}$
が成り立つ.
また, 自然数と自然数の積は自然数であり, 自然数と自然数の和も自然数であるので,
$a_{k+1}$ も自然数であることが分かる.

以上より, $a_n$ は自然数であることが分かる.

(4)
(2) より,
$a_{n+1} = 4a_n+a_{n-1}$
$a_n = 4a_{n-1}+a_{n-2}$
$\vdots$
$a_3 = 4a_2+a_1$
であり,
$a_2 = 4a_1 +2$
$a_1 = 2\times2$
である.
ユークリッドの互除法より, $a_{n+1}$ と $a_n$ の最大公約数は $2$ である.