東京大学・理系（２０１７年）

土曜日、夏休みの疲れが溜まってたからか、１８時間ほど寝て過ごしました。
日曜日、私が愛用しているオーダーメイド枕のメンテナンスに行って、そのままヨドバシカメラで空気清浄機を購入してきました。
部屋の中が少々埃っぽかったので、これで少しは環境が改善されるでしょう・・・かね？？

では、本日も東京大学の問題でいきましょう。




複素数平面上の原点以外の点 $z$ に対して, $w=\frac1z$ とする.

(1) $\alpha$ を $0$ でない複素数とし, 点 $\alpha$ と原点 $O$ を結ぶ線分の
垂直二等分線を $L$ とする. 点 $z$ が直線 $L$ 上を動くとき, 点 $w$ の軌跡は円から $1$ 点を除いたものになる. この円の中心と半径を求めよ.

(2) $1$ の $3$ 乗根のうち, 虚部が正であるものを $\beta$ とする. 点 $\beta$ と点 $\beta^2$ を結ぶ線分上を点 $z$ が動くときの点 $w$ の軌跡を求め, 複素数平面上に図示せよ.





(1)
点 $z$ は直線 $L$, 即ち点 $\alpha$ と原点 $O$ を結ぶ線分の垂直二等分線上を動くので,
$|z-\alpha| = |z-0|$
$|z-\alpha| = |z|$
が成り立つ.
また, 定義より
$w = \frac1z  (z\neq0)$
$z = \frac1w  (w\neq0)$
であるので, $\alpha\neq0$ より
$\left|\frac1w-\alpha\right| = \left|\frac1w\right|$
$|1-w\alpha| = 1$
$|w\alpha-1| = 1$
$\left|w-\frac1\alpha\right| = \left|\frac1\alpha\right|$
を得るので, 中心 $\frac1\alpha$, 半径 $\left|\frac1\alpha\right|$ の円のうち, $w\neq0$ の部分である.

(2)
$\beta$, $\beta^2$ を通る直線上を $z$ が動くときは, (1) において
$\alpha=-1$ としたものの一部となるので,
中心 $-1$, 半径 $1$ の円の一部である.

点 $\beta$ と点 $\beta^2$ を結ぶ線分上を動くとき,
$\mathrm{Re}(z) = -\frac12$
$\mathrm{Im}(z) = \sin\theta$  $\left(\frac23\pi\le\theta\le\frac43\pi\right)$
と表すことができる.
これより,
$\arg(z) = \theta$  $\left(\frac23\pi\le\theta\le\frac43\pi\right)$
$\arg(w) = \arg\left(\frac1z\right)$
$= -\theta$
であるので,
$-\frac43\pi\le\arg(w)\le-\frac23\pi$
である.

以上より, 下図の太線の部分（両端を含む）である.