東京大学・理系（２０１７年）

本日、部活の大会の引率で、１日出張でした。
何の競技かは伏せておきますが、会場では丸１日、暇で暇で・・・
そんなわけで、今日も昨年の東京大学の問題です。





座標平面上で $x$ 座標と $y$ 座標がいずれも整数である点を格子点という.
格子点上を次の規則に従って動く点 $P$ を考える.

(a) 最初に, 点 $P$ は原点 $O$ にある.
(b) ある時刻で点 $P$ が格子点 $(m, n)$ にあるとき, その $1$ 秒後の点 $P$ の位置は, 隣接する格子点 $(m+1, n)$, $(m, n+1)$, $(m-1, n)$, $(m, n-1)$ のいずれかであり, また, これらの点に移動する確率は, それぞれ $\frac14$ である.

(1) 点 $P$ が, 最初から $6$ 秒後に直線 $y=x$ 上にある確率を求めよ.

(2) 点 $P$ が, 最初から $6$ 秒後に原点 $O$ にある確率を求めよ.





(1)
直線 $y=x+b$ を $L_b$ と呼ぶことにする.

点 $P$ が直線 $L_n$ 上にあるとき, その $1$ 秒後に $L_{n+1}$ 上,
$L_{n-1}$ 上にある確率はそれぞれ $\frac12$, $\frac12$ である.

$6$ 秒後に直線 $y=x$, 即ち $L_0$ 上にある為には, $6$ 回の移動のうち $3$ 回は
添字が増え, 残りの $3$ 回は添字が減るということなので, 求める確率は

${}_6\mathrm{C}_3 \times \left(\frac12\right)^3 \times \left(\frac12\right)^3$
$= \frac{5}{16}$.


(2)
同様に, $6$ 秒後に直線 $y=-x$ 上にある確率も $\frac{5}{16}$ である. $6$ 秒後に原点 $O$ にいるということは $y=x$ 上かつ $y=-x$ 上にあるということであり, $y=x$ に平行な直線についてと $y=-x$ に平行な直線についての移動は独立なので, 求める確率は
$\frac{5}{16} \times \frac{5}{16} = \frac{25}{256}$.




単純に考えると、とても簡単な問題でしたね。
(2) を求める際に、(1) の結果をこんな風に使えるか、厳密な証明をしなくてはいけないとは思うのですが、ここら辺は曖昧な感じでもいいのかな、なんて思います。

一応、独立っていう考え方をしてやれば、証明も自明ですけどね・・・