東京大学・理系（２０１７年）

予定通り、東京大学の問題です。
更新ペースも予定通りです。

$\sin$ とか $\cos$ とか出てきて、数学 III の微積の問題、のように見えますが、数学 II までの内容で十分に解けますね。




実数 $a$, $b$ に対して
$f(\theta) = \cos3\theta+a\cos2\theta+b\cos\theta$
とし, $0<\theta<\pi$ で定義された関数
$g(\theta) = \frac{f(\theta)-f(0)}{\cos\theta-1} $
を考える.

(1) $f(\theta)$ と $g(\theta)$ を $x=\cos\theta$ の整式で表せ.

(2) $g(\theta)$ が $0<\theta<\pi$ の範囲で最小値 $0$ をとるための $a$, $b$ についての条件を求めよ.
また, 条件をみたす点 $(a, b)$ が描く図形を座標平面上に図示せよ.




---解答例---
(1)
加法定理より
$\cos2\theta = 2\cos^2\theta-1$,

$\cos3\theta = \cos(\theta+2\theta)$
$= \cos\theta\cos2\theta-\sin\theta\sin2\theta$
$= \cos\theta(2\cos^2\theta-1)-2\cos\theta(1-\cos^2\theta)$
$= 4\cos^3\theta-3\cos\theta$
より,
$f(\theta) = 4\cos^3\theta-3\cos\theta+a(2\cos^2\theta-1)+b\cos\theta$
$= 4x^3+2ax^2+(b-3)x-a$,

$g(\theta) = \frac{4x^3+2ax^2+(b-3)x-a-\{4+2a+(b-3)-a\}}{x-1}$
$= \frac{4(x^3-1)+2a(x^2-1)+(b-3)(x-1)}{x-1}$
$= 4(x^2+x+1)+2a(x+1)+(b-3)$
$= 4x^2+(2a+4)x+(2a+b+1)$.

(2)
$h(x)=g(\theta)$ とする.
$\begin{array}{c|ccc}
\theta & 0 & \rightarrow & \pi \\
\hline
x & 1 & \rightarrow & -1
\end{array}
$
より, $-1<x<1$ における $h(x)$ の最小値が $0$ となるときを考える.

$\frac{d}{dx}h(x) = 8x+(2a+4)$ より, $\frac{d}{dx}h(x)=0$ となるのは
$8x+(2a+4) = 0$
$8x = -2a-4$
$x = \frac{-a-2}4$
のときである.

case.1. $\frac{-a-2}4\le-1$ のとき, 即ち $a\ge2$ のとき, $-1<x<1$ において $h(x)$ は単調増加となるので最小値はない.
case.2. $-1<\frac{-a-2}4<1$ のとき, 即ち $-6<a<2$ のとき,
最小値は $h\left(\frac{-a-2}4\right)$ であるので,
$h\left(\frac{-a-2}4\right) = 0$
$(-a-2)^2+(2a+4)(-a-2)+4(2a+b+1) = 0$
$4b = a^2-4a$
case.3. $1\le\frac{-a-2}4$ のとき, 即ち $a\le-6$ のとき, $-1<x<1$ において $h(x)$ は単調減少となるので最小値はない.

以上より,
$b = \frac14a^2-a  (-6<a<2)$
$= \frac14(a-2)^2-1$
であり, 以下のとおり.