東北大学・理系（２０１７年）

昨日、昨年度勤務していた学校の、数学科の歓送迎会がありまして、仕事終わりに（正確には１０分ほど早く脱走して）参加しました。

実家から通ってた昨年度の勤務校だったので、歓送迎会の会場も実家のある市町村内。
色々と、だいぶ愚痴みたいな現状報告などをしてきました。

終わってから、温泉に行く予定だったのですが、盛り上がり過ぎて、とっくに温泉の入館時間を過ぎていまして・・・
仕方なく、温泉は諦めて、久しぶりにガストに行ってきました。
ガストで、山盛りポテトとドリンクバーを注文し、ずっと喋り続ける・・・
なんか、高校生みたいなことをしていましたが・・・

私は普段、炭酸水を飲んでいまして、ドリンクバーでも炭酸水を飲むのですが・・・
ガストの炭酸水、結構炭酸が強くていいですね。


そのまま実家に泊まり、昼過ぎに温泉に行ってから、日産で充電。
暇つぶしにX-TRAILの試乗をしてから帰ってきたのですが、ちょっと気になることが・・・


以前もちょっと書きましたが、私は寮監をしています。
で、ある部活の顧問もしているのですが、その部活の部員からLINE電話がありまして・・・
部員A「今、どこにいますか？」
私「今、地元にいる。どうした？」
部員A「部員Bが買いたいモノがあるって言ってるのですが、大きくて自転車では買ってこれないので乗せていってもらえませんか？」

もう、この時点で可怪しいとは思ったのですが・・・
この部員Bも私のLINEアカウントを知っているので、用件があるのであれば、直接言えばいいのに、何故部員Aからの電話なのか・・・
Bの方がどっちかと言うと真面目で、Aの方が調子のいい性格をしている、っていうことを踏まえると・・・


寮に戻ってくると、出てきたのはA、Bの他にもいて、部員が４人。
私「何を買いに行くの？」
部員A「あっ、いや、買い物はもう大丈夫なんで、◯◯のイオンまで送ってもらえますか？」


結局、最初からそういう目的だったわけでしょう。
顧問の１人として、甘やかすのはダメだという人もいるかも知れませんが、私は息抜きも必要だと思っています。
特に、遠方から来て寮で生活しているのだから、自分の練習時間とかの管理が出来ているなら、息抜きの為なら送って行くのですが・・・
実際、前にも同じイオンまで送ってあげたのですが・・・

なんか、そんな嘘までついて、って思うと、なんですかね・・・






さて、京都大学の問題も終わったので、今日からは東北大学に挑戦です。
ラベルでは微分積分（数学II）を設定しましたが、接線を求めるだけなので、微積は使わなくても解けるのですが・・・





$a$, $b$ を実数とする. $y=|x^2-4|$ で表される曲線を $C$ とし, $y=ax+b$ で表される直線 $l$ とする.

(1) $l$ が点 $(-2, 0)$ を通り, $l$ と $C$ がちょうど $3$ つの共有点をもつような
$a$, $b$ の条件を求めよ.

(2) $l$ と $C$ がちょうど $3$ つの共有点をもつような点 $(a, b)$ の軌跡を $ab$ 平面上に図示せよ.






---解答例---

(1)
直線 $l$ が点 $(-2,0)$ を通るので
$0 = -2a+b$
$b = 2a$
が成り立つ.

$C$ と $l$ は $(-2, 0)$ を共有点としてもつので, この他に $2$ つの共有点をもつ条件を考える.

直線 $l$ は
$y = ax+2a$
である.

グラフより, $3$ つの共有点は, $(-2, 0)$ と $-2<x<2$ の範囲に $1$ つと $2<x$ の範囲に $1$ つである.
$y = -x^2+4$
$\frac{d}{dx}y = -2x$
より, $x=-2$ における $y=-x^2+4$ の接線の傾きは $4$ であるので, $0<a<4$ を得る.

以上より
$b = 2a$  ($0<a<4$)
である.

(2)
$l$ と $C$ が $3$ つの共有点をもつには,
(a) $(-2, 0)$ を通るとき
(b) $(2, 0)$ を通るとき
(c) $-2<x<2$ のときに接するとき　
$3$ 通りがあり得る.

(a) のとき, (1) より
$b=2a$  ($0<a<4$)
である.

(b) のとき, (1) と同様に
$b = -2a$  ($-4<a<0$)
である.

(c) のとき, $x=t$ $(-2<t<2)$ における接線の方程式は
$y-(-t^2+4) = -2t(x-t)$
$y = -2tx+(t^2+4)$
より
$
\begin{cases}
a = -2t \\
b = t^2+4
\end{cases}
$
であるので,
$b = \left(-\frac12a\right)^2+4$
$b = \frac14a^2+4$  ($-4<a<4$)

以上より, 点 $(a, b)$ の軌跡は以下の通り.

ただし, 端点 $(0, 0)$, $(4, 8)$, $(-4, 8)$ は除く.