東北大学・理系（２０１７年）

先日、ドローンを買ったと書いたのですが、そのドローンを午前中、飛ばしてみました。
ちょっと使って、風に煽られることも多かったですが、それなりに面白いと思っていた矢先に・・・

突然、コントロール不能に陥り、どんどん勝手に上昇し、見えなくなってしまいました・・・
あぁ、私の７２８６円が・・・


まあ、こうなってしまった以上、今更後悔しても仕方ないので、気持ちを切り替えて、次はどんなドローンを買おうか・・・
えぇ、諦めていませんけど何か？？




本日は東北大学の第２問。
旧帝大のくせに（失礼な言い方）、確率だけの問題です。
まあ、条件付き確率ではありますが、確率単品で出てくるって、あまりないような気がするんですよね・・・





A 君と B 君はそれぞれ, $0$ から $5$ までの数字が $1$ つずつ書かれた $6$ 枚の
カードが入った箱を $1$ つもっている.
$2$ 人は, 自分の箱の中から無作為に $3$ 枚のカードを取り出して得点を競うゲーム
をする.
取り出された $3$ 枚のカードに $0$ が含まれていない場合の得点は $3$ 枚のカードに
書かれた数の平均値とし, $0$ が含まれている場合は残り $2$ 枚のカードに書かれた
数の合計とする.
このとき, 次の問いに答えよ.

(1) A 君, B 君の少なくとも一方が $0$ を取り出して, しかも双方とも得点が $3$ 点と
なる確率を求めよ.

(2) A 君の得点が B 君の得点より大きいときの, A 君の得点が整数ではない確率を求めよ.



---解答例---

(1)
$0$ を含まないで $3$ 点となるとき, $3$ 枚の組み合わせは $(1, 3, 5)$, $(2, 3, 4)$ の $2$ 通り, $0$ を含んで $3$ 点となるとき, $3$ 枚の組み合わせは
$(0, 1, 2)$ の $1$ 通りである.

よって, 求める確率は
$\frac{2\times1+1\times2+1\times1}{({}_6\mathrm{C}_3)^2}$
$= \frac{5}{20^2}$
$= \frac1{80}$.

(2)
確率分布を調べる.
得点 $X$ の確率を $P(X)$ とすると
$0$ を含まないとき,

$
\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c}
X & 2 & \frac73 & \frac83 & 3 & \frac{10}3 & \frac{11}3 & 4 \\
\hline
P(X)\times{}_6\mathrm{C}_3 & 1 & 1 & 2 & 2 & 2 & 1 & 1
\end{array}
$
$0$ を含むとき,

$
\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c}
X & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
\hline
P(X) \times {}_6\mathrm{C}_3 & 1 & 1 & 2 & 2 & 2 & 1 & 1
\end{array}
$
以上より, $X$ の確率分布は

$
\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||c}
X & 2 & \frac73 & \frac83 & 3 & \frac{10}3 & \frac{11}3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 計 \\
\hline
P(X) \times 20 & 1 & 1 & 2 & 3 & 2 & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 1 & 1 & 20
\end{array}
$

同点となる確率は
$\frac{1^2+1^2+2^2+3^2+2^2+1^2+2^2+2^2+2^2+2^2+1^2+1^2}{20^2}$
$= \frac{38}{400}$
$= \frac{19}{200}$
であるので, A 君の得点が B 君の得点より大きい確率は
$\left(1-\frac{19}{200}\right)\times\frac12 = \frac{181}{400}$
であり, A 君が非整数の得点で B 君の得点より大きい確率は
$\frac{1\times1+2\times2+2\times7+1\times9}{20^2} = \frac{28}{400}$
$= \frac7{100}$
であるので, 求める条件付き確率は
$\frac{\frac7{100}}{\frac{181}{400}} = \frac{28}{181}$.