先週のLHRの時間に面談をした。
その中で、警察官になるための勉強は何をしたらいいのかと聞かれ、まずは書店で問題集なり参考書なりを買って、それで勉強してみろ、と言ったのだが・・・
勤務校の、良くも悪くもある点、生徒の殆どが寮生。
更には毎日部活をしているので、書店に行く暇がない。
とはいえ、この手の買物は、自分で見て、これならできそうだ、ってものを見つけないと、無駄遣いになってしまうものですから・・・
そう思っていたら昨日のSHRで、生徒から「今日はオフになりました」と。
そんなわけで、書店巡りに行ってきました。
ただ、勤務校のある市の市内の書店って、そんなに大きい書店はないような・・・
って事で、隣の市まで連れて行きました。
書店を巡って、改めて気が付いた事なのですが・・・
高卒の警察官用って、そんなに出てないんですね・・・
大学の書籍部ではいっぱい見たけど、それは（当然ですが）大卒用であり、需要が高い場所だったからあったわけで・・・
一応、これで勉強してみる、って事で１冊買ってましたので、あとはどれだけ自分でできるかですね。
今日は東北大学の第３問。
整数の問題なのですが・・・
なんか、場合分けをしまくって、力技で無理やり解いた感が強いのですが・・・
他に、スマートな解法がありそうな気がするんですよね・・・
$a$, $b$, $c$ を $1$ 以上 $7$ 以下の互いに異なる整数とする.
(1) $2$ 次方程式 $ax^2+bx+c=0$ が有理数解をもつような組 $(a, b, c)$ の
総数を求めよ.
(2) $2$ 次方程式 $ax^2+bx+c=0$ が少なくとも $1$ つの整数解をもつような組
$(a, b, c)$ の総数を求めよ.
---解答例---
(1)
有理数解をもつ為には, 判別式 $D$ が 平方数となることが必要十分条件である.
$D = b^2-4ac$
であるので, $1\le a\le7$, $1\le c\le7$, $a\neq c$ より $4ac\ge8$ であるので, $b^2\ge9$ 即ち $b\ge3$ である.
case.1. $b=3$ のとき,
$9-4ac = 1$
$4ac = 8$
$ac = 2$
より $(a, c)=(1, 2)$, $(2, 1)$ を得る.
case.2. $b=4$ のとき,
$16-4ac = 4$
$4ac = 12$
$ac = 3$
より $(a, c)=(1, 3)$, $(3, 1)$ を得る.
case.3. $b=5$ のとき,
$25-4ac = 1, 9$
$4ac = 24, 16$
$ac = 6, 4$
より $(a, c) = (1, 6)$, $(2, 3)$, $(3, 2)$, $(6, 1)$, $(1, 4)$, $(4, 1)$
を得る.
case.4. $b=6$ のとき,
$36-4ac = 4, 16$
$4ac = 32, 20$
$ac = 8, 5$
より $(a, c) = (2, 4)$, $(4, 2)$, $(1, 5)$, $(5, 1)$ を得る.
case.5. $b=7$ のとき,
$49-4ac = 1, 9, 25$
$4ac = 48, 40, 24$
$ac = 12, 10, 6$
より $(a, c) = (2, 6)$, $(3, 4)$, $(4, 3)$, $(6, 2)$, $(2, 5)$, $(5, 2)$,
$(1, 6)$, $(2, 3)$, $(3, 2)$, $(6, 1)$ を得る.
以上より, 有理数解をもつ組 $(a, b, c)$ の総数は
$2+2+6+4+10 = 24$.
(2)
(1) のうち, 整数解をもつ組を調べる.
case.1. $b=3$ のとき,
$x = \frac{-3\pm\sqrt1}{2a}$
$= -\frac1a, -\frac2a$
より, $(a, b, c)=(1, 3, 2)$, $(2, 1, 3)$ となるので, $2$ 組である.
case.2. $b=4$ のとき,
$x = \frac{-4\pm\sqrt{4}}{2a}$
$= \frac{-2}{2a}, \frac{-6}{2a}$
$= -\frac1a, -\frac3a$
より, $(a, b, c)=(1, 4, 3)$, $(3, 4, 1)$ となるので, $2$ 組である.
case.3. $b=5$ のとき,
$x = \frac{-5\pm\sqrt{1}}{2a}$ $x = \frac{-5\pm\sqrt9}{2a}$
$= \frac{-4}{2a}$, $\frac{-6}{2a}$ $= \frac{-2}{2a}$, $\frac{-8}{2a}$
$= -\frac2a$, $-\frac3a$ $= -\frac1a$, $-\frac4a$
より, $(a, b, c)=(1, 5, 6)$, $(2, 5, 3)$, $(3, 5, 2)$, $(1, 5, 4)$, $(4, 5, 1)$
となるので, $5$ 組である.
case.4. $b=6$ のとき,
$x = \frac{-6\pm\sqrt4}{2a}$ $x = \frac{-6\pm\sqrt{16}}{2a}$
$= \frac{-4}{2a}$, $\frac{-8}{2a}$ $= \frac{-2}{2a}$, $\frac{-10}{2a}$
$= -\frac2a$, $-\frac4a$ $= -\frac1a$, $-\frac5a$
より $(a, b, c)=(2, 6, 4)$, $(4, 6, 2)$, $(1, 6, 5)$, $(5, 6, 1)$ となるので $4$ 組である.
case.5. $b=7$ のとき,
$x = \frac{-7\pm\sqrt{1}}{2a}$ $x = \frac{-7\pm\sqrt{9}}{2a}$ $x = \frac{-7\pm\sqrt{25}}{2a}$
$= \frac{-6}{2a}$, $\frac{-8}{2a}$ $= \frac{-10}{2a}$, $\frac{-4}{2a}$ $= \frac{-12}{2a}$, $\frac{-2}{2a}$
$= -\frac3a$, $-\frac4a$ $= -\frac5a$, $-\frac2a$ $= -\frac6a$, $-\frac1a$
より $(a, b, c)=(2, 7, 6)$, $(3, 7, 4)$, $(4, 7, 3)$, $(2, 7, 5)$, $(5, 7, 2)$,
$(1, 7, 6)$, $(2, 7, 3)$, $(3, 7, 2)$, $(6, 7, 1)$ となるので $9$ 組である.
以上より, 少なくとも $1$ つの整数解をもつような組 $(a, b, c)$ の総数は
$2+2+5+4+9 = 22$.
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