東北大学・理系（２０１７年）

本日、９月６日。
日産リーフの新型が発表されました。

進路指導部の会議が終わってからその事に気が付いたので、直ぐに検索したのですが・・・

噂では、バッテリー容量が今までの $30$ kWh から $60$ kWh に倍増する、と言われていたのですが、結果は $40$ kWh という数字になっていました・・・
なんか、半端な気がするのですが・・・
航続可能距離が $400$ km になる、って事でしたが、これもカタログでの距離でしょうから、実際はどうなるのか・・・
私の乗っている $24$ kWh のモデルで、カタログでは $228$ km なのですが、実際に私が乗ってての感覚では $150$ km 程度（エアコンを常時使ってたり、職場が山の上にあったりと影響が多いですが）なので、割合としては、

$\frac{228}{150}\doteqdot 65\%$

となっているので、この割合でいくとしたら、

$400 \times 65\% = 260$

より、$260$ km 程度となる、って事ですよね・・・
まあ、技術革新とか色々あって、この $65\%$ というのが向上しているだろうけど、仮に $80\%$ だとすると $320$ km となるわけです。
うーん、思っていたよりも、厳しいですね・・・




東北大学の４問目。
幾何ってラベルを付けましたけど、ベクトルだけでも解けるので、必要はないのですが、使った方が断然楽なので。
メネラウスの定理とチェバの定理って、忘れられそうランキングの第２位タイの定理（当社調べ、１位は方ベキの定理）ですが、使うとすごく便利なんですよね。






$s$ を正の実数とする. 鋭角三角形 $ABC$ において, 辺 $AB$ を $s:1$ に内分する点を $D$ とし, 辺 $BC$ を $s:3$ に内分する点を $E$ とする.
線分 $CD$ と線分 $AE$ の交点を $F$ とする.
以下の問いに答えよ.

(1) $\overrightarrow{AF}=\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC}$ とするとき, $\alpha$ と $\beta$ を
求めよ.

(2) $F$ から辺 $AC$ に下ろした垂線を $FG$ とする.
$FG$ の長さが最大となるときの $s$ を求めよ.



---解答例---

(1)
メネラウスの定理より
$\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}\times\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{CE}}\times\frac{\mathrm{EF}}{\mathrm{FA}} = 1$
$\frac{s}{1}\times\frac{s+3}{3}\times\frac{\mathrm{EF}}{\mathrm{FA}} = 1$
$\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FE}} = \frac{s(s+3)}3$
を得るので,
$\overrightarrow{AF} = \frac{s(s+3)}{s(s+3)+3}\overrightarrow{AE}$
$= \frac{s(s+3)}{s(s+3)+3}\times\frac{3\overrightarrow{AB}+s\overrightarrow{AC}}{s+3}$
$= \frac{3s}{s^2+3s+3}\overrightarrow{AB}+\frac{s^2}{s^2+3s+3}\overrightarrow{AC}$
より $\alpha=\frac{3s}{s^2+3s+3}$, $\beta=\frac{s^2}{s^2+3s+3}$.

(2)
$\triangle\mathrm{XYZ}$ の面積を $S_{\triangle\mathrm{XYZ}}$ と表すことにする.
$S_{\triangle\mathrm{AFC}} = \frac{s(s+3)}{s^2+3s+3}S_{\triangle\mathrm{AEC}}$
$= \frac{s(s+3)}{s^2+3s+s}\times\frac{3}{s+3}S_{\triangle\mathrm{ABC}}$
$= \frac{3s}{s^2+3s+3}S_{\triangle\mathrm{ABC}}$
であり, FG が最大になるとき, $\triangle\mathrm{AFC}$ の面積も最大になるので, $f(s)=\frac{3s}{s^2+3s+3}$ も最大となる.

$\frac{d}{ds}f(s) = \frac{3(s^2+3s+3)-3s(2s+3)}{(s^2+3s+3)^2}$
$= \frac{-3s^2+9}{\left\{\left(s+\frac32\right)^2+\frac34\right\}^2}$
$= \frac{-3(s^2-3)}{\left\{\left(s+\frac32\right)^2+\frac34\right\}^2}$
である.
分母は常に正であり, $\frac{d}{ds}f(s)=0$ となるのは $s=\sqrt3$ である.
これより, 増減表を作成する.

$
\begin{array}{c||c|c|c|c}
s & 0 & \cdots & \sqrt3 & \cdots \\
\hline
\frac{d}{ds}f & & + & 0 & - \\
\hline
f & & \nearrow & f(\sqrt3) & \searrow
\end{array}
$

これより, $s=\sqrt3$ のとき最大となる.