東北大学・理系（２０１７年）

昨日もちょっと書いた、新型リーフの話。
昨日の仕事終わりに、ひとっ走り行きつけの日産へ行ってきました。

そこの店舗は、配送屋が何を間違えたのか、営業店が休みだと勘違いして配送に来なかった、と。
で、配送屋に電話をして持ってきて貰った直後に私が到着した、と。

まあ、私としては無事に入手できたので問題なかったのですが、奥で１人、怒り気味に電話していましたね・・・

発売日が１０月２日らしいですが、試乗するのが楽しみですね。





今日は、東北大学の第５問。
１つ前のカリキュラムではやってなかった複素数。
正確には、数学IIで、「こんなのもあるよー」くらいにやってたのですが。

で、複素数の計算の問題。
ただただ力技で計算するだけ、って感じでした。





$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ を複素数とし,
$z\overline{z}+\alpha z+\beta\overline{z}+\gamma = 0 \cdots(*)$
を満たす複素数 $z$ を考える.
以下の問いに答えよ.

(1) $z$ は
$(\alpha-\overline{\beta})z-(\overline{\alpha}-\beta)\overline{z}+\gamma-\overline{\gamma} = 0$
を満たすことを示せ.

(2)
$|\alpha|=|\beta|\neq0$ と仮定し, また $\gamma$ は負の実数であると仮定する.
このとき, $(*)$ を満たす $z$ がちょうど $2$ 個あるための必要十分条件を
$\alpha$, $\beta$ を用いて表せ.




---解答例---

(1)
仮定より
$z\overline{z}+\alpha z+\beta\overline{z}+\gamma = 0$
$z\overline{z}+\overline{\alpha}\overline{z}+\overline{\beta}z+\overline{\gamma} = 0$
この $2$ 式の差をとると,
$\alpha z+\beta\overline{z}+\gamma-\overline{\alpha}\overline{z}+\overline{\beta}z-\overline{\gamma} = 0$
$(\alpha-\overline{\beta})z-(\overline{\alpha}-\beta)\overline{z}+\gamma-\overline{\gamma} = 0$
より成り立つ.

(2)
$\gamma<0$ より $\overline{\gamma}=\gamma$ であるので, (1) より
$(\alpha-\overline{\beta})z-(\overline{\alpha}-\beta)\overline{z} = 0$
$(\alpha-\overline{\beta})z = (\overline{\alpha}-\beta)\overline{z}$
$(\alpha-\overline{\beta})z = \overline{(\alpha-\overline{\beta})z}$
となる.
これより, $(\alpha-\overline{\beta})z$ も実数である.

case.1. $\alpha=\overline{\beta}$ のとき,
$z\overline{z}+\alpha z+\overline{\alpha}\overline{z}+\gamma = 0$
$z(\overline{z}+\alpha)+\overline{\alpha}(\overline{z}+\alpha)+\alpha\overline{\alpha} = -\gamma$
$(z+\overline{\alpha})(\overline{z}+\alpha)+\alpha\overline{\alpha} = -\gamma$
$|z-\overline{\alpha}|^2+|\alpha|^2 = -\gamma$
$|z-\overline{\alpha}|^2 = -|\alpha|^2-\gamma$
$|z-\overline{\alpha}|^2 = \sqrt{-|\alpha|^2-\gamma}^2$
である.
これは $z$ は $\alpha$ を中心とする半径 $\sqrt{-|\alpha|^2-\gamma}$ の円を表す.
これを満たす $z$ は無限に存在するので不適.

case.2. $\alpha\neq\overline{\beta}$ のとき, $(\alpha-\overline{\beta})z=r$ とおくと,
$(\alpha-\overline{\beta})z = r$
$z = \frac{r}{\alpha-\overline{\beta}}$,
$\overline{z} = \frac{r}{\overline{\alpha}-\beta}$
である.
これより
$\frac{r}{\alpha-\overline{\beta}}\frac{r}{\overline{\alpha}-\beta}+\frac{r\alpha}{\alpha-\overline{\beta}}+\frac{r\beta}{\overline{\alpha}-\beta}+\gamma = 0$
$r^2+\{\alpha(\overline{\alpha}-\beta)+\beta(\alpha-\overline{\beta})\}r+\gamma(\alpha-\overline{\beta})(\overline{\alpha}-\beta) = 0$
$r^2+(|\alpha|^2-|\beta|^2)r+|\alpha-\overline{\beta}|^2\gamma = 0$
ここで $|\alpha|=|\beta|$ であるので
$r^2+|\alpha-\overline{\beta}|^2\gamma = 0$
$r^2 = -\gamma|\alpha-\overline{\beta}|^2$
ここで,

$z$ がちょうど $2$ 個ある $\iff$ $r$ がちょうど $2$ 個ある

が成り立つので,
$\alpha-\overline{\beta} \neq 0$
$\alpha = \overline{\beta}$
を得る.