生徒のときは、結局毎日６時間目まで（学校によっては７時間目まで）あるので、そんなに気にしていなかったのですが、教員になって、特に今の勤務校に来てからは、非常に重要性を痛感しています。
数学は単位数が比較的多い教科なので、ある程度は仕方ないのですが・・・
５単位ある授業で、週５日ある授業なら、普通に考えて１時間／日で時間割を作成すると思うのですが、１０月からの時間割案が出てきて、それを見ると、あるクラスの数学が、
・月曜 なし
・火曜 ２時間（連続）
・水曜 ２時間（間に２時間挟む）
・木曜 １時間
・金曜 なし
なんていう、非常にバランスの悪い時間の組み方になっています。
何故、こんな時間しか組めないのでしょうか？
そりゃ、この学校、特性というか、変なシステムを取ってることが多いので、時間割に制約が出て来るのは仕方ないのですが・・・
時間割を作ってる教務のある先生の時間を抽出してみると、バランスよく授業が散らばって、程よく休憩も取れそうな時間になってるように見えますけど、それは偶然なんですよね？？
東北大学も今日で最後となります。
ガッツリと積分の問題です。
ただ、そんなに珍しいものではなく、よくある問題、って感じですね。
$a$, $b$, $c$ を実数とし,
$I(a, b) = \int_0^{\frac{\pi}2}e^{ax}\cos bxdx$,
$J(a, b, c) = \int_0^{\frac{\pi}2}e^{ax}\sin bx\sin cxdx$
とおく.
ただし, $a\neq0$ とする.
このとき, 以下の問いに答えよ.
(1)
$I(a, b)$ を求めよ.
(2)
$J(a, b, c)$ を $I(a, b+c)$ と $I(a, b-c)$ を用いて表せ.
(3)
次の極限を求めよ.
$\lim_{t\to\infty}8\int_0^{\frac{\pi}2}e^x\sin tx\sin2tx\cos3tx\cos4txdx$
---解答例---
(1)
$I(a, b) = \int_0^{\frac{\pi}2}e^{ax}\cos bxdx$
$= \int_0^{\frac{\pi}2}\frac1a(e^{ax})'\cos bxdx$
$= \left[\frac1ae^{ax}\cos bx\right]_0^{\frac{\pi}2}-\int_0^{\frac{\pi}2}\frac{b}ae^{ax}(-\sin bx)dx$
$= \frac1ae^{\frac{a}2\pi}\cos\frac{b}2\pi-\frac1a+\frac{b}a\int_0^{\frac{\pi}2}e^{ax}\sin bxdx$,
ここで,
$\int_0^{\frac{\pi}2}e^{ax}\sin bxdx = \int_0^{\frac{\pi}2}\frac1a(e^{ax})'\sin bxdx$
$= \left[\frac1ae^{ax}\sin bx\right]_0^{\frac{\pi}2}-\int_0^{\frac{\pi}2}\frac{b}ae^{ax}\cos bxdx$
$= \frac1ae^{\frac{a}2\pi}\sin\frac{b}2\pi-\frac{b}a\int_0^{\frac{\pi}2}e^{ax}\cos bxdx$
$= \frac1ae^{\frac{a}2\pi}\sin\frac{b}2\pi-\frac{b}aI(a, b)$
であるので,
$I(a, b) = \frac1ae^{\frac{a}2\pi}\cos\frac{b}2\pi-\frac1a+\frac{b}a\left(\frac1ae^{\frac{a}2\pi}\sin\frac{b}2\pi-\frac{b}aI(a, b)\right)$
$I(a, b) = \frac1ae^{\frac{a}2\pi}\cos\frac{b}2\pi-\frac1a+\frac{b}{a^2}e^{\frac{a}2\pi}\sin\frac{b}2\pi-\frac{b^2}{a^2}I(a, b)$
$\left(1+\frac{b^2}{a^2}\right)I(a, b) = \frac1ae^{\frac{a}2\pi}\cos\frac{b}2\pi-\frac1a+\frac{b}{a^2}e^{\frac{a}2\pi}\sin\frac{b}2\pi$
$\frac{a^2+b^2}{a^2}I(a, b) = \frac1ae^{\frac{a}2\pi}\cos\frac{b}2\pi-\frac1a+\frac{b}{a^2}e^{\frac{a}2\pi}\sin\frac{b}2\pi$
$I(a, b) = \frac{a}{a^2+b^2}e^{\frac{a}2\pi}\cos\frac{b}2\pi+\frac{b}{a^2+b^2}e^{\frac{a}2\pi}\sin\frac{b}2\pi-\frac{a}{a^2+b^2}$.
(2)
加法定理より
$\sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)$
であるので,
$J(a, b, c) = \int_0^{\frac{\pi}2}e^{ax}\sin bx\sin cxdx$
$= \int_0^{\frac{\pi}2}e^{ax}\{\cos(b-c)x-\cos(b+c)x\}dx$
$= \int_0^{\frac{\pi}2}e^{ax}\cos(b-c)xdx-\int_0^{\frac{\pi}2}e^{ax}\cos(b+c)xdx$
$= I(a, b-c)-I(a, b+c)$.
(3)
加法定理より
$2\sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)$
$2\cos\alpha\cos\beta = \cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)$
であるので
$8\sin tx\sin2tx\cos3tx\cos4tx = 2(\cos tx-\cos3tx)(\cos tx+\cos7tx)$
$= 2\cos tx\cos tx+2\cos tx\cos7tx-2\cos3tx\cos tx-2\cos3tx\cos7tx$
$= \cos0+\cos2tx+\cos6tx+\cos8tx-\cos2tx-\cos4tx-\cos4tx-\cos10tx$
$= 1-2\cos4tx+\cos6tx+\cos8tx-\cos10tx$
であるので,
$\lim_{t\to\infty}8\int_0^{\frac{\pi}2}e^x\sin tx\sin2tx\cos3tx\cos4txdx = \lim_{t\to\infty}\int_0^{\frac{\pi}2}e^x(1-2\cos4tx+\cos6tx+\cos8tx-\cos10tx)dx$
$= \lim_{t\to\infty}\left(\int_0^{\frac{\pi}2}e^xdx-2I(1,4t)+I(1,6t)+I(1,8t)-I(1,10t)\right) = (*)$
である.
ここで, (1) より
$\lim_{t\to\infty}I(1,nt) = \frac1{1+n^2t^2}e^{\frac{\pi}2}\cos\frac{nx}2\pi+\frac{nt}{1+n^2t^2}e^{\frac{\pi}2}\sin\frac{nt}2\pi-\frac1{1+n^2t^2}$
であり,
$-\frac1{1+n^2t^2} \le \frac1{1+n^2t^2}\cos\frac{nt}2\pi\le\frac1{1+n^2t^2}$
$-\frac{nt}{1+n^2t^2} \le \frac{nt}{1+n^2t^2}\cos\frac{nt}2\pi \le \frac{nt}{1+n^2t^2}$
であり,
$\lim_{t\to\infty}\frac{\pm1}{1+n^2t^2} = \lim_{t\to\infty}\frac{\pm\frac1{t^2}}{\frac1{t^2}+n^2}$ $\lim_{t\to\infty}\frac{\pm nt}{1+n^2t^2} = \lim_{t\to\infty}\frac{\pm\frac{n}{t}}{\frac1{t^2}+n^2}$
$= \frac{\pm0}{0+n^2} = 0$, $= \frac{\pm0}{0+n^2} = 0$
であるので, はさみうちの原理より
$\lim_{t\to\infty}\frac1{1+n^2t^2}e^{\frac{\pi}2}\cos\frac{nx}2\pi = 0$, \lim_{t\to\infty}\frac{nt}{1+n^2t^2}e^{\frac{\pi}2}\sin\frac{nt}2\pi = 0$, \lim_{t\to\infty}\frac1{1+n^2t^2} = 0$
であるので,
$\lim_{t\to\infty}I(1, nt) = 0$
である.
これより,
$(*) = \lim_{t\to\infty}\int_0^{\frac{\pi}2}e^xdx$
$= \biggl[e^x\biggr]_0^{\frac{\pi}2}$
$= e^{\frac{\pi}2}-1$.
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