同僚からの問題

一昨日の夜、同寮と一緒に隣の市で焼肉を食べました。
ただ、もう若くはない我々なので、食べ放題はキツかった・・・

それが原因か、昨日の朝７時に寮のチャイムが鳴ると同時に、足をつって目が覚めました。
所謂、こむら返りと呼ばれるヤツと考えて、間違いないのだと思います。
多分、食べ過ぎとか、栄養バランスとか・・・


そんなわけで、昨日は１日空きができました。
なので、ちょいとお出かけを。
某県庁所在地にある、南高校に行ってきました。
その高校の学園祭がある、っていう情報を消息筋（学校HP）から入手したので。

先日も書きましたが、私は生徒会も担当しています。
まあ、メインではなく、サブなのですが・・・

勤務校もあと１ヶ月少々で学園祭がありますので、他校はどんな企画をやっているのかを調べに行こうかと・・・
思ったってのも少しありますが、本当の理由はそれ以外にあります。

私が“センセー”と呼ばれる仕事をした初めての職場での同僚と、懲りずに“センセー”と呼ばれ続けていた昨年度の同僚が、今年４月に同時に同じ学校に異動になったので、これは会いに行かねば！！って事で行きました。

結局、１人にしか会えませんでしたが、それ以上に面白いものを見つけました。
SSHに選ばれている学校なだけあって、理系の課題研究（？）の発表もありました。
そんな中で見た、高校生が頑張って考えていた問題があったので、私もそのうち時間ができたら考えてみたいと思います。





そういえばこの高校、今の職場の同僚の母校でもありました。
その同僚から先日、この問題はどうやって解きますか、と聞かれた問題。
その場で解いたので、正確には覚えていませんが・・・





$xyz=1$ のとき,
$\frac{2x}{x+xy+1}+\frac{2y}{y+yz+1}+\frac{2z}{z+zx+1}$
の値を求めよ.





ってな感じだったと思います。

最近ずっと挙げていた入試問題、旧帝大も３大学が終わったので、ここで一旦一休みして、たまには息抜きにこんな問題への考え方を書いておきます。



まず、この問題を見たときに、最初に気づくこと.

“$x$ と $y$ と $z$ がサイクルになってるな”

対称式とか交代式とはちょっと違うのですが, $x \mapsto y \mapsto z \mapsto x$ と置換したとき, 全体としては値が変わらない.
ということは, 同じ作用を施して, 何か都合のいい形になるのかな.
（具体的に, $1$ 項目の分子・分母には $\times x$, $2$ 項目の分子・分母には $\times y$, $3$ 項目の分子・分母には $\times z$ というように, 作用自体もサイクルさせますが）

と思ったのですが, 分母が $x+xy+1$ という, 対称性がなさそうな形になっています.

ということで, 同じ作用をそれぞれに施す, というのはちょっと諦めました.

で, 次に考えたのが, 条件式の $xyz=1$ を使う.
通常, この手の条件式では, $z=\frac1{xy}$ を代入することで簡単になる, という問題が多いので, それを試してみる.

$\frac{2x}{x+xy+1}+\frac{2y}{y+yz+1}+\frac{2z}{z+zx+1}$
$= \frac{2x}{x+xy+1}+\frac{2y}{y+\frac1x+1}+\frac{\frac2{xy}}{\frac1{xy}+\frac1y+1}$
$= \frac{2x}{x+xy+1}+\frac{2xy}{xy+1+x}+\frac{2}{1+x+xy}$
$= \frac{2(x+xy+1)}{x+xy+1}$
$= 2$.

こんな感じで解ける問題だったわけです.


ですが, 実は私も, 最初に思いついた解法はこんなのではなく...

$\frac{2x}{x+xy+1}+\frac{2y}{y+yz+1}+\frac{2z}{z+zx+1}$
$= \frac{2}{1+y+\frac1x}+\frac{2y}{y+yz+1}+\frac{2yz}{yz+xyz+y}$
$= \frac{2}{1+y+yz}+\frac{2y}{y+yz+1}+\frac{2yz}{yz+1+y}$
$= \frac{2(1+y+yz)}{1+y+yz}$
$= 2$

だったのでした.
まあ, 本質的には何も違わないのですが...