北海道大学・理系（２０１７年）

昨日の日曜日、以前勤務していた某私立高校の某部活が、選手権の地区予選の決勝戦、ということだったので、応援に行ってきました。
勤務していたのが２年前なので、当時の１年生ももう３年生。
なので、ほとんどが知らない生徒ばかりなのですが、１人だけ残って頑張ってる生徒がいたので、その子１人の為・・・ではないですが、応援に行ってきました。

インターハイ予選や新人戦を含めて、地区優勝は４年前を最後にずっと決勝で負けたり、決勝に来れなかったりしていたので・・・

ただ、今の１・２年生は、なかなか力があります。
それを考えれば、地区優勝は目指せないようなものではない。

と思ってはいたのですが、思い出すと、それよりも断然力のある子が揃っていた、今の大学１年生の学年でも、地区優勝が出来なかったんですよね・・・

なんて思ったりもしたのですが、今年はやってくれました！！
あの高校の、あの種目の部活は、男子も女子も、決勝と呼ばれる試合は必ずギリギリになるんですよね。
ギリギリにならない場合は、明らかなボロ負けになってしまう・・・
のが今までだったのですが、今年はもう、安心して見ていられました。
前半が終わる頃には、ダブルスコアくらいになっていたので、本当に安心していました。

で、そのまま勝利、第１回の地区大会を、優勝できました。
おめでとうございます！！



それはさておき、一昨日、視察に行った某高校で、数学オリンピックの話になって、そこで私が言った問題を、久しぶりに解いてみました。
なんとなくやり方を覚えていたので、１０分くらいで解けましたが、初めて解けたときは２週間くらいかかった気がする。

って事で、今日はその問題を・・・
と思ったのですが、解答を打つ気力が・・・

そんなわけで、困ったときのバックナンバー。
困ったときの、旧帝大。

今日からは北海道大学。
整数の問題なのですが、そんなに難しくはないですね・・・





自然数の $2$ 乗となる数を平方数という.

(1)
自然数 $a$, $n$, $k$ に対して, $n(n+1)+a=(n+k)^2$ が成り立つとき,
$a \geqq k^2+2k-1$
が成り立つことを示せ.

(2)
$n(n+1)+14$ が平方数となるような自然数 $n$ をすべて求めよ.

---解答例---

(1) 

仮定より 

$n(n+1)+a = (n+k)^2$ 

$n^2+n+a = n^2+2nk+k^2$ 

$a = k^2+n(2k-1)$ 

ここで $n$ は自然数より $n(2k-1)\geqq2k-1$ であるので 

$a \ge k^2+2k-1$ 

が成り立つ. 

(2) 

(1) より, $n(n+1)+14=(n+k)^2$ を満たす自然数 $n$, $k$ が存在するとき, $14\ge k^2+2k-1$ が成り立つ. 

これより, 

$k^2+2k-1 \le 14$ 

$k^2+2k-15 \le 0$ 

$(k+5)(k-3) \le 0$ 

$-5 \le k \le 3$ 

$k$ は自然数であるので 

$k = 1, 2, 3$ 

である. 

$k^2+n(2k-1) = 14$ 

$n(2k-1) = 14-k^2$ 

$n = \frac{14-k^2}{2k-1}$ 

より, 

$n = 13, \frac{10}3, 1$ 

であるが, $n$ も自然数なので 

$n = 1, 13$.