北海道大学・理系（２０１７年）

先日見に行った某高校の学園祭で見かけた問題について、私なりに考えていたのですが・・・


問題は、ケーキの分割の方法について。
長方形のケーキを、平等に分割するにはどうしたらいいか、という問題。
これを考察するに当たり、“平等”という曖昧な単語をどう定義するか、ここが生徒のセンスの良さがありました。

スポンジが好きな人がいるだろうから、面積が等しくなるように分割する。
クリームが好きな人もいるだろうから、外周も等しくなるように分割する。

つまり、長方形を、面積が等しく、長方形の外周も等しく含むような分割を考える、ということ。

こんな分割に関して、高校生が考えていた解答が、２人、４人、８人、１６人で分割するときについてでした。
ただ、１６人の分割のときに関してがちょっと曖昧な点があったので、私も考えてみました。


その結果を $\LaTeX$ でまとめて、PDF にしてその高校の先生に送ったので、査読の結果待ちの状態です。


一応、この $2^n$ 人での分割の一般化について考えてみたのですが、ちょっと複雑過ぎて、これは難しそうですね・・・
それと、$2^n$ 以外の分割については何も触れていないので、これについても考察したいですね。
$2^n$ の一般化が出来たとしたら、次の素数の場合を一般化して・・・

なんか、フェルマーの最終定理の証明の歴史みたいな感じになりそうですね。





北海道大学の第２問。
ガッツリと、数IIIの微分積分の問題です。
ただ、東大の、空間内の線分を回転させて・・・みたいな、ひねくれた問題ではなく、そのままやればできる問題です。
計算がちょっと面倒ですが、できない問題ではないですね。



関数 $f(x)=1+\sin x-x\cos x$ について, 以下の問いに答えよ.

(1) $f(x)$ の $0\le x\le2\pi$ における増減を調べ, 最大値と最小値を求めよ.

(2) $f(x)$ の不定積分を求めよ.

(3) 次の定積分の値を求めよ.
\[
\int_0^{2\pi}|f(x)|dx
\]





---解答例---

(1)
$\frac{d}{dx}f(x) = \cos x-\cos x+x\sin x$
$= x\sin x$
より, $\frac{d}{dx}f(x)=0$ となるのは
$x\sin x = 0$
$x = 0, \pi, 2\pi$
である. これより, 増減表は以下の通り.
\[
\begin{array}{c||c|c|c|c|c}
x & 0 & \cdots & \pi & \cdots & 2\pi \\
\hline
\frac{d}{dx}f & 0 & + & 0 & - & 0 \\
\hline
f & f(0) & \nearrow & f(\pi) & \searrow & f(2\pi)
\end{array}
\]
関数の値は
$f(0) = 1+0-0\times1 = 1$,
$f(\pi) = 1+0-\pi\times(-1) = \pi+1$,
$f(2\pi) = 1+0-2\pi\times1 = -2\pi+1$
であるので,
\[
\begin{cases}
x=\pi ~ のとき最大値 ~ \pi+1 \\
x=2\pi ~ のとき最小値 ~ -2\pi+1
\end{cases}
\]
である.

(2)
$\int x\cos xdx = \int x(\sin x)'dx$
$= x\sin x-\int (x)'\sin xdx$
$= x\sin x-\int \sin xdx$
$= x\sin x+\cos x+C$
である ($C$ は積分定数) ので,
$\int f(x)dx = x-\cos x-(x\sin x+\cos x)+C$
$= x-2\cos x-x\sin x+C$.

(3)
$f(x)=0$ となる, 即ち
$1+\sin x-x\cos x = 0$
となるときを考える.
$x\cos x=0$ となるのは
$x = 0, \frac{\pi}2, \frac32\pi$
である. ここで,
$f\left(\frac32\pi\right) = 1+\sin\frac32\pi-0$
$= 0$
である. これと (1) より, $0\le x\le2\pi$ において $f(x)=0$ となるのは
$x=\frac32\pi$ のときのみである. これより,
$\int_0^{2\pi}|f(x)|dx = \int_0^{2\pi}|1+\sin x-x\cos x|dx$
$= \int_0^{\frac32\pi}(1+\sin x-x\cos x)dx - \int_{\frac32\pi}^{2\pi}(1+\sin x-x\cos x)dx$
$= \biggl[x-2\cos x-x \sin x\biggr]_0^{\frac32\pi} - \biggl[x-2\cos x-x\sin x\biggr]_{\frac32\pi}^{2\pi}$
$= \frac32\pi+\frac32\pi+2-2\pi+2+\frac32\pi+\frac32\pi$
$= 4\pi+4$.