数年ぶりの知恵袋

久しぶりにブログの更新をしたと思ったら、理由があり・・・

某質問サイトを久しぶりに見てたら、久しぶりに問題を解いてしまったので・・・

昔は $\LaTeX$ で解答を作成し、PDF に変換して fc2 の無料サーバにファイルを置いていたのですが、残念ながら、パスワードを忘れてしまったので、更新できず・・・
テキストで解答を書いても、なかなか見難い（醜い？？）解答になってしまうので、 $\LaTeX$ で解答を作っていたのに・・・

と思ったとき、このブログを思い出しました。
そういえば、 $\LaTeX$ のコマンドをそのまま使えるんだった！！


って事で、入試問題に飽きて放置していたこのブログを、久しぶりに使ってみようかと思います。





正の整数 $p$ に対し, $n=2014^p$ とおく. このとき, $n$ が「桁数 $20$ 以下で, 一の位の数が $4$」となるような $p$ を全て求めよ. なお, $\log_{10}2=0.30$, $\log_{10}19=1.28$, $\log_{10}53=1.72$ として計算せよ.





$2014^p$ について,
$2014^1 \equiv 4 \pmod{10}$
$2014^2 \equiv 6 \pmod{10}$
$2014^3 \equiv 4 \pmod{10}$
であるので,
$2014^p = \begin{cases}4 & (p \equiv 1\pmod2) \\6 & (p \equiv 0\pmod2) \end{cases}$
である.
これより, 題意を満たす $p$ は奇数である.

また, 題意より
$2014^p < 10^{20}$
両辺の常用対数を取ると
$\log_{10}2014^p < \log_{10}10^{20}$
$p < \frac{20}{\log_{10}2014} = \frac{20}{0.30+1.28+1.72} = \frac{20}{3.30} \doteqdot 6.0$
である.

以上より, $p=1, 3, 5$.





追記

この解答を作ってブログに投稿して、URL を貼ろうとしたら、質問が取り消されていた・・・