２０１８年センター試験 数学IA 第１問

去る１月の最終土日、私は NPO の活動で、毎年恒例の“ニッポン全国鍋グランプリ”に参戦してきました。
ここ数年は同じ鍋を出店しているのですが、毎年、少しずつ人気が高まって来ていると思われます。
その証拠に、今年は過去最高順位を獲得することができました。
ただ、来年の大会は何故か兵庫県姫路市で開催されるということになっていまして・・・
来年は出場するのか、だいぶ怪しくなってきましたね・・・





だいぶ更新を忘れてたのですが、センター試験の問題を（今頃ですが）やってみようかな、と思いまして・・・
まあ一応、仕事でもやっているのですが・・・

問題文はこことかを参照してください。





第１問
[1]
$(x+n)(n+5-x)=nx+x(5-x)+n^2+n(5-x)$
$=x(5-x)+n^2+5n$
であり, $x(5-x)=X$ とおくと
$(x+n)(n+5-x)=A+n^2+5n$
であるので,

$A=x(x+1)(x+2)(5-x)(6-x)(7-x)$ 

$=x(5-x)\times(x+1)(1+5-x)\times(x+2)(2+5-x)$ 

$=A \times (A+1^2+5\times1) \times (A+2^2+5\times2)$ 

$=A(A+6)(A+14)$
と表せる.

$x=\dfrac{5+\sqrt{17}}2$
$2x=5+\sqrt{17}$
$2x-5=\sqrt{17}$
両辺を $2$ 乗すると
$(2x-5)^2=17$
$4x^2-20x+25=17$
$4x^2-20x+8=0$
$-x^2+5x=2$
$x(5-x)=2$
$X=2$
$A=2(2+6)(2+14)$
$=2\times8\times16$
$=2^8$
である.


[2]
(1)
具体的に要素を書き並べて表すと,
$A=\{1, 2, 4, 5, 10, 20\}$,
$B=\{3, 6, 9, 12, 15, 18\}$,
$C=\{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20\}$
である.

(a) $A\subset C$ について, $1\in A$ であるが $1\not\in C$ であるのでこれは誤である.
(b) について, 成り立つのでこれは正である.
以上より, $2$ が答えである.

同様に,
$A\cup C=\{1, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20\}$,
$(A\cup C)\cap B=\{6, 12, 18\}$,
より (c) は成り立つ.
$\overline{A}\cap C=\{6, 8, 12, 14, 16, 18\}$,
$(\overline{A}\cap C)\cup B=\{3, 6, 8, 9, 12, 14, 15, 16, 18\}$,
$(B\cup C)=\{2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20\}$,
$\overline{A}\cap(B\cup C)=\{3, 6, 8, 9, 12, 14, 15, 16, 18\}$
であるので, (d) は成り立つ.
以上より, $0$ が答えである.

(2)
$p$ について,
$|x-2|>2$
$\iff$ $x-2<-2$ または $2<x-2$
$\iff$ $x<0$ または $4<x$
である.
$s$ について,
$\sqrt{x^2}>4$
$\iff$ $|x|>4$
$\iff$ $x<-4$ または $4<x$
である.

$q$ または $r$
$\iff$ $x<0$ または $4<x$
$\iff$ $p$
であるので, $q$ または $r$ であることは, $p$ であるための必要十分条件である.

「$s \Longrightarrow r$」は偽（反例 : $x=-5$）であり,
「$s \Longleftarrow r$」は真であるので,
$s$ は $r$ であるための必要条件であるが, 十分条件ではない.

[3]
平方完成をすると,
$f(x) = ax^2-2(a+3)x-3a+21$
$= a\left(x^2-2\dfrac{a+3}{a}x\right)-3a+21$
$= a\left\{\left(x-\dfrac{a+3}a\right)^2-\left(\dfrac{a+3}a\right)^2\right\}-3a+21$
$= a\left(x-\dfrac{a+3}a\right)^2-\dfrac{(a+3)^2}a-3a+21$
$= a\left(x-\dfrac{a+3}a\right)^2-a-6-\dfrac9a-3a+21$
$= a\left(x-\dfrac{a+3}a\right)^2-4a+15-\dfrac9a$
であるので,
$p=\dfrac{a+3}a=1+\dfrac3a$
である.

$0\le x\le 4$ における最小値が $f(4)$ となるには, $p\ge4$ であるので,
$1+\dfrac3a\ge4$
$\dfrac3a\ge3$
$a\le1$
である.
定義より $a$ は正の実数であるので $0<a\le1$ である.

同様に, 最小値が $f(p)$ となるには, $p\le4$ であるので,
$1+\dfrac3a\le4$
$a\ge1$
である.

最小値が $f(4)$ となるとき,
$f(4)=1$
$16a-8(a+3)-3a+21=1$
$5a=4$
$a=\dfrac45$
であり, これは $0<a\le1$ を満たす.

最小値が $f(p)$ となるとき,
$f(p)=1$
$-4a+15-\dfrac9a=1$
$-4a+14-\dfrac9a=0$
$4a^2-14a+9=0$
$a=\dfrac{7\pm\sqrt{13}}{4}$
であるが,
$\sqrt{13}>\sqrt{9}$
$\sqrt{13}>3$
$-\sqrt{13}<-3$
$7-\sqrt{13}<4$
$\dfrac{7-\sqrt{13}}4<1$
より $\dfrac{7-\sqrt{13}}4$ は不適.
以上より, $a=\dfrac45$ または $a=\dfrac{7+\sqrt{13}}4$ のときである.