出張（某部活の海外研修に関連して、成田空港、羽田空港への送迎）があって、授業を丸１日振り替えたり、振り替えきれない分は自習課題を作成して自習監督をお願いしたり・・・
天候不良の為、昼まで授業をして、午後は放課となったり・・・
部活毎の海外研修の為、出席が３人しかいないクラスがあったり・・・
そんなわけで、ちゃんと授業をしたのは２時間くらい・・・
それに対して、マイクロバスの運転をした時間は、２５時間・・・
確か、今の職場では、教員として雇われた気がするんですが・・・
何はともあれ、無事に１週間が終わりまして、明日からまともな１週間が・・・
そんなわけで、今日はセンター試験の第２問。
問題はここ辺りを参考にしてください。
第２問
[1]
余弦定理より,
$\cos\angle\mathrm{ABC}=\dfrac{\mathrm{AB}^2+\mathrm{BC}^2-\mathrm{CA}^2}{2\times\mathrm{AB}\times\mathrm{BC}}$
$=\dfrac{5^2+9^2-6^2}{2\times5\times9}$
$=\dfrac{70}{90}=\dfrac79$,
三角比の相互関係より
$\sin^2\angle\mathrm{ABC}=1-\cos^2\angle\mathrm{ABC}$
$=1-\left(\dfrac79\right)^2$
$=\left(1+\dfrac79\right)\left(1-\dfrac79\right)$
$=\dfrac{16}9\times\dfrac29$
$=\dfrac{32}{9^2}$,
$0^\circ<\angle\mathrm{ABC}<180^\circ$ より $\sin\angle\mathrm{ABC}>0$ であるので
$\sin\angle\mathrm{ABC}=\dfrac{4\sqrt2}{9}$.
$\mathrm{CD}=3$
であり,
$\mathrm{AB}\cdot\sin\angle\mathrm{ABC}=5 \times \dfrac{4\sqrt2}9$
$=\dfrac{20\sqrt2}9$
である.
これより,
$\sqrt{729}<\sqrt{800}$
$27<20\sqrt2$
$3<\dfrac{20\sqrt2}9$
であるので, $\mathrm{CD}<\mathrm{AB}\cdot\sin\angle\mathrm{ABC}$ である.
これより, 辺 AD と辺 BC が平行の状態を考えると, 前述の不等式から CD が届かないことになる.
したがって,
$\angle\mathrm{BCD}=180^\circ-\angle\mathrm{ABC}$,
$\cos\angle\mathrm{BCD}=\cos(180^\circ-\angle\mathrm{ABC})$
$=-\cos\angle\mathrm{ABC}$
$=-\dfrac79$,
余弦定理より
$\mathrm{BD}^2=\mathrm{BC}^2+\mathrm{CD}^2-2\times\mathrm{BC}\times\mathrm{CD}\times\cos\angle\mathrm{BCD}$
$=9^2+3^2-2\times9\times3\times\left(-\dfrac79\right)$
$=132$,
$\mathrm{BD}>0$ より
$\mathrm{BD}=2\sqrt{33}$.
[2]
(1)
選択肢を $1$ つずつ見ていく.
$0$ 範囲が最も大きいのは, 箱ひげ図を見ると, 男子短距離であることが分かるので誤り.
$1$ 四分位範囲は箱ひげ図の箱の長さが該当するので, これは正しい.
$2$ 男子長距離の中央値は箱ひげ図よりほぼ $176$cm であり, 度数最大の階級はヒストグラムより $170-175$ であるので誤り.
$3$ 女子長距離の第 $1$ 四分位数は箱ひげ図より $161$cm 程度であり, 度数最大の階級はヒストグラムより $165-170$ であるので誤り.
$4$ $4$ つの箱ひげ図を見比べると, 最も身長の高い選手は男子短距離にいるので誤り.
$5$ $4$ つの箱ひげ図を見比べると, 最も慎重の低い選手は女子短距離にいるので誤り.
$6$ 箱ひげ図を見ると, 男子短距離の中央値はおよそ $181$, 男子長距離の第 $3$ 四分位数もおよそ $181$ であるので正しい.
以上より, 正しいのは $1$ と $6$ である.
(2)
まず, どの箱ひげ図がどのグループに対応するかを確認する.
男子短距離のみ $30$ を表す $l_4$ よりも上に点が $1$ つあるので, 最大値は $30$ より大きい箱ひげ図は (a) である.
女子長距離のみ $25$ を表す $l_3$ よりも上に点がないので, 最大値が $25$ よりも小さい箱ひげ図は (d) である.
残りの男子長距離と女子短距離を比べると, 最大値は男子長距離の方が大きく, 最小値は女子短距離の方が小さいので, (b) が女子短距離, (c) が男子長距離である.
以上より, 箱ひげ図の対応は以下の通り.
(a) 男子短距離
(b) 女子短距離
(c) 男子長距離
(d) 女子長距離
選択肢を $1$ つずつ見ていく.
$0$ 散布図を見ると, 全体的にはどちらかと言うと正の相関があるように見えるので誤り.
$1$ 箱ひげ図を見ると, 中央値が一番大きいのは (a) であり男子短距離であるので誤り.
$2$ 箱ひげ図を見ると, 範囲は両端のひげの長さまで含めての大きさなので, 範囲が最小なのは (d) であり女子長距離であるので誤り.
$3$ 同様に四分位範囲が最小なのは (c) または (d) であり男子長距離または女子長距離であるのでどちらにしても誤り.
$4$ 女子長距離のグループは (d) であり, その箱ひげ図を見ると最大値が $25$ よりも小さいので正しい.
$5$ 前述の通り男子長距離グループの箱ひげ図は (c) であるので正しい.
以上より正しいのは $4$ と $5$ である.
(3)
記述は数学 B で習う $\sum$ を使うと楽なのだが, 数学 IA しか学んでない, という人がいてもいいように, 少し見にくくなるが, $\sum$ を用いずに解答する.
平均値の定義より,
$x_1+x_2+\cdots+x_n=n\overline{x}$, $w_1+w_2+\cdots+w_n=n\overline{w}$
である.
これより,
$(x_1-\overline{x})(w_1-\overline{w})+(x_2-\overline{x})(w_2-\overline{w})+\cdots+(x_n-\overline{x})(w_n-\overline{w})$
$=(x_1w_1-x_1\overline{w}-\overline{x}w_1+\overline{x}\overline{w})+(x_2w_2-x_2\overline{w}-\overline{x}w_2+\overline{x}\overline{w})+\cdots+(x_nw_n-x_n\overline{w}-\overline{x}w_n+\overline{x}\overline{w})$
$=(x_1w_1+x_2w_2+\cdots+x_nw_n)-(x_1+x_2+\cdots+x_n)\overline{w}-\overline{x}(w_1+w_2+\cdots+w_n)+n\overline{x}\overline{w}$
$=x_1w_1+x_2w_2+\cdots+x_nw_n-n\overline{x}\overline{w}-n\overline{x}\overline{w}+n\overline{x}\overline{w}$
$=x_1w_1+x_2w_2+\cdots+x_nw_n-n\overline{x}\overline{w}$
である.
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