２０１８年センター試験 数学IA 第５問

勤務校の、一番の進学系のクラスの、１年生の今回のテストは、
最近ここでも解説しているセンター試験の数学ＩＡの問題をそのまま出題した。
毎年、センター試験の問題を自分で解いて、それを $\LaTeX$ で
データ化しているので、それをそのまま出題に使ってやろう・・・

なんて思ったのですが、忘れてました。
今年のデータのところの元データが、見つけられない・・・

昨年のデータは、ホームページからちゃんと見つけたのですが、
今年は新聞社のホームページで、しかも英語なので・・・
合計５時間くらい探したのですが、もう諦めました・・・

で結局、最終手段を使ってしまいました。
ホームページに挙がっているセンター試験の問題を、
PRINT SCREENで画像保存して、それを貼り付ける・・・

そんなアナログなやり方をしましたけど、他はちゃんとやりましたよ。
試験問題を印刷して、ステープラーで閉じて冊子にしたり、
解答用紙はセンター試験使用にできるだけ近いマークシートにしたり。
とはいえ、マークシートリーダがない勤務校では採点は・・・
同僚に順番に読み上げてもらい、それを EXCEL に入力する・・・
あとはちょっと関数を組めば、勝手に採点してくれるので。

マークシートリーダ、欲しいな・・・




さて、そんなわけで、今日でＩＡも最後の第５問。
問題はここでいいかと思います。
前述の PRINT SCREEN で取り込んだのも、東進でした。





第５問
ピタゴラスの定理より,
$\mathrm{BC}=\sqrt{2^2+1^2}$
$=\sqrt5$
であり,
$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=\mathrm{BA}:\mathrm{AC}$
$=2:1$
であるので,
$\mathrm{BD}=\dfrac23\times\sqrt5$
$=\dfrac{2\sqrt5}3$
である.

方べきの定理より,
$\mathrm{AB}\cdot\mathrm{BE} = \mathrm{BD}^2$
$= \dfrac{20}9$
であるので,
$2\times\mathrm{BE}=\dfrac{20}9$
$\mathrm{BE} = \dfrac{10}9$
である.


$\dfrac{\mathrm{BE}}{\mathrm{BD}} = \dfrac{\frac{10}9}{\frac{2\sqrt5}3}$
$=\dfrac{\sqrt5}3=\dfrac5{15}\sqrt5$,
$\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}} = \dfrac2{\sqrt5}$
$=\dfrac{2\sqrt5}5=\dfrac{6}{15}\sqrt5$
であるので,
$\dfrac{\mathrm{BE}}{\mathrm{BD}}<\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}$
である.
これより, 直線 AC と直線 DE の交点は辺 AC の端点 C の側の延長上にある.

メネラウスの定理より
$\dfrac{\mathrm{CF}}{\mathrm{FA}}\times\dfrac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EB}}\times\dfrac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DC}}=1$
$\dfrac{\mathrm{CF}}{\mathrm{AF}}\times\dfrac{\frac89}{\frac{10}9}\times\dfrac{\frac{2\sqrt5}3}{\frac{\sqrt5}3} = 1$
$\dfrac{\mathrm{CF}}{\mathrm{AF}}\times\dfrac45\times\dfrac21 = 1$
$\dfrac{\mathrm{CF}}{\mathrm{AF}} = \dfrac58$
であるので,
$\mathrm{AC}:\mathrm{CF} = 3:5$
$1:\mathrm{CF} = 3:5$
$\mathrm{CF} = \dfrac53$
である.

これより,
$\mathrm{AF}=\dfrac83$
であり, ピタゴラスの定理より
$\mathrm{BF} = \sqrt{2^2+\left(\dfrac83\right)^2}$
$= \dfrac{10}3$
である.
よって,
$\mathrm{AF}:\mathrm{FB}=\dfrac83:\dfrac{10}3$
$= 4:5$,
$\mathrm{AE}:\mathrm{EB}=\dfrac89:\dfrac{10}9$
$=4:5$
であるので, 直線 EF は $\angle\mathrm{AFB}$ の二等分線である.

よって, 点 D は $\triangle\mathrm{ABF}$ の内心である.