２０１８年センター試験 数学IA 第４問

勤務先では、教員全員にiPadが貸与される。
そのiPadを、授業や部活で活用してくれ、という事なのだが・・・

今年度から勤務している“新人”の分は、全然貸与されず・・・
（１０ヶ月も経ってるのに“新人”ってどうかと思うのですが、
担当している人が“新任”って言い切ったので・・・）
で、今日から後期の期末考査なのですが、先週末にiPadを渡されて、
テスト２日目の午後に研修をするから、それまでに初期設定を。


テスト前、テスト期間と言えば、教員も意外と忙しいのです。
テスト前になれば、テストを作るのもそうですし、
意識の高い生徒がいれば、分からないところを質問にくる。
そんな状況で、appleアカウントを作成したり、
初期設定を済ませておけ、というのも・・・
しかも、Wi-Fi環境があるのならまだしも、
それがない状況での初期設定なんて、どうすれば・・・
しかも、来年度から正式導入するclassiについての研修、
って言ってたのが、準備が出来てないとか言って、
２日前の昨日の時点で、研修内容が決まってないとか・・・
このままだと、２時間の予定の研修が、３０分で終わる
iPadの使い方に関しての研修で終わるのではないのか？？

今回の件に関しては、明らかに管理職の問題でしょうね・・・





さて、今日もセンター試験。
問題はここなどを参照で。





第４問
(1)
$
\begin{array}{rcr}
2 & ) & 144 \\
\hline
2 & ) & 72 \\
\hline
2 & ) & 36 \\
\hline
2 & ) & 18 \\
\hline
3 & ) & 9 \\
\hline
 & & 3
\end{array}
$
（本当は横線は “)” の下から右に書きたかったのですが, $\LaTeX$ だとできるのに, Blog だと上手くいかないので... ）
であるので,
$144=2^4\times3^2$
である.
これより, $144$ の正の約数の個数は
$(4+1)\times(2+1) = 15$
より $15$ 個.

(2)
不定方程式 $144x-7y=1$ の特殊解は,
$x=2$, $y=41$ を得る.
これを用いて,
$
\begin{array}{rcrcr}
144x & - & 7y & = & 1 \\
-) ~ 144 \times 2 & - & 7 \times 41 & = & 1 \\
\hline
144(x-2) & - & 7(y-41) & = & 0
\end{array}
$
$144(x-2) = 7(y-41)$
である.
ここで, $144$ と $7$ は互いに素であるので, 両辺とも $144\times7$ の倍数である.
$144(x-2)=7(y-41)=144\times7\times k$ とおくと,
$x-2=7k$, $y-41=144k$
$x=7k+2$, $y=144k+41$
である.
この $x$ の絶対値が最小になるのは $k=0$, 即ち $x=2$, $y=41$ のときである.

(3)
(2) より, $144x=7y+1$ を満たす整数 $x$ は整数 $k$ を用いて $x=7k+2$ と表すことができる.

$144$ の正の約数の個数は (1) より $5\times3=15$ 個である.
$144x$ の素因数分解が $2^a\times3^b$ となるとき, 条件より
$a\ge4$, $b\ge2$
である.

正の約数が $18$ 個のときは
$(a+1)(b+1)=18$
である.
これを満たす整数 $a$, $b$ としては
$(a+1, b+1)=(1, 18), (2, 9), (3, 6), (6, 3), (9, 2), (18, 1)$
$(a, b)=(0, 17), (1, 8), (2, 5), (5, 2), (8, 1), (17, 0)$
を得る.
前述の $a$, $b$ の範囲より,
$(a, b)=(5, 2)$
を得るので,
$144x = 2^5 \times 3^2$
$x = 2$
を得る.
これは $x=7\times0+2$ と表せるので題意を満たす.

同様に, 正の約数の個数が $30$ 個であるときについて考える.

$144x=2^a\times3^b$ と表せると仮定する.
このとき
$(a+1)(b+1)=30$
である.
これを満たす $a$, $b$ としては
$(a+1, b+1)=(1, 30), (2, 15), (3, 10), (5, 6), (6, 5), (10, 3), (15, 2), (30, 1)$
$(a, b)=(0, 29), (1, 14), (2, 9), (4, 5), (5, 4), (9, 2), (14, 1), (29, 0)$
を得る.
$a\ge4$, $b\ge2$ であるので,
$(a, b)=(4, 5), (5, 4), (9, 2)$
を得る.
これより,
$x=27, 18, 32$
であるが, これらは $x=7k+2$ と表すことができないので不適.

$144x=2^a\times3^b\times p^c$ と表せると仮定する（$p$ は $2$, $3$ 以外の素数）.
このとき, $a\ge4$, $b\ge2$ より $a+1\ge5$, $b+1\ge3$ であり,
また $c\ge1$ より $c+1\ge2$ でもある.
$(a+1)(b+2)(c+1)=30$
を満たす $a$, $b$, $c$ は
$(a+1, b+1, c+1)=(5, 3, 2)$
$(a, b, c)=(4, 2, 1)$
となる.
これより,
$144x = 2^4\times3^2\times p^1$
$x=p$
となる.
これより, $x=7k+2$ と表せる素数のうち最小のものが題意を満たす整数である.
$
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}
k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots \\
\hline
x & 2 & 9 & 16 & 23 & 30 & \cdots
\end{array}
$
より, 題意を満たす $x$ は $x=23$ である.

$144x=2^a\times3^b\times p^c\times q^d$ ($c>0$, $d>0$) と表せると仮定すると,
前述の議論と同様に
$a+1\ge5$, $b+1\ge3$ であるので
$(c+1)(d+1)\ge2$
であるが, $c=0$ または $d=0$ となるので不適.
よって, $x$ は合成数ではない.

以上より, $x=23$.