三角関数の表

今週末、知人の結婚式に参列するために、東京に行くのですが・・・

どうやって行ったらいいのか、色々と考えてはいたのですが・・・



１．リーフでのんびりと。

高速道路を走るにはだいぶ厳しい、２４ｋＷｈバッテリーのリーフ。
１１時からの挙式に間に合わせる、となると、GoogleMapで調べて約６時間。
距離から考えると途中で充電が４回くらい必要になる。
ということは、合計で８時間くらいかかる、ということに・・・
つまり、３時に出発しなくてはならない・・・
仮に間に合ったとしても、挙式中に居眠りをしそうな・・・

２．夜行バスで安上がりに。

渋谷までの夜行バスで行くと、午前６時半に到着する。
時間的にはなんとかなるんですが、７時間もバスに乗るのは・・・
腰に爆弾を抱えている私としては、なんとか避けたい・・・

３．JRで手軽に。

日本国内なので、一番楽なのが、おそらくこれでしょう。
久しぶりに新幹線に乗って、新潟から大宮か、東京あたりまで・・・
と思って調べてみたら、新潟駅で７時間弱の乗り換え時間が・・・
だったら、新潟で妹の家に泊めてもらって・・・

４．格安航空券を使って、夜行バスよりも更に安く。

ジェットスターで庄内空港から成田まで飛べば、片道４４９０円から。
だが、先日探していたときに、片道１７４円！！！！
というキャンペーンをしていたので、早速予約を！！
と思ったのですが、このキャンペーンページ、
どこをどう行ったらこの値段になるのか分からず・・・

更に、庄内ー成田の便は時間が悪く、結婚式に出るためには
前泊、後泊が必要になってくるようでして・・・
飛行機を使っているのに、時間がかかり、更にお金もかかる・・・


って事で、色々と考えた結果・・・

１と３の複合技で行くことにしました。

つまり、リーフで新潟まで行って妹の家に泊めてもらい、
新潟駅から新幹線で行く、ということにしました。


で、みどりの窓口で新幹線のチケットも取りましたので、
もう今週末の準備はばっちりで・・・

と思ったのですが、思い出したことが１つ。
前日の今週金曜日、懇親会があったのでした・・・

終わってから新潟まで移動して・・・

大丈夫なのでしょうか？？




前回の内容では、教科書なんかに出てくる代表的な値の表の埋め方を確認したのですが、今回は、教科書の巻末に出てくる、もっと具体的な値の表について。

通常の教科書に出てくる表としては、
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
A & \sin A & \cos A & \tan A \\
\hline
0^\circ & 0.0000 & 1.0000 & 0.0000 \\
1^\circ & 0.0175 & 0.9998 & 0.0175 \\
2^\circ & 0.0349 & 0.9994 & 0.0349 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots
\end{array}
\]
ってやつです。

こんなの、いつ使うんだよ！！
なんて思ったりもするのですが、工業系では使うことがしばしばあるようです。

でも、工業系で使う際は、$1^\circ$ 単位ではちょっと精度が低くて使い物にならない。
なんてことがあるようで、使う表は $20$ 分単位だったり $0.1^\circ$ 単位だったりします。

こっちの方がとても便利なのですが、問題が１つありまして・・・

表が細かくなりすぎて、書くのも大変なのですが・・・


そんなわけで、工業系で使う三角関数の表は $0^\circ$ から $45^\circ$ までになっています。

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
A & \sin A & \cos A & \tan A & \cot A \\
\hline
0.0^\circ & 0.000000 & 1.000000 & 0.000000 & \\
0.5^\circ & 0.008727 & 0.999962 & 0.008727 & 114.588650 \\
1.0^\circ & 0.017452 & 0.999848 & 0.017455 & 57.289961 \\
1.5^\circ & 0.026177 & 0.999657 & 0.026186 & 38.188459 \\
2.0^\circ & 0.034899 & 0.999391 & 0.034921 & 28.636253 \\
2.5^\circ & 0.043619 & 0.999048 & 0.043661 & 22.903765 \\
3.0^\circ & 0.052336 & 0.998630 & 0.052408 & 19.081136 \\
3.5^\circ & 0.061049 & 0.998135 & 0.061163 & 16.349855 \\
4.0^\circ & 0.069756 & 0.997564 & 0.069927 & 14.300666 \\
4.5^\circ & 0.078459 & 0.996917 & 0.078702 & 12.706204 \\
5.0^\circ & 0.087156 & 0.996195 & 0.087489 & 11.430052 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
\end{array}
\]

ここで出てくる疑問が２つあるかと思います。
１．一番右の $\cot$ って何？？
２．$45^\circ$ を超えた角のときはどうするの？？

１の答えは、簡単です。
\[
\cot\theta = \frac1{\tan\theta}
\]
です。

高校では三角比として $3$ つを習います。

上の $\triangle\mathrm{ABC}$ に対し、
\begin{align*}
\sin\theta &= \frac{y}{r} & \cos\theta &= \frac{x}{r} & \tan\theta &= \frac{y}{x}
\end{align*}
と定義する。

これを日本語では左から順に、正弦、余弦、正接と呼ぶ。


のだが、これ以外にも、$3$ つあって・・・
\begin{align*}
\csc\theta &= \frac{r}{y} & \sec\theta &= \frac{r}{x} & \cot\theta &= \frac{x}{y}
\end{align*}
を左から順に、余割、正割、余接と呼ぶのである。

つまり、
\begin{align*}
\csc\theta &= \frac1{\sin\theta} & \sec\theta &= \frac1{\cos\theta} & \cot\theta &= \frac1{\tan\theta}
\end{align*}
である。



で、これが何なのか？そして $45^\circ$ より大きい三角比のときはどうするのか？

それは、教科書にも出てくる次の公式を使うのです。
\begin{align*}
\sin(90^\circ-\theta) &= \cos\theta & \cos(90^\circ-\theta) &= \sin\theta & \tan(90^\circ-\theta) &= \frac1{\tan\theta} = \cot\theta
\end{align*}


これを使うと、例えば $89^\circ$ のときは、
\begin{align*}
\sin89^\circ &= \sin(90^\circ-1^\circ) & \cos89^\circ &= \cos(90^\circ-1^\circ) & \tan89^\circ &= \tan(90^\circ-1^\circ) \\
&= \cos1^\circ & &= \sin1^\circ & &= \cot1^\circ \\
&= 0.999848 & &= 0.017452 & &= 57.289961
\end{align*}
となるのである。

三角比の値

今月末に、特編授業がありまして、その特編授業を昨日、今日とで組んでみた。

特に、その期間のうちの１日は、２学年が語学研修（修学旅行）で不在である上に、
３学年が卒業研修で不在になるので、授業を組むのは１学年のみ。

そうなると楽勝でしょう、なんて思いがちなのですが、
問題は、教員もいない、って事でして・・・


とはいえ、２学年分の教員がいないとはいえ、１学年の教員の他にも
非常勤や、学年についていない教員なんかもいるので楽勝！！！

と思っていたのはやはり、安易な考えでした。


そう、本校の時間割の最大の敵である、習熟度です。

まず、習熟度に関係ない授業をどれだけ入れられるか？？

そこから調べてみたのですが、もう、絶望的でして・・・

普通コースで習熟度に関係しない授業は
・体育
・科学と人間生活
・総合的な探求の時間
・ホームルーム
の４種類のみ。

これを考察してみた結果・・・

体育をやるとしても、せいぜい１時間のみ。

科学と人間生活をやろうとしても、理科教員４人のうち３人が２学年として
語学研修に行ってるので、これもどう頑張っても無理な科目。

本校の１学年の総合は、７つの習慣Ｊをやっていて、
総合は担任とファシリテーター教員の２人でやっていて・・・

なかなか使いづらい授業なんですよね・・・

そして最後のホームルームですが、前日の中間考査最終日に、
ホームルームが１時間あって、そこで言いたいことを言い終わっているだろうし・・・


って事で、結局は習熟度の授業を入れざるを得ない。

で、入れようとしたのだが、色々と問題がありまして・・・

習熟度の中クラスは、教科によってクラス分けが異なる。
国数英の３教科５科目では、上の１クラスと下の５クラスは
メンバーが共通なので、何の問題もないのだが、
中の４クラスは、教科によってクラス分けが異なる。

つまり、下の５クラスをＡＢＣＤＥとしたときに、
Ａは国語総合、Ｂは数学Ⅰ、Cはコミュニケーション英語Ⅰ、
といったような組み方が可能なのですが、
中の４クラスは教科によってメンバーが変わるので、
前述のような組み方ができず、変えられるとしても、
数学Ⅰと数学Ａ、コミュ英Ⅰと英表Ⅰ、というくらいで・・・
しかも、変えるとしても、結局は教員が１人くらいしか変わらず・・・

そんなわけで、無理やり組んだのですが、どうしても中クラスで、
自習にせざるを得ないところが出てきまして・・・

まあ、仕方ない事ではあるのですが・・・

それでもなんとか被害を最小限に留めることができた（と思う）ので、
今回はこれでOKとすることにしましょうか・・・





今日は、生徒から聞かれた三角比の値の話。

数学Iで三角比を学んだ直後によく出題される、以下の表について。

\[
\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c}
\theta & 0^\circ & 30^\circ & 45^\circ & 60^\circ & 90^\circ & 120^\circ & 135^\circ & 150^\circ & 180^\circ \\
\hline
\sin\theta &  0 & \frac12 & \frac{\sqrt2}2 & \frac{\sqrt3}2 & 1 & \frac{\sqrt3}2 & \frac{\sqrt2}2 & \frac12 & 0 \\
\hline
\cos\theta & 1 & \frac{\sqrt3}2 & \frac{\sqrt2}2 & \frac12 & 0 & -\frac12 & -\frac{\sqrt2}2 & -\frac{\sqrt3}2 & -1 \\
\hline
\tan\theta & 0 & \frac1{\sqrt3} & 1 & \sqrt3 & なし & -\sqrt3 & -1 & -\frac1{\sqrt3} & 0
\end{array}
\]

この値を覚える、というよりは、前述の下クラスの場合、
この表を埋めることを優先して覚えた方がいいのでは・・・

ということで、覚え方、というよりも表の埋め方について。

まあ、有名なやり方なので、知っている人も多いと思いますが・・・

１．$\sin$ の $0^\circ\sim90^\circ$ は、$\frac{\sqrt{0}}2$, $\frac{\sqrt{1}}2$, $\frac{\sqrt2}2$, $\frac{\sqrt{3}}2$, $\frac{\sqrt4}2$.

当然、$\sqrt0=0$, $\sqrt1=1$, $\sqrt4=2$ であるので、下のように５箇所が埋まる。

\[
\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c}
\theta & 0^\circ & 30^\circ & 45^\circ & 60^\circ & 90^\circ & 120^\circ & 135^\circ & 150^\circ & 180^\circ \\
\hline
\sin\theta &  0 & \frac12 & \frac{\sqrt2}2 & \frac{\sqrt3}2 & 1 & & & & \\
\hline
\cos\theta & & & & & & & & & \\
\hline
\tan\theta & & & & & & & & &
\end{array}
\]

２．$\cos$ の $0^\circ\sim90^\circ$ は, $\sin$ の逆順で.

これは, 教科書にも出てくる公式
\begin{align*}
\sin(90^\circ-\theta) &= \cos\theta \\
\cos(90^\circ-\theta) &= \sin\theta \\
\tan(90^\circ-\theta) &= \frac1{\tan\theta}
\end{align*}
を使っているのですが, 暗記をするだけのクラスではそんな説明はしません・・・

\[
\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c}
\theta & 0^\circ & 30^\circ & 45^\circ & 60^\circ & 90^\circ & 120^\circ & 135^\circ & 150^\circ & 180^\circ \\
\hline
\sin\theta &  0 & \frac12 & \frac{\sqrt2}2 & \frac{\sqrt3}2 & 1 & & & & \\
\hline
\cos\theta & 1 & \frac{\sqrt3}2 & \frac{\sqrt2}2 & \frac12 & 0 & & & & \\
\hline
\tan\theta & & & & & & & & &
\end{array}
\]

３．$90^\circ$ を中心に, $\sin$ は対称に, $\cos$ は歪対称に.
歪対称なんて, 大学で, 線形代数を学んだときに初めて聞く単語なのですが,
あえて出すことで, 少し印象に残る生徒がいればと思ってわざと出してます.
意味としては, “対称にして, 更にプラスマイナスを入れ替える”です.
大学で初めて出てきたのは, 交代行列とも呼ばれる歪対称行列です.
\[
\left(
\begin{array}{cccc}
0 & -a & -b & -d \\
a & 0 & -c & -e \\
b & c & 0 & -f \\
d & e & f & 0
\end{array}
\right)
\]
みたいな行列の事です.

これも, 教科書に出てくる公式
\begin{align*}
\sin(180^\circ-\theta) &= \sin\theta \\
\cos(180^\circ-\theta) &= -\cos\theta \\
\tan(180^\circ-\theta) &= -\tan\theta
\end{align*}
を使っているのですが, もちろん説明するかどうかは・・・

\[
\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c}
\theta & 0^\circ & 30^\circ & 45^\circ & 60^\circ & 90^\circ & 120^\circ & 135^\circ & 150^\circ & 180^\circ \\
\hline
\sin\theta &  0 & \frac12 & \frac{\sqrt2}2 & \frac{\sqrt3}2 & 1 & \frac{\sqrt3}2 & \frac{\sqrt2}2 & \frac12 & 0 \\
\hline
\cos\theta & 1 & \frac{\sqrt3}2 & \frac{\sqrt2}2 & \frac12 & 0 & -\frac12 & -\frac{\sqrt2}2 & -\frac{\sqrt3}2 & -1 \\
\hline
\tan\theta & & & & & & & & &
\end{array}
\]

４．相互関係 $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ で $\tan$ を求める.
ただし, $\tan90^\circ$ はなし.

なのですが, このままでは二重分数になってしまい,
その時点で諦めてしまう生徒が出てくるので・・・

ここまでの流れからして, 分数になるところは
必ず分母が $2$ になっているので・・・
\[
\tan\theta=\frac{\sin\theta の分子}{\cos\theta の分子}
\]
で求める, というのも攻略法ですね.

\[
\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c}
\theta & 0^\circ & 30^\circ & 45^\circ & 60^\circ & 90^\circ & 120^\circ & 135^\circ & 150^\circ & 180^\circ \\
\hline
\sin\theta &  0 & \frac12 & \frac{\sqrt2}2 & \frac{\sqrt3}2 & 1 & \frac{\sqrt3}2 & \frac{\sqrt2}2 & \frac12 & 0 \\
\hline
\cos\theta & 1 & \frac{\sqrt3}2 & \frac{\sqrt2}2 & \frac12 & 0 & -\frac12 & -\frac{\sqrt2}2 & -\frac{\sqrt3}2 & -1 \\
\hline
\tan\theta & 0 & \frac1{\sqrt3} & 1 & \sqrt3 & なし & -\sqrt3 & -1 & -\frac1{\sqrt3} & 0
\end{array}
\]

こんなやり方で教えて、これで表は完璧！！
だと思っていたのですが、今日返した下クラスの
単元テスト、平均点が２１点、っていうのも・・・
えっ、３０点満点ではないですよ？？
５０点満点でもないですけど？？
当然、１００点満点のテストだったはず・・・

三角関数の証明問題

愛車のリーフのスタッドレスタイヤ、昨シーズンの終わりの時点で
次のシーズンにはもう使えない状態だったのです。

更に言うと、夏タイヤも使えない状態だったので、
今シーズンはスタッドレスタイヤを履きつぶしています。

で、冬に向けてスタッドレスタイヤを購入せねば・・・

と思っていたのですが、意外なところから話が舞い込んできました。


勤務校の、部活動の生徒の父親が、某タイヤショップの社長さんでした。

町中の、修理工場の社長さんではなく、ちゃんとしたタイヤショップです。

個人情報に関わるので掲載しませんが、ホームページによると
資本金１３，０００，０００円の、地方としてはなかなかの会社です。


で、部活の保護者との懇親会で、社長さんと話をして、
お願いしていた見積もりが先日、届きまして・・・

それを、日産の担当の営業の人に送ったところ、
日産で買うよりも安い、とのことでしたので、
もう、迷うことなく予約してしまいました。


ただ、１つだけ問題がありまして・・・

いつ、タイヤ交換をしに行けるのでしょうか・・・？？





今日はQuoraで見つけた問題です。

\[
\frac{\cos8^\circ-\sin8^\circ}{\cos8^\circ+\sin8^\circ} = \tan37^\circ
\]
を証明せよ.

はっきり言うと、見たこともないような問題です・・・

こんなもん、どうしたらいいのか・・・


と思ったのですが、意外と簡単にできました。

\begin{align*}
\frac{\cos8^\circ-\sin8^\circ}{\cos8^\circ+\sin8^\circ}
&= \frac{1-\frac{\sin8^\circ}{\cos8^\circ}}{1+\frac{\sin8^\circ}{\cos8^\circ}} \\
&= \frac{1-\tan8^\circ}{1+\tan8^\circ} \\
&= \frac{1-\tan8^\circ}{1+1\times\tan8^\circ} \\
&= \frac{\tan45^\circ-\tan8^\circ}{1+\tan45^\circ\tan8^circ} \\
&= \tan(45^\circ-8^\circ) \\
&= \tan37^\circ.
\end{align*}

授業研究会

本日、本校の授業研究会がありました。

私も、教員生活はそんなに長くないのですが、
初めての研究授業担当者となりました。

まあ、初めてだったので、よく分からず・・・

というか、先先週末、先週末と連続で部活の大会があり、
しかもその間に部活の主顧問が、アキレス腱をブッチ切るという・・・


言い訳をするわけではありませんが、
はっきり言うと、準備する時間が十分では・・・



それよりも、指示がちょっといただけない。

１０月になってから教務課から出されたテーマが、
「新指導要領の評価の観点に即した授業」って・・・


他の教科は分かりませんが、少なくとも数学科は
年度の初めに評価方法については決まっている。

それを、研究授業だからと言って覆す、
というのもなんともおかしな話ですし・・・

実際には評価はしないけど、とりあえず
研究授業だから考えてみましょう、ってのも・・・


そんなことよりも、時期をなんとかできないのですかね？？

前述の通り忙しかったのもそうですけど、それ以上に
数学科としては、時期が同じになれば、大体は
やってる内容も同じになってしまいますし・・・

そうすると、授業をやる人が違っても、
やる内容は似たものになってくる・・・

まあ、そんなこんな言いながらも、
私、教務課長補佐なんですよね・・・




って事で、今日の研究授業での課題に出した問題。

問題、というか、等比数列の和の公式から因数分解の公式を導出する、というもの。


初項 $a$, 公比 $r$ である等比数列の, 初項から第 $n$ 項までの和は
\[
S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}
\]
で与えられる.
この式で, $a=1$, $r=x$ とすると,
\begin{align*}
\frac{x^n-1}{x-1} &= x^{n-1}+x^{n-2}+\dots+x^2+x+1
\end{align*}
を得る.
これより,
\begin{align*}
x^n-1 &= (x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\dots+x^2+x+1)
\end{align*}
を得る.



これを使うのが、後々“数学的帰納法”を学んだ際に出題する予定の、
以下のような証明問題の別解の解説で。


任意の自然数 $n$ に対して, $13^n-8^n$ が $5$ の倍数であることを証明せよ.

高校で学ぶ数学的帰納法を使った証明方法といえば・・・

(i) $n=1$ のときに成り立つことを確認する.
(ii) $n=k$ のときに成り立つと仮定して, $n=k+1$ のときにも成り立つことを示す.
以上より, すべての自然数 $n$ に対して成り立つ.

というもの。

大学入試でも、基本的にはこんなものなのですが・・・

前述の問題は、これよりも難しいかと。

（証明）
(i) $n=1$ のとき,
\begin{align*}
13^1-8^1 &= 13-8 \\
&= 5
\end{align*}
より成り立つ.

(ii) $n=2$ のとき,
\begin{align*}
13^2-8^2 &= 169-64 \\
&= 105 \\
&= 5 \times 21
\end{align*}
より成り立つ.

(iii) $n=k-1$, $n=k$ のときに成り立つと仮定する.
即ち, 整数 $a$, $b$ を用いて
\begin{align*}
13^{k-1}-8^{k-1} &= 5a & 13^k-8^k &= 5b
\end{align*}
と表すことができる.

更に, 対象式と漸化式でも行った計算と同様に
\begin{align*}
(13+8)(13^k-8^k) &= 13^{k+1}-13 \times 8^k+8 \times 13^k - 8^{k+1} \\
&= 13^{k+1}-8^{k+1}+8\times13\times(13^{k-1}-8^{k-1}) \\
13^{k+1}-8^{k+1} &= 21(13^k-8^k)+104(13^{k-1}-8^{k-1}) \\
&= 21\times5b+104 \times 5a \\
&= 5(21b+104a)
\end{align*}
であり, $21b+104a$ は整数であるので, $n=k+1$ のときも成り立つ.

(i), (ii), (iii) より, すべての自然数 $n$ に対して成り立つ.
（証明終）


というような証明になりまして・・・

何が難しいかと言いますと、（高校で学ぶ）数学的帰納法の常識である、
$n=k$ のときを仮定して $n=k+1$ を証明する、ではない。
漸化式で言うところの、$2$ 項間漸化式ではなく、$3$ 項間漸化式である。


ただ、（高校生が証明するには）難しい問題ではあるが、
この証明の別解としましては・・・


（証明）
$n=1$ のとき,
\begin{align*}
13^1-8^1 &= 13-8 \\
&= 5
\end{align*}
より成り立つ.

$n>1$ のとき,
\begin{align*}
13^n-8^n &= (13-8)(13^{n-1}+13^{n-2}\times8+13^{n-3}\times8^2+\dots+13\times8^{n-2}+8^{n-1}) \\
&= 5(13^{n-1}+13^{n-2}\times8+13^{n-3}\times8^2+\dots+13\times8^{n-2}+8^{n-1}) \end{align*}
であり, $(13^{n-1}+13^{n-2}\times8+13^{n-3}\times8^2+\dots+13\times8^{n-2}+8^{n-1})$ は整数であるので成り立つ.
（証明終）


数学をちゃんと分かっていると、$n=1$ と $n>1$ で分ける必要もなくなるのだが、
高校生がこれを分かるには、少し難しいのかも知れないな・・・

って事で分けて証明しているが、本当は分けなくても証明できるのです。


なんとも、因数分解って、便利ですよね。